Вопрос 24. Уравнение прямой , проходящей через данную точку в заданном направлении. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки.

1)Пусть прямая проходит M1(x1;y1) и образует с осью OX угол x≠

Т.к. М1 лежит на прямой, то ее координаты удовлетворяют ур-ю

y₁= kx₁+b (3)

Вычитая (3) из (2) y=kx+b получаем уравнение искомой прямой

y-y1 =k(x-x1) (4)

Если прямая проход. М1 перпендикулярна ОХ, то ее углов. коэф-т равен бесконечности, и ее уравнение имеет вид x-x₁=0

2) Пусть даны точки М1 и М2

Запишем уравнение М1М2 в виде , где k-пост. Неизвестная углового коэф-та.

Т.к. прямая М1М2 проходит ч/з М1 ее координаты уд-т ур-ю(4)

y2-y1=k(x2-x1)

Отсюда вместо k подставим в 4 получим

y-y1= (x-x1)

Если y1≠y2, то ур-е можно переписать

(5)

Если y1=y2, то ур-е искомой прямой имеет вид:

y1=y2 => y=y1, в этом случае прямая параллельна ОХ

x1=x2, то прямая , проходящей точки имеет вид x1=x

Вопрос 25. Угол между прямыми . Условия параллельности и перпендикулярности прямых.

1. y=k1x+b1

y=k2x+b2, где k1=tg1, k2=tg

Из геомет. рассмотр.

y=2-1 , tgϕ=tg(2-1)= или tg= (6)

Формула (6) определяет один из углов между прямыми, а другой угол равен ∏-ϕ

2.Условия параллельности и перпендикулярности .

Если прямы L1 и L2-параллельны, то ϕ=0

k2-k=0 => k1=k2

Условия параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов.

Если L1 L2, то ϕ=. Отсюда --tg= tg(1)= -- ctg 1= -

k2= --

Условия -ти 2-х прямых состоит в том , что их коэф. обратны по величине и общ. по знаку.

Вопрос 26. Общее уравнение прямой. Уравнение прямой в отрезках на осях.

1.Теорема:

В прямоугольной системе координат любой прямой задает уравнение 1-й степени

Ax+By+C=0

При любых А, В, С, где А, В не были нулями оба сразу, представляет прямую линию. Всякую прямую можно представить уравнением этого вида. Поэтому его называют общим уравнением прямой.

Док-во: Пусть В≠0, тогда ур-е можно записать в виде y = - x -

1.Если А≠0, С≠0, получим y=kx+b

Если А≠0, С=0, y=kx-ур-е прямой, проходящей через начало координат.

Если А=0, С≠0, то y=b – прямая параллельна ОХ

Если А=0, С=0, то y=0 – ось OX

2.B=0, A≠0, тогда ур-е (7) примет x= -- ; ур-е прямой параллельной ОУ, а если С=0, то х=0 – ось ОУ.

Т.к. при любом значении А и В не равны одновременно 0, ур-е (7)-есть ур-е нек. прямой на плоскости ХОУ.

Линия определенная в прямоугольной системе координат ур-я 1-й степени- линия первого порядка.

2. Найдем уравнение прямой по заданным отрезкам а≠0, b≠0 от … на осях координат. Воспользуемся формулой прямой ч/з 2 заданные точки.

Подставим координаты точек в уравнение

или

Это ур-е наз-ся уравнением прямой в отрезках.

Вопрос 27. Нормально уравнение прямой. Расстояние от точки для прямой.

Пусть дана некоторая прямая L. Проведем ч/з начало координат прямую, перпендикулярную L и назовем ее нормалью. На нормали ведем направление от 0 к N, т.е. нормаль станет осью.

Обозначим ч/з α-угол на кот. нужно повернуть против часовой стрелки ось ОХ до совмещения положения напр. нормалями . p=ON. Выведем ур-е прямой L считая неизвест. число α и ρ:

Для этого возьмем на прямой L произвольную точку М с полярными координатами ρ и ϕ, где О-полюс, а ОХ-полярная ось.

Если точки O и N –не совпадают, то из тр-ка ONM находим

P= ρcos( α-ϕ)= ρ( cosαcosϕ+sinαsinϕ) или ρ*cosϕcosα+ ρ* sinϕsinα-P=0 (1)

Ур-е (1) есть ур-е прямой L в полярн. коорд……………………………………..

x=ρ*cosϕ , y=ρ*sinϕ

x*cosα+y*sinα-ρ=0 (2)

Если точки O и N cовпадают, то уравнение P=0 и уравнение принимает вид

x*cosα+y*sinα=0

Уравнение (2)- нормальное уравнение прямой L. Для того, чтобы привести общее уравнение прямой к нормальному виду ( 2) нужно все члены ур-я умножить на нормир. множитель μ.

Ax+By+C=0 (*)

μ =

Перепишем

μA=cosα, μB=sinα, μC= -p

Знак интегрирующего множителя берется противоположно знаку С. Если прямая L задана ур-м (2), а точка М₀(х₀;у₀)-не лежит на этой прямой, то расстояние от точки до прямой определяется как выражение

d=|x₀cosα+y₀sinα-p| (3)

Пусть даны М₀(х₀;у₀) и прямая L ур-м *

Под расстоянием от точки М₀до прямой L понимается длина перпендикуляра d=M₀N, опущенного из точки М₀ на прямую.

Для определения расстояния d необходимо:

1. Составить уравнение прямой M₀N, перпендикулярной L проходящей ч-з точку М_0.

2. Найти точку N (x;y)—пересечение прямых решив совместно ур-я M₀N и L/

3. Найти расстояние по формуле