Теоретичний матеріал

Загальним для усіх експериментів є те, що кожен з них може реалізуватися за певних умов скільки завгодно разів. Важливим є те, що кількість можливих результатів n є скінченою. Кожний такий результат називають елементарною подією ω.

Множина Ω усіх можливих результатів експерименту утворює простір елементарних подій ω: Ω(ω).

Об’єднання деякої множини елементарних подій називають подією A.

Наприклад: Звернулися до лікаря для профілактичного обстеження 100 пацієнтів, після обстеження констатовано, що 50 – здорові особи. Припускаємо, що ми навмання вибираємо пацієнта. Простір елементарних подій дорівнює 100. Далі потрібно вибрати саме здорового пацієнта. У цьому разі подія A об’єднує 50 елементарних подій.

Запереченням події A називається подія яка включає усі елементарні події, що не входять в A. Тобто, подія відбувається тоді, коли не відбувається подія A (подія А протилежна події ).

Події бувають достовірні, неможливі та випадкові.

Достовірною подією називається подія Ω, яка включає усі елементарні події. Тобто, достовірна подія обов’язково відбувається при будь-якому експерименті.

Неможливою подією називається подія ∅, яка не містить жодної елементарної події. Тобто, неможлива подія ніколи не відбувається в експерименті.

Випадковою подією називається подія, яка може відбутися, а може і не відбутися в експерименті.

Об’єднанням (сумою) двох подій A i B називається подія AB (А+В), яка складається з усіх елементарних подій, що входять хоча б в одну з цих подій: А або B.

Тобто, подія AB відбувається тоді, коли відбувається хоча б одна з випадкових подій А або B.

А

В

АВ

Добутком (перетином) двох подій A i B називається подія AB (A·B), яка складається з елементарних подій, що входять як в A, так i в B. Тобто, подія AB відбувається тоді, коли одночасно відбуваються обидві події A i B.

А

В

АВ

Дві події A i B називаються несумісними, якщо їх добуток є неможливою подією: AB=. Тобто, поява події A виключає появу події B i навпаки.

Якщо розглядати випадкову подію багато разів за однакових умов експерименту, то можна виявити певну закономірність її появи або не появи.

Ймовірність – це чисельна характеристика ступеня можливості здійснення тієї чи іншої події.

Класичне визначення ймовірності: ймовірність події А дорівнює відношенню числа елементарних подій m, які сприяють появі А, до загального числа усіх можливих елементарних подій n:

Наприклад: Яка ймовірність того, що пацієнт, якого профілактично обстежують є здоровий?

Оскільки всіх пацієнтів є n=100, а здорових є m=50, маємо:

Властивості ймовірності:

1. 0≤Р(А)≤1

2. Ймовірність неможливої події Р()=0

3. Ймовірність достовірної події Р()=1

4. 

5. Для будь-яких подій А i В діє: Р(АВ)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)

Випадкові події А і B називаються залежними, якщо ймовірність появи однієї з них залежить від появи або не появи другої події.

Якщо ймовірність появи однієї події не залежить від появи або не появи другої, то такі події називаються незалежними.

Події A i B називаються незалежними, якщо

Наприклад: У людському суспільстві 65% людей палять та 40% хворіють на рак легенів. Знайти ймовірність того, що навмання взята людина:

а) не палить, але має рак легенів;

б) палить, але не має раку легенів;

в) ніколи не палить і не має раку легенів;

г) палить або має рак легенів.

Нехай подія A – людина палить; B – хворіє на рак легенів. Тоді за умовою задачі маємо: Р(А) =0.65; Р(В)=0.4; Р()=0.35; Р()=0.6.

а)

б)

в)

г)