1. Обобщение понятия степени.
Определение. Арифметическим корнем п -ой степени из числа а называют неотрицательное число, п-ая степень которого равна а.
Рассмотрим
функцию f(x)
= x
. При четных п функция f(x)
= x
четна. Отсюда следует, что если а
> 0, то уравнение x
= а, кроме корня х =
,
имеет также корень х = -
.
Если а = 0, то корень один: х = 0; если а <
0, то это уравнение корней не имеет,
поскольку четная степень любого числа
неотрицательна. При нечетных п функция
f(x) = x
нечетна и возрастает на всей числовой
прямой, ее область значений – все
действительные числа. Уравнение x
= а имеет один корень при любом а: х =
.
Итак, при четном п существует
два противоположных корня п-ой
степени из положительного числа а,
корень п-ой степени из числа 0 равен
0, корень п-ой степени из отрицательного
числа не существует. При нечетном п
существует корень п-ой степени
из числа а, и притом только один.
Для
корней нечетной степени справедливо
равенство
= -
.
Для любого действительного х
,
если п четно;
=
,
если п нечетно.
Для любого натурального п, целого k и любых неотрицательных чисел а и b справедливы равенства:
1)
=
;
2)
=
(b≠ 0);
3)
=
( k > 0);
4)
=
(
k > 0);
5)
(
)
(если k ≤ 0,
то а≠0 );
6)
Для любых чисел а и b,
таких, что 0 ≤ а < b,
выполняется неравенство
<
.
2. Иррациональные уравнения.
Уравнения, в которых под знаком корня содержится переменная, называются иррациональными.
Одним из методов решения иррациональных уравнений является возведение обеих его частей в степень, соответствующую степени корня, или замена переменной. При возведении в четную степень возможно появлении посторонних корней, поэтому необходимо делать проверку или указывать соответствие полученных корней ОДЗ (области допустимых значений переменной). Удобно также использовать при решении уравнения равносильные переходы:
а)
А(х) = В
(х),
=
В(x)
В(x) ≥ 0.
б) А(х) = В(х),
=
В(x) ≥ 0.
3. Иррациональные неравенства.
а)
Любое неравенство вида
<
В(x) равносильно системе
неравенств А(х) ≥ 0, В(x)
> 0,
А(х)
< В
(х):
А(х) ≥ 0,
<
В(x)
В(x) > 0,
А(х)
< В
(х).
Первое из них выражает неотрицательность подкоренного выражения, второе – неотрицательность корня, третье следует из того, что при а ≥ 0, b≥ 0 неравенства а < b и
<
выполняются одновременно.
б)
Любое неравенство вида
> В(x) равносильно
совокупности систем неравенств
В(x) ≥ 0, В(x) < 0,
А(х)
> В
(х)
и А(х) ≥ 0.