- •Тема 1 Лінійна алгебра Системи лінійних алгебраїчних рівнянь (слар)
- •Система трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими
- •Тема 2 Визначники другого і третього порядків та їх властивості
- •Основні властивості визначників 3-го порядку
- •Тема 3 Матриці
- •Лінійні дії над матрицями
- •Множення матриць
- •Властивості множення матриць
- •Визначник добутку матриці
- •Обернена матриця
- •Розв’язування слар матричним способом
- •Тема 2 Векторна алгебра Вектори
- •Розклад даного вектора за напрямками на прямій, на площині і в просторі
- •Лінійна залежність і лінійна незалежність системи векторів
- •Декартова прямокутна система координат
- •Лінійні операції над векторами
- •Перехід вектора до нового базису
- •Умова колінеарності двох векторів
- •Поділ відрізка у даному співвідношенні
- •Скалярний добуток векторів
- •Довжина вектора
- •Косинус кута між векторами
- •Умова ортогональності векторів
- •Проекція вектора на вектор
- •Фізичний зміст скалярного добутку
- •Векторний добуток векторів
- •Застосування векторного добутку
- •Мішаний добуток трьох векторів
- •1. Алгебрична форма комплексного числа.
- •2. Тригонометрична форма комплексного числа.
- •3. Показникові форма комплексного числа. Формули Ейлера.
- •4. Деякі застосування комплексних чисел.
- •Похідна функції
- •1. Визначення похідній, її геометричний і механічний зміст
- •Геометричний зміст похідної
- •1.2. Механічний зміст похідної
- •2. Найпростіші правила знаходження похідній
- •2.1. Похідна як функція
- •3. Похідна зворотної функції
- •4. Похідні елементарних функцій (табличні похідні)
- •5. Похідна складної функції (композиції)
- •6. Диференціал
- •6.1. Інваріантість форми диференціала
- •Геометричний зміст диференціала
- •6.3. Диференціал суми, добутку, частки
- •7. Похідні й диференціали вищих порядків
- •7.1. Неінваріантість форми диференціалів більше високого порядку
- •8. Основні теореми про диференційовані на відрізку функції
- •9. Формула тейлора і її застосування
- •Подання основних елементарних функцій по формулі тейлора
- •1. Зростання й убування функції. Екстремуми. Найбільше й найменше . Значення функції
- •1.1. Зростання й убування функції
- •2. Точки екстремуму функції
- •1.3. Найбільше й найменше значення безперервної на відрізку функції
- •2. Опуклість нагору й униз, точки перегину
- •3. Асимптоти кривих
- •4. Дослідження функцій і побудова їхніх графіків
- •5. Задачі на екстремум
6.1. Інваріантість форми диференціала
Помітимо, що для функції f(x) = х, df = dx = 1* = , тому в правій частині формули для диференціала замість пишуть dx.
Нехай f : X→Y,g: Y→Z, X,Y,Z з R і f диференційована в точці x0 € X, g диференційована в точці f(хо), тоді по теоремі про похідну складну функцію (теорема 8) функція g°f диференційована в точці хо. Маємо
(18)
Зрівняємо отриману формулу для диференціала складної функції g°f з формулою для диференціала функції g:
(19)
Зовні формули (18) і (19) практично не відрізняються. Цю властивість називають інваріантістю форми диференціала.
-
Геометричний зміст диференціала
Розглянемо графік функції в = f(x). Нехай вона диференційована в точці хо. Як ми вже знаємо (§ 1), у цьому випадку можна говорити про дотичну до графіка функції в точці Mo(xo,f(xo)) і рівняння дотичної має вигляд
З малюнка 3 видно, що df -цей приріст ординати крапки на дотичній, коли аргумент одержав приріст .
Заміна функції в околиці крапки хо на дотичну до неї називається лінеаризацією.
Ясно, що
(20),
(21)
Більше точні методи наближення функції будуть розглянуті, коли ми будемо вивчати формулу Тейлора.
6.3. Диференціал суми, добутку, частки
З формули, що встановлює зв'язок між диференціалом і похідною
(22)
і теорем про похідну суму, добутку й частки треба
ТЕОРЕМА 10. Якщо f і g диференційовані в точці хо, то f + g і g• f диференційовані в точці хо й мають місце формули
(23),(24)
TEOPEMA 11. Якщо f і g диференційовані в точці хо й g(хо)≠ 0, те диференційована в точці хо й має місце формула
(25)
Наслідок з теореми 10. Якщо З — постійна й f -функція, диференційована в точці х0, то функція Cf диференційована в точці хо й має місце формула
(26)
Ясно, що d = 0 у будь-якій точці, тоді з формули (24) треба
Зауваження. Увівши позначення для диференціала й маючи формулу (22), ми одержимо вираження похідної через диференціали
(27)
7. Похідні й диференціали вищих порядків
Наприкінці § 2 ми говорили про похідній як про функції. Те ж саме можна сказати й про диференціал. Але тоді можна говорити й про похідній, тобто (f’(x))’ і т.д. Похідна похідній функції f називається похідній 2-го порядку й позначається f"(x), похідна від другої похідної функції f називається похідній 3-го порядку функції f і позначається f'"(x). Якщо у функції визначені похідні до до — 1 порядку включно, то можна ставити задачу відшукання похідній порядку до як похідній від похідної порядку до-1, тобто
(28)
Зауваження. Похідну функції f-f’(x) називають іноді похідній першого порядку, а саму функцію — похідній 0-го порядку.
Випишемо тепер визначення диференціалів 2-го, 3-го й т.д. порядків:
(29).
ПРИКЛАД 3.
1). Знайти
2). Знайти (х4)(7)
3). Знайти
Ясно, що
ТЕОРЕМА 12. Якщо функції f і g мають похідні до порядку п включно, то функція f+g має похідні до порядку п включно й має місце формула
, (30)
Ясно, що формула (30) — наслідок формули (23) і визначення похідній к-гo порядку
ТЕОРЕМА 13. Якщо f і g мають похідні до порядку т включно, то f°g має похідні до порядку m включно й має місце формула
(31)
Для п =1 формула (31) перетворюється у формулу (24) для похідної добутку, і виходить, справедлива.
Розглянемо випадок п = 2.
Припустимо, що формула (31) вірна для n0, доведемо, що тоді вона вірна й для n0+1
Індуктивний перехід доведений.
Відзначимо повну аналогію формули (31), що називають формулою Лейбніца, з формулою розкладання бінома Ньютона.
ПРИКЛАД 4. Знайти (sinх;cosx)(4).
Тоді по формулі (31) для n=4 маємо
Зауваження. При рішенні приклада можна було обійтися без формули (31). Дійсно,