19. Тонкі гнучкі пластини. Запис граничних умов

Тонкі пластинки звичайно розраховують по наближеній теорії — технічної теорії згинання пластинок, що заснована на наступних гіпотезах, запропонованих німецьким фізиком Г. Кирхгофом.

• Гіпотеза прямих нормалей: будь-який прямолінійний елемент, нормальний до серединної площини, залишається прямолінійним і нормальним до серединної поверхні після деформування пластинки, і довжина його не змінюється.

• Гіпотеза про недеформованність серединної площини: у серединній площині відсутні деформації розтягання, стискання і зсуву, тобто вона є нейтральною

• Гіпотеза про відсутність тиску між шарами пластинки, паралельними серединної площини. Гіпотеза дозволяє зневажати напруженням через малість у порівнянні з напруженнями σₓₓі σ_yy.

Жорсткими пластини вважаються якщо їх прогини не перевищують 1/5 товщини пластини.

Граничні умови для жорстих пластин:

Жорстке защімлення характеризується відсутністю прогину і кута повороту:

ω=0, ∂ω/∂x=0

Шарнірне обпирання характеризується відсутністю прогину та згинального моменту

ω=0, ∂²ω/∂x²=0

Вільний край характеризується нульовим значенням внутрішніх зусиль(згинального і крутного моментів та поперечної сили)

M_x=0,

Q_zx=0

M_yx=0

Ці умови можна звести до двох

Перша- =0

Друга

20. Рівняння ососиметричного згину кільцевих пластин. Запис граничних умов.

Задача про вигин круглої пластинки буде осесиметричною, якщо навантаження на пластинку, а також умови закріплення її країв не залежать від полярного кута . У цьому випадку прогини пластинки також не залежать від полярного кута , а є функцією лише координати r, тобто .Тоді рівняння спрощується:

(1)

Формули згинальних моментів приймають вигляд:

M_zθ= 0;

Спрощуються й вирази поперечних сил:

Рівняння (1) можна вирішити в загальному виді. Як відомо, загальний розв’язок неоднорідного диференціального рівняння складається із суми загального розв’язку відповідного однорідного рівняння і якого-небудь частинного розв’язку неоднорідного рівняння , тобто Загальний розв’язок однорідного рівняння записується так:

Нехай навантаження рівномірно розподілене по всій поверхні пластинки, тобто , тоді:

Отже, загальний розв’язок неоднорідного диференціального рівняння при рівномірно розподіленому навантаженні такий:

Граничні умови:

Жорстке закріплення : w = 0, φ =0

Шарнірне обпирання : w = 0, M = 0

Вільний край: М= 0 , Q =0

21.Рівняння осесиметричного згину круглих пластин,запис граничних умов.

5.11 Основні рівняння вигину круглої пластинки

Для розв’язання задачі про вигин круглої пластинки всі рівняння вигину пластинки, виведені в декартовій системі координат, перетворимо до полярної системи. У цьому випадку прогин пластинки й навантаження є функціями змінних r і , тобто  й . Тоді відповідно до залежностей (4.3) основне рівняння вигину пластинки (5.15) приймає вигляд

(5.22)

Згинальні моменти в круглій пластинці будемо позначати так:  — згинальний момент у перетині, перпендикулярному радіус-вектору r у розглянутій точці (радіальний згинальний момент);  — те ж у перетині, що збігається з радіус-вектором (тангенціальний згинальний момент

Заміняючи у формулах (5.8) похідні функції прогинів по x і y на похідні по r і , одержуємо формули згинальних моментів у полярній системі координат:

(5.23)

Аналогічно перетворимо формулу крутного моменту (5.10):

(5.24)

Поперечні сили позначимо в такий спосіб:  — поперечна сила на площадці з нормаллю r (радіальна поперечна сила);  — те ж, на площадці, що збігається з радіус-вектором r (тангенціальна поперечна сила). Заміняючи у формулах (5.19) похідні одержуємо вирази поперечних сил у полярній системі координат:

(а)

або

(5.25)

Позначимо  інтенсивність наведеної поперечної сили на гранях контуру, перпендикулярних радіус-вектору r, a  — на гранях, що збігаються з радіус-вектором. Тоді з формул (5.17) і (5.18) після заміни змінних x і y на r і  можна одержати вирази наведеної поперечної сили на контурі, що враховує наявність крутного моменту:

Підставляючи сюди значення поперечних сил (а) і крутного моменту (5.24), знаходимо

(5.26)

Формули (5.22)-(5.26) являють собою основні рівняння вигину пластинок у полярній системі координат. Рівняння (5.22) служить для визначення функції прогинів серединної площини пластинки, а інші - для складання граничних умов і визначення зусиль.