- •Авторы: Новротская Надежда Леонидовна, доцент
- •Рецензент: Хацкевич г.А., профессор
- •Часть I
- • Новротская н.Л.
- •Часть I
- •Тема 1. Введение.
- •§1.1. Предмет теории вероятностей.
- •§1.2. Общие правила комбинаторики.
- •§1.3. Вопросы для самопроверки.
- •§1.4. Задачи.
- •Тема 2. Случайные события и их вероятности.
- •§2.1. Случайные события и их классификация.
- •§2.2. Действия с событиями.
- •§2.3. Вероятностное пространство. Вероятности и правила действия с ними.
- •2.3.1. Определение вероятности события.
- •2.3.2. Вероятность суммы событий.
- •Условная вероятность и теорема умножения вероятностей.
- •2.3.5 Формула Байeса (английский математик 1702–1762 г.Г.)
- •§2.4. Модель независимых испытаний Бернулли.
- •2.4.1. Повторные независимые испытания. Формула Бернулли.
- •§2.5. Вопросы для самопроверки.
- •§2.6. Задачи.
- •Тема 3. Случайные величины и их распределения.
- •§3.1. Виды случайных величин и их распределения.
- •§ 3.2. Плотность распределения вероятностей.
- •§ 3.3. Числовые характеристики распределения вероятностей и их свойства
- •3.3.2. Примеры использования математического ожидания.
- •Дисперсия случайной величины и ее свойства.
- •Моменты.
- •3.3.5. Характеристики формы распределения (асимметрия и эксцесс).
- •Квантили.
- •§ 3.4. Примеры распределений.
- •3.4.2. Распределение Пуассона.
- •3.4.3. Гипергеометрическое распределение.
- •3.4.6. Нормальное распределение.
- •3.4.7. Показательное (экспоненциальное) распределение.
- •§ 3.5. Вопросы для самопроверки.
- •§ 3.6. Задачи.
§ 3.3. Числовые характеристики распределения вероятностей и их свойства
На практике не всегда известен закон распределения вероятностей случайной величины. В этом случае ограничиваются его основными числовыми характеристиками, среди которых различают характеристики: положения (математическое ожидание, мода, медиана и др.), вариации (рассеяния) (дисперсия, среднее квадратическое отклонение , размах и др.) и формы (асимметрия, эксцесс).
3.3.1. Математическое ожидание и его свойства.
Определение. Математическим ожиданием (средним значением по распределению) называется действительное число, определяемое в зависимости от типа случайной величины Х формулой
,если Х
– дискретная
случайная величина
, если Х
– непрерывная случайная величина
Математическое ожидание (для дискретной случайной величины) существует всегда, если число возможных значений Х конечно. В том случае, если число возможных значений Х счетно, то вместо конечной суммы получим бесконечный ряд и для существования математического ожидания необходимо, чтобы этот ряд сходился абсолютно, т.е. Для непрерывной случайной величины с плотностью f(x) интервал должен сходиться абсолютно.
На практике иногда приходится иметь дело со случайными величинами, для которых математическое ожидание не существует.
Пример. Пусть Х принимает значения 1, 2, 3, ... с вероятностями
M(X) не существует.
Свойства математического ожидания.
-
Математическое ожидание постоянной равно этой постоянной, т.е.
-
Математическое ожидание произведения случайной величины на постоянную величину равно произведению этой постоянной на математическое ожидание случайной величины, т.е.
Доказательство для дискретной случайной величины:
-
Математическое ожидание алгебраической суммы конечного числа случайных величин равно алгебраической сумме их математических ожиданий.
Доказательство проведем для суммы двух случайных величин X и Y, учитывая, что X и Y определены на пространстве элементарных событий
Вероятностный смысл математического ожидания.
Математического ожидание приближенно равно среднему арифметическому, т.е. . Причем, чем больше число наблюдений, по которому вычислено среднее арифметическое, тем более точное значение будет получено.
Происхождение термина «математическое ожидание» связано с начальным периодом возникновения теории вероятностей (XVI–XVII вв), когда область ее применения ограничивалась азартными играми и страховым делом.
Пример 1. Найти числа появления события А в одном испытании, если вероятность события А равна р.
Решение. Пусть Х – число появления события А в одном испытании. Тогда .
Пример 2. Найти числа появления события А в n независимых испытаниях.
Решение. Пусть Х – число наступления события А в n независимых испытаниях. Оно складывается из числа появлений события в отдельных испытаниях:
– в первом испытании,
– во втором испытании,
. . .
– в n – ом испытании.
Тогда X = ++...+, а
Пример 3. Найти , где Х– число лотерейных билетов, на которые выпадут выигрыши, если приобретено 20 билетов, причем вероятность выигрыша на один билет равна 0,3.
Решение.
Пример 4. Найти средний выигрыш в лотерее (см. пример §3.1)
Решение. M(X) = 00,69 + 50,15 + 100,1 + 200,05 + 400,01 = 3,15 долл.
На практике, кроме математического ожидания, которое в определенном смысле характеризует центр распределения вероятностей, применяются и другие характеристики положения, в частности, мода и медиана случайной величины.
Модой непрерывной случайной величины Х называется такое ее значение, при котором плотность вероятности имеет максимум. Мода дискретной случайной величины определяется как такое возможное значение , для которого
.
Таким образом, мода дискретной случайной величины Х есть ее наиболее вероятное значение, если такое значение единственно. Мода может не существовать, иметь единственное значение (унимодальное распределение) или иметь множество значений (мультимодальное распределение).
Медианой случайной величины Х называется такое ее значение, относительно которого равновероятно получение большего или меньшего значения случайной величины, т.е.
P(x ) = P(x ).
Запишем это равенство в помощью распределения
F(x): F() = 1 – F(), откуда F() =.