Правила дифференцирования:

1. ;

2. , ;

3. , ;

4. , если , ;

5. , если , .

Определение. Если функция задана уравнением , разрешенным относительно , то функция задана в явном виде (явная функция).

Определение. Неявная функция одного аргумента задается уравнением, связывающим две переменные, причем уравнение не разрешено относительно какой-либо из них: или .

Определение. Уравнение, связывающее три переменные, задает неявную функцию 2 аргументов: , или , или .

Не всегда легко, а иногда и невозможно разрешить уравнение относительно (например, или ).

Если неявная функция задана уравнением , то для нахождения производной от по нет необходимости разрешать уравнение относительно . Нужно продифференцировать это уравнение по , рассматривая при этом как функцию , и полученное затем уравнение разрешить относительно .

Пример Найти производную функции , заданную уравнением: .

Решение. Функция задана неявно. Продифференцируем уравнение по , помня, что : . Затем находим: .

Рассмотрим дифференцирование функции, заданной параметрически.

Пусть функция задана параметрически: где – вспомогательная переменная, называемая параметром.

Нужно найти . Предположим, что имеет однозначную обратную функцию . Продифференцируем уравнение по , как сложную функцию, считая промежуточным аргументом, зависящим от : ; . Так как , то получим:

. (4)

Пример Пусть Найти .

Решение. По формуле (4), получаем

Производную функции одной переменной в некоторых случаях можно найти значительно проще, если функцию предварительно прологарифмировать, такой метод называется логарифмическое дифференцирование.

Логарифмическое дифференцирование обычно применяется при отыскании производной от степенно-показательной функции и от произведения функций, т.е. в тех случаях, когда обычными методами производную нельзя найти, либо вычисление производной очень громоздко. Конечно, эта операция может применяться и в других случаях.

Определение. Функция , у которых основание и показатель степени есть функции независимых переменных, называются степенно-показательными.

Производные таких функций вычисляются только с помощью логарифмического дифференцирования.

Пример Дана функция . Найти .

Решение. Прологарифмировав функцию , получим

.

Дифференцируем полученное уравнение по : . Из последнего равенства найдем :

.

Дифференциал функции

Рассмотрим функцию , имеющую в точке отличную от нуля производную: . По теореме о связи функции, ее предела и бесконечно малой функции, можно записать , где при , или . Приращение функции представляет собой сумму двух слагаемых и , являющихся бесконечно малыми при . Заметим, что - бесконечно малая функция одного порядка с , так как , а - функция более высокого порядка, чем : .

Определение. Слагаемое называется главной частью приращения функции .

Определение. Дифференциалом функции в точке называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается или . Заметим, что

. (5)

Определение. Дифференциал называется дифференциалом первого порядка.

Дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной:

. (6)

В самом деле, так как и , то .

Определение. Дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной:

. (7)

Так как , то – отношение дифференциалов и .

Пример Найти дифференциал функции .

Решение. По формуле находим:

.

Пример Найти полное приращение функции и ее дифференциал, сравнить их значения при .

Решение. Полное приращение запишем в виде:

. Преобразуем это выражение: . По определению найдем полный дифференциал: . Подставив , получим, и .

Геометрический смысл дифференциала: Дифференциал функции в точке равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда получит приращение.

Поясним утверждение, для этого рассмотрим график функции (рисунок 4).

Проведем к графику функции в точке касательную . Рассмотрим ординату этой касательной для точки , заметим, что , а . Рассмотрим прямоугольный треугольник , в котором , т.е. . Так как – геометрический смысл производной, то . Из формул: и получаем, что . Возможны три случая: , и – если функция является постоянной.

Механический смысл дифференциала: Дифференциал пути равен приращению пути, полученному в предположении, что, начиная с данного момента времени , точка движется равномерно, сохраняя приобретенную скорость.

Рассмотрим неравномерное прямолинейное движение точки, осуществляющееся по закону , где - длина пути, - время. Приращенному моменту времени соответствует приращенное значение пути: . Эта формула выражает истинное приращение пути за промежуток времени .

Вычислим дифференциал пути. Так как – скорость в момент , то .

Поскольку в выражение для дифференциала входит производная, то правила его вычисления используют правила вычисления производной:

1. Если функция равна постоянной , то ее дифференциал равен нулю, т.е. .

2. Дифференциал функции равен приращению этой функции: ; (дифференциал независимой переменной совпадает с ее приращением).

Отсюда следует: ; .

3. Дифференциал суммы:.

4. Дифференциал произведения:.

5. Дифференциал частного: .

Теорема 6.7 Дифференциал сложной функции равен произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на дифференциал этого промежуточного аргумента:

Определение. и – форма дифференциала не изменилась независимо от того, является ли ее аргумент независимой переменной или является функцией одного аргумента. Такое свойство дифференциала называется инвариантностью (неизменностью) формы первого дифференциала.

Таблица дифференциалов

Пусть , – некоторые непрерывные функции аргумента х.

1. ;

2. , ;

3. , ;

4. , если ;

5. , если и ;

6. ;

7. ;

8. , ;

9. , ;

10. ;

11. ;

12. ;

13. 

14. ;

15. ;

16. ;

17. ;

Приращение любой дифференцируемой функции приближенно с большой точностью можно вычислить при помощи равенства: .

Приращение функции в точке можно представить в виде , где при . Отбросим бесконечно малую более высокого порядка, чем , получим приближенное равенство: . Чем меньше , тем точнее равенство.

Так как , , то из равенства или получим формулу для вычислений приближенных значений функци:

(8)

Пример Вычислить приближенно приращение функции при изменении от значения 2 к значению 2,02.

Решение. Так как достаточно малых : ().

Найдем : . Вычислим . Итак, .

Пример Найти приближенное значение .

Решение. Рассмотрим функцию . По формуле имеем: или . Так как , то при и , получаем:

Так как, то . Приближенное равенство можно увидеть из рисунка 4, дающего геометрическое истолкование дифференциала. На графике видно, что при уменьшении все с большей относительной точностью можно заменить приращение ординаты кривой приращением ординаты касательной.

Рассмотрим функцию одного переменного заданную явно: .

Производная этой функции зависит от координаты точки, в которой она вычисляется, т. е. является также функцией от . Поэтому от нее можно снова взять производную.

Определение. Производная, взятая от первой, называется производной второго порядка; производная, взятая от производной второго порядка, называется производной третьего порядка и т.д.:

;

;

.

Определение. Производной -го порядка называется производная, взятая от производной -порядка.

Пример Найти производную -го порядка от функции .

; ; ;

Пусть функция задана параметрическими уравнениями:

Производная функции заданной параметрически также является функцией заданной параметрически. Вторую производную можно найти и используя формулу (4), и по формуле:

. (9)

Пример Дано параметрическое уравнение эллипса: .

Найти

Решение. По формуле (4), получаем

.

Чтобы найти дифференциал второго порядка нужно взять дифференциал от первого дифференциала. Аналогично находят дифференциал третьего порядка и т.д. Рассмотрим функцию одного переменного . Найдем ее дифференциал второго порядка:

( обозначает ).