1 Анализ свойств управляемости, наблюдаемости и устойчивости заданного объекта управления
Задан ОУ следующего вида:
, (1)
где
(2)
Матрица управляемости ОУ (1), (2) выглядит следующим образом:
система полностью
управляема.
Матрица наблюдаемости ОУ (1), (2) выглядит следующим образом:
система полностью
наблюдаема.
Корни характеристического полинома:
система неустойчива.
Схема моделирования исходного объекта управления приведена на рисунке 1, результаты моделирования – на рисунках 2,3.
Рисунок 1 – Схема моделирования исходного ОУ (1), (2)
Рисунок 2 – Норма
вектора состояния системы (1), (2) при
одинаковых начальных условиях
Рисунок
3 – Норма вектора состояния системы
(1), (2) при различных начальных условиях
В силу особенностей модели вход-состояние-выход (1), (2) при одинаковых начальных условиях норма вектора состояния не меняется с течением времени, однако при различных начальных условиях (рисунок 3) наглядно видно, что система неустойчива.
2 Синтез регуляторов для непрерывного объекта управления
2.1 Синтез пропорционального регулятора методом модального управления
2.1.1 Синтез регулятора для объекта управления с полной информацией
Задан ОУ следующего вида:
,
где матрицы А, В, С определяются формулами (2). Для построения пропорционального регулятора методом модального управления используется закон управления следующего вида:
, (3)
где K – матрица линейных стационарных обратных связей.
Подставляя (3) в (1), получим описание замкнутой системы:
(4)
Пусть желаемым характеристическим полиномом является полином Ньютона:
,
где для
:
(5)
Выберем эталонную модель:
, (6)
где матрицы Г и Н выбираются из условия полной наблюдаемости пары Н,Г, например, следующим образом:
(7)
где
- вещественные одинаковые корни желаемого
характеристического полинома.
(8)
Пусть вектора
и
связаны матрицей преобразования М:
(9)
Подставляя (9), (6) в (4), легко видеть, что матрицы М и K находятся из следующих соотношений:
(10)
Решая уравнение Сильвестра, получаем матрицу М и затем матрицу ЛСОС К:
(11)
Структурная схема замкнутой системы представлена на рисунке 4.
Рисунок 4 – Структурная схема системы с пропорциональным регулятором
Схема моделирования представлена на рисунке 5, график нормы вектора состояния – на рисунке 6.
Рисунок 5 – Схема моделирования системы (4), (11) с пропорциональным регулятором
Рисунок 6 – Норма
вектора состояния системы (4), (11) с
пропорциональным регулятором при
Таким образом, как
и требовалось,
.
2.1.2 Синтез регулятора для объекта управления с неполной информацией
Задан ОУ следующего вида:
,
где матрицы А, В, С определяются формулами (2). Предполагается, что ОУ обладает неполной информацией, то есть его переменные состояния не измеряются. В таком случае используется наблюдатель состояния, описываемый следующим образом:
, (12)
где
- оценка вектора состояния, L
– матрица связей по ошибке.
Введём обозначение
вектора невязки:
.
Тогда:
(13)
Для построения пропорционального регулятора методом модального управления используется закон управления следующего вида:
, (14)
где K – матрица линейных стационарных обратных связей.
Подставляя (14) в (12), получим описание замкнутой системы:
(15)
В данном случае можно воспользоваться свойством разделения: n желаемых корней обеспечиваются выбором матрицы F, остальные n – матрицей Fe.
Пусть желаемым характеристическим полиномом является полином Ньютона:
,
где для
:
Выберем эталонную модель вида (6), (7):
(16)
Если вектора
и
связаны матрицей преобразования М,
а вектора
и
связаны матрицей преобразования Мe,
тогда справедливы соотношения:
(17)
Разрешая соотношения (17), получаем:
(18)
(19)
Структурная схема замкнутой системы представлена на рисунке 7.
Рисунок 7 – Структурная схема системы с пропорциональным регулятором и наблюдателем состояния
Схема моделирования представлена на рисунке 8, графики нормы вектора состояния – на рисунках 9,10.
Рисунок 8 – Схема моделирования системы (15), (18), (19)
Рисунок 9 – Норма
вектора состояния системы (15), (18), (19)
при одинаковых начальных условиях
Рисунок
10 – Нормы векторов состояния системы
(15), (18), (19) при различных начальных
условиях
Видно, что при
заданные
динамические свойства выполняются, а
в противном случае время переходного
процесса получается больше заданного:
.
2.2 Синтез пропорционального регулятора методом локальной оптимизации
3 Синтез регуляторов для дискретного объекта управления
3.1 Синтез пропорционального регулятора методом модального управления
3.1.1 Синтез регулятора для объекта управления с полной информацией
Задан ОУ вида (1). Для перехода к его дискретному описанию используются следующие формулы:
(20)
(21)
(22)
(23)
Пусть интервал
дискретности
с.
Тогда получим следующие матрицы описания
дискретного ОУ:
(24)
Схема моделирования исходного ОУ представлена на рисунке9, график моделирования – на рисунке 10.
Рисунок 9 – Схема моделирования исходной системы (20), (24)
Рисунок 10 – Норма вектора состояния системы (20), (24) при ненулевых различных начальных условиях
Очевидно, что исходный объект управления неустойчив.
Для построения пропорционального регулятора методом модального управления используется закон управления следующего вида:
, (25)
где K – матрица линейных стационарных обратных связей.
Подставляя (25) в (20), получим описание замкнутой системы:
(26)
Выберем эталонную модель, аналогичную (6), (7), в дискретном времени:
, (27)
Корни характеристического
уравнения эталонной дискретной модели
связаны с корнями непрерывной системы
следующим образом:
.
Тогда желаемый полином выглядит следующим
образом:
Эталонная модель определяется матрицами:
(28)
Пусть вектора
и
связаны матрицей преобразования М:
(29)
Подставляя (9), (6) в (4), легко видеть, что матрицы М и K находятся из следующих соотношений:
(30)
Решая уравнение Сильвестра, получаем матрицу М и затем матрицу ЛСОС К:
(31)
Структурная схема замкнутой системы аналогична представленной на рисунке 4.
Рисунок 11 – Схема моделирования системы (26), (31)
Рисунок 12 - Норма
вектора состояния системы (26), (31) с
пропорциональным регулятором при
Время переходного
процесса системы
с.