Вектор е1 (рис. 3) направлен по

силовой линии от заряда Q₁, так как

этот заряд положителен; вектор Е₂

направлен также по силовой линии,

но к заряду Q₂, так как этот заряд

отрицателен.

М

Рис.3

одуль вектора Е найдем по теореме косинусов:

(3)

где α – угол между векторами Е₁ и Е₂ , который может быть найден из

треугольника со сторонами r₁, r₂ и d: .

В данном случае, во избежание громоздких записей, удобно значение cosα вычислить отдельно:

Подставляя значения Е₁ из (1) и Е₂ из (2) в (3) и вынося общий множитель 1/(4πε₀) за знак корня, получаем

(4)

В соответствии с принципом суперпозиции электрических полей потенциал φ результирующего поля, создаваемого двумя зарядами Q₁ и Q₂, равен алгебраической сумме потенциалов:

φ = φ₁ + φ₂. (5)

Потенциал электрического поля, создаваемого в вакууме точечным зарядом Q на расстоянии r от него, выражается формулой

. (6)

В нашем случае согласно формулам (5) и (6) получим

Произведем вычисления:

Пример 4. На тонком стержне длиной l равномерно распределен заряд с линейной плотностью τ = 10 нКл/м. Найти потенциал φ, созданный распределенным зарядом в точке А, расположенной на оси стержня и удаленной от его ближайшего конца на расстояние l.

Р е ш е н и е. В задаче рассматривается поле, создаваемое распределенным

зарядом. В этом случае поступают следующим образом. На стержне выделяют малый участок длиной dx. Тогда на этом участке будет сосредоточен заряд dQ = τdx, который можно считать точечным. Потенциал dφ, создаваемый этим точечным зарядом в точке А (рис.4), можно определить по формуле

.

x dx

τ x

A

dQx

Рис.4

l l

Согласно принципу суперпозиции электрических полей, потенциал электрического поля, создаваемого заряженным стержнем в точке А, найдем интегрированием этого выражения:

.

Выполним интегрирование:

.

Подставим числовые значения физических величин в СИ (τ = 10 · 10^-9 Кл/м, 1/(4πε₀) = 9 · 10⁹ м/Ф) и произведем вычисления:

.

Пример 5. На пластинах плоского конденсатора находится заряд Q = 10 нКл. Площадь S каждой пластины конденсатора равна 100 см², диэлектрик – воздух. Определить силу F, с которой притягиваются пластины. Поле между пластинами считать однородным.

Р е ш е н и е. Заряд Q одной пластины находится в поле напряженностью Е, созданном зарядом другой пластины конденсатора. Следовательно, на первый заряд действует сила (рис.5)

F = QE. (1)

Так как

E Е = σ / (2ε₀) = Q / (2ε₀S),

-Q - - - - где σ – поверхностная плотность заряда, то

формула (1) примет вид

F F = Q² / (2ε₀S).

Рис.5

Q + + + +

Е

Произведем вычисления:

Пример 6. Электрическое поле создано длинным цилиндром радиусом R = 1 см, равномерно заряженным с линейной плотностью τ = 20 нКл/м. Определить разность потенциалов двух точек этого поля, находящихся на расстоянии а₁ = 0.5 см и а₂ = 2 см от поверхности цилиндра, в средней его части.

Р е ш е н и е. Для определения разности потенциалов воспользуемся соот- ношением между напряженностью поля и изменением потенциала: E = - grad φ. Для поля с осевой симметрией, каким является поле цилиндра, это соотношение можно записать в виде

.

Интегрируя это выражение, найдем разность потенциалов двух точек, отстоящих на расстояние r₁ и r₂ от оси цилиндра:

. (1)

Так как цилиндр длинный и точки взяты вблизи его средней части, то для выражения напряженности поля можно воспользоваться формулой напряжен-

ности поля, создаваемого бесконечно длинным цилиндром:

.

Подставив выражение Е в (1), получим

Произведем вычисления, учитывая, что величины r₁ и r₂, входящие в формулу (2) в виде отношения, можно выразить в сантиметрах (r₁ = R +a₁ = 1.5 см, r₂ = R + a₂ = 3 см):

Пример 7. Конденсатор емкостью С₁ = 3 мкФ был заряжен до разноси потенциалов U₁ = 40 В. После отключения от источника тока конденсатор соединили параллельно с другим незаряженным конденсатором емкостью С₂ = 5 мкФ. Какая энергия W΄ израсходуется на образование искры в момент присоединения второго конденсатора?

Р е ш е н и е. Энергия, израсходованная на образование искры,

(1)

где W₁ – энергия, которой обладал первый конденсатор до присоединения к нему второго конденсатора; W₂ – энергия, которую имеет батарея, составленная из двух конденсаторов.

Энергия заряженного конденсатора определяется по формуле

(2)

где С – емкость конденсатора или батареи конденсаторов.

Выразив в формуле (1) энергии W₁ и W₂ по формуле (2) и, приняв во внимание, что общая емкость параллельно соединенных конденсаторов равна сумме емкостей отдельных конденсаторов, получим

(3)

где U₂ – разность потенциалов на зажимах батареи конденсаторов.

Учитывая, что заряд после присоединения второго конденсатора остался прежним, выразим разность потенциалов U₂ следующим образом:

(4)

Подставив выражение U₂ в (3), найдем

или

Произведем вычисления:

Пример 8. Сила тока в проводнике сопротивлением R = 20 Ом нарастает в течение времени Δt = 2 с по линейному закону от I₀ = 0 до I = 6 А. Определить теплоту Q₁, выделившуюся в этом проводнике за первую секунду, и Q₂ – за вторую, а также найти отношение Q₂/Q₁.

Р е ш е н и е. Закон Джоуля-Ленца в виде Q = I²Rt справедлив для постоянного тока (I = const). Если же сила тока в проводнике изменяется, то указанный закон справедлив для бесконечно малого интервала времени и записывается в виде

dQ = I²Rdt (1)

Здесь сила тока I является некоторой функцией времени.

В данном случае

I = kt, (2)

где k – коэффициент пропорциональности, характеризующий скорость изменения силы тока:

Рис. 6

.