4.5. Логические функции
Логическая функция – это логическое выражение, состоящее из логических переменных связанных между собой с помощью операций алгебры логики.
В соответствии с вышеприведенными аксиомами (1)-(5) функция может принимать в зависимости от значений переменных xp только два значения 0 и 1.
Для функции n
переменных xn-1,…,x0
будем использовать общее обозначение
где v=(xn-1,…,x0)
каждая переменная xp
(p=0,1,2,…,n)
может принимать только два значения 0
и 1. Поэтому число всех возможных
комбинаций значений xn-1,…,x0
конечно и равно 2n.
В общем виде конкретное значение переменной xp (0 или 1) будем обозначать через ep. Символами i, j и т.п. будем обозначать порядковые десятичные числа. en-1…ep…e0 – обобщающая запись двоичного числа, где ep = 0 или 1, и являются элементами алгебры логики если они используются в качестве значений переменных, для этих элементов не существует соотношений больше или меньше.
4.6. Область определения логических функций
Областью определения
функции n переменных
xn-1,…,x0
является совокупность точек
n-мерного пространства,
причем каждая из точек задается
определенной комбинацией значений этих
переменных
где ep
=0 или 1, (p=0,1,2,…,n-1).
Например, пусть есть некая функция 4х переменных n=4 то одна из точек определения этой функции Vi =(en-1…ep…e0) где i=en-1…ep…e0 (например, Vi=1100).
Из этих соотношений
видно, что точки определения можно
посчитать по порядку
от 0 до 2n
как в двоичном счете, так и десятичном
и в любом другом. Поэтому область
определения функции f(v)
n переменных имеет
2n точек т.е.
Для задания функции
f(v)
следует указать ее значения во всех
точках области определения т.е. следует
задать значения f(vi)=0
или 1 где i=0,1,2,…,2n-1.
В совокупности эти значения представляют
некое двоичное число из 2n
разрядов т.к. имеется всего
различных 2n
разрядных двоичных чисел, то и число
различных функций n
переменных равно
.
Функции n переменных могут зависеть не от всех переменных xn-1…x0. Такие функции называются вырожденными.
Так же функция может быть задана как во всех точках определения, так и не во всех:
- функция n переменных f(v) называется полностью определенной, если ее значения f(vi)=0 или 1 заданы во всех 2n точках Vi области определения;
- если же значение функции не задано хотя бы в одной точки Vi, то она называется не полностью определенной, это означает, что функция в этой точке может иметь значение 1 или 0 – и это не важно – такое значение будем называть коэффициентом с;
- если значения функции не заданы во всех точках Vi, то она называется полностью неопределенной.
4.6. Таблица истинности
Так как область определения любой функции n переменных конечна 2n точек она может быть задана таблицей значений f(vi)=0 или 1 которые она принимает в точках vi, где i=0,1,…,2n-1. Такие таблицы называются таблицами истинности.
Например: функция двух переменных
-
Vi - точки
определения
функции
Значения точек определения функции
(значения e0, e1 переменных функции x0, x1)
Значение функции f(v) в точках определения
V0
0 0
1
V1
0 1
0
V2
1 0
0
V3
1 1
0