2.5.3. Обратная задача теории погрешностей

Обратная задача теории погрешностей заключается в определении такой точности задания значения аргумента функции x=а, при котором ее предельная абсолютная погрешность не превосходила бы заданной величины : (f(а)) = .

Задачу решают с использованием приближенных оценок абсолютных погрешностей. Для функции одной переменной f(x) из оценки (2.14) ( f(а) )  f(а) (а^) =  следует однозначное решение:

(а^) = /f(а). (2.20)

В случае функций нескольких переменных f(x ) = f(x₁, x₂,..., x_n) задача является математически не определенной, поскольку заданная предельная абсолютная погрешность функции (f(а ))= может быть обеспечена при любом наборе предельных абсолютных погрешностей переменных (а₁^), (а₂^), …, (а_n^), которые в соответствии с оценкой (2.18) удовлетворят условию:

(f(x))/x₁)_{x =а}(а₁^)+(f(x))/x₂)_{x =а} (а₂^) +…+(f(x))/x_n)_{x =а} (а_n^) = . (2.21)

Простейшее однозначное решение обратной задачи дает принцип равных влияний, по которому вклады всех аргументов в формирование абсолютной погрешности функции  принимают одинаковыми и равными /n:

(f(x))/x_i)_{x =а} (а_i^)=/n, (i=1,...,n). (2.22)

Условие (2.22) фактически сводит многомерную задачу к одномерной. По аналогии с (2.20) получим следующие величины абсолютных погрешностей переменных:

(а_i^)=(/n) / (f(x))/x_i)_{x =а} , (i=1,...,n). (2.22)

Основным недостатком решения обратной задачи по принципу равных влияний (2.22) является то, что расчетные значения абсолютных погрешностей (а_i^) у отдельных переменных могут стать настолько малыми, что вычислить или измерить эти величины с такой точностью практически невозможно. В этом случае отступают от принципа равных влияний и увеличивают долю погрешности таких переменных за счет уменьшения доли других.

Вопросы для проверки знаний.

1. Какую задачу теории погрешностей называют прямой, а какую обратной ?

2. В чем заключается геометрический смысл формулы Лагранжа конечных приращений для функций одной переменной и функций нескольких переменных ?

3. В чем заключается отличие уточненной оценки абсолютной погрешности функции от приближенной ?

4. В чем заключается обратная задача теории погрешностей ?

5. Как решается обратная задача теории погрешностей для функций одной переменной ?

6. Почему обратная задача теории погрешностей для функций нескольких переменных в общем случае не имеет единственного решения ?

7. В чем заключается принцип равных влияний при решении обратной задачи для функций нескольких переменных ?

Список литературы

Адаптивные телеизмерительные системы, под ред. А. Б. Фремке, М. 1981 г.

Левин, Плоткин, Цифровые системы передачи информации, 1982 г.

Свиридов Н. Г. Проектирование РТС передачи информации Рязань, РРТИ, 1988 г.