Глава II. Теоретический анализ демографических циклов

2.1. Демографическая динамика земледельческого общества

Как отмечалось выше, в обсуждении демографической динамики аграрных обществ присутствует математический и экологический аспект. Этот аспект связан с тем обстоятельством, что мальтузианско-рикардианская теория (в отличие от многих других исторических концепций) допускает формализацию в виде экономико-математических моделей, то есть ее обсуждение может происходить на более высоком формально-логическом уровне. Проблемы, обсуждаемые в этом параграфе, касаются важнейшего для мальтузианской концепции вопроса: может ли эта теория в принципе объяснить наблюдаемые колебания численности населения и, в частности, уменьшение населения в последней фазе цикла? Как упоминалось в п. 1.3, критики неомальтузианства настаивают на том, что уменьшение населения имеет не эндогенный, а экзогенный характер.

В обычной методологии научного исследования в решении теоретических вопросов важную роль играет эксперимент. Однако поскольку эксперименты с численностью населения возможны только при изучении популяций животных, важную роль приобретают данные экологии; при этом демографы исходят из положения Мальтуса о том, что демографическая динамика в человеческом обществе в принципе является такой же, что и в сообществах животных, что естественный прирост увеличивается при росте потребления и уменьшается при его уменьшении. Это предположение, по-видимому, не справедливо для современного промышленного общества, но считается справедливым для традиционных аграрных цивилизаций.

Исходя из этого предположения, американские демографы Р. Пирл и Л. Рид провели комплекс экологических экспериментов и показали⁷⁹, что для некоторых видов животных и насекомых процесс роста популяции в условиях ограниченности ресурсов описывается так называемым логистическим уравнением:

(1)

Здесь N(t) – численность популяции в момент t, r – максимальный естественный прирост в благоприятных условиях, K – максимально возможная численность популяции при данных ресурсах (вмещающая емкость экологической ниши), эту величину можно трактовать также как количество продовольственных ресурсов, деленное на минимальную норму потребления. Как отмечалось выше, решение логистического уравнения называется логистической кривой (см. рис. 2). Логистическая кривая сначала возрастает довольно медленно, потом рост ускоряется, но через некоторое время кривая приближается к асимптоте N = K , поворачивает и далее движется вдоль асимптоты. Поскольку продовольственные ресурсы остаются ограниченными, то по мере роста населения соответственно убывает душевое потребление (вторая кривая на рис. 2). В целом поведение логистической кривой соответствует мальтузианскому постулату о том, что при уменьшении душевого потребления рост замедляется.

Поскольку логистическое уравнение было выведено, исходя из многочисленных экологических экспериментов, то оно стало классическим инструментом экологии. Однако логистическое уравнение объясняет замедление роста, но не объясняет уменьшения численности популяции, поэтому экологи и демографы были вынуждены искать объяснения этим (наблюдавшимся как в популяциях животных, так и в человеческом обществе) явлениям во внешних факторах – в климатических изменениях, неурожаях, эпидемиях, войнах. Это была одна из главных причин того, что экзогенное объяснение колебательного процесса стало основой критики неомальтузианской теории. Как упоминалось выше, в одной из работ Р. Ли была построена математическая модель, в которой случайные воздействия объясняли демографические колебания в Англии⁸⁰.

Таким образом, при исследовании демографических процессов математическими методами необходимо, в первую очередь, показать возможность эндогенных колебаний в системе, поведение которой описывается логистическим уравнением. При этом важно привлечь для объяснения этих колебаний специфику земледельческого общества, характер потребления которого отличается от характера потребления животных тем, что земледельцы потребляют производимые ими же ресурсы, то есть К не является постоянной величиной, а зависит от посевных площадей, которые, в свою очередь зависят от численности населения. Изучению динамики населения в земледельческом обществе с помощью математических моделей посвящено значительное количество работ⁸¹. Однако большинство их этих моделей достаточно сложны и включают в себя неопределенные параметры, изменение которых существенно влияет на поведение модели. В этом пункте мы предлагаем вниманию читателя простейшую дифференциальную модель, не имеющую неопределенных параметров, и поэтому однозначно описывающую поведение исследуемого объекта.

Пусть K(t) - запасы зерна после сбора урожая, исчисляемые количеством минимальных годовых пайков (один паек - это примерно 240 кг зерна), это то же самое, что и максимальная численность населения, которая может прокормиться на существующих запасах до следующего урожая. Площадь посевов, а следовательно, и урожай зависит от численности населения и при возрастании населения стремится к некоторой константе a, определяемой максимальной посевной площадью, находящейся во владении земледельческого сообщества. Мы будем считать, что урожай определяется формулой P=aN/(N+d), где a и d - некоторые константы. Для описания динамики населения используем логистическое уравнение (1), но добавим к нему еще одно уравнение для K(t). Поскольку за год расходуется N пайков, то прирост запасов будет равен

(2)

Итак, мы имеем простейшую систему двух дифференциальных уравнений (1)-(2). Эта система имеет положение равновесия, когда население и запасы остаются постоянными - это точка K₀= N₀ = a-d.

Если в формуле для dP/dN устремить N к 0, то мы получим a/d - урожай (в количестве пайков), получаемый одним земледельцем в благоприятных условиях (когда население мало и он может обработать максимальную площадь). Таким образом, величина q= a/d, показывает, сколько человек (включая и себя) может в благоприятных условиях прокормить один земледелец (или сколько семей может прокормить одна земледельческая семья). Из истории аграрных обществ известно, что q обычно колеблется в пределах 1.2< q <2. Имеет смысл выразить a и d через q и N₀:

d= N₀/(q-1), a= qN₀/(q-1)

N ₀ можно условно приравнять к 1, так что в этой модели мы имеем две константы r и q, имеющие реальный смысл и колеблющиеся в известных пределах: 0,01<r<0.02, 1.2<q<2. Обычные методы исследования динамических систем позволяют установить, что система (1)-(2) имеет характеристические числа

(во всем диапазоне r и q величина D<0). Это означает, что система (1)-(2)порождает затухающие колебания. Первые колебания могут иметь различный период, но когда кривая приближается к положению равновесия период близок к

Период T уменьшается при увеличении r и q, и, соответственно, увеличивается при уменьшении этих величин.

Табл. 1

Период колебаний при различных r и q (в годах)

q\r	0.01	0.02
1.2	154	110
2.0	89	63

В случае, когда первоначальное население мало, первый цикл может быть намного длиннее обычного, наличие больших запасов порождает у земледельцев иллюзию благополучия. Как видно из рис. 6 численность населения с запозданием реагирует на уменьшение экологической ниши и продолжает расти в то время, когда экологическая ниша (то есть запасы плюс производство) сокращается. В результате происходит демографическая катастрофа; за короткое время население может уменьшиться в 2-4 раза. После катастрофы, в условиях изобилия свободных земель, население снова возрастает, но чрезмерный рост снова приводит к новой катастрофе. Второй цикл по протяженности уже ближе к стандартному периоду T, а падение численности населения имеет меньшие масштабы. В последующих циклах колебания постепенно затухают, и уменьшение численности населения уже не имеет катастрофического характера.

Таким образом, согласно предложенной модели, динамика земледельческой популяции имеет колебательный характер. Вблизи положения равновесия период колебаний порядка столетия, и за один цикл амплитуда уменьшается примерно в два раза. Хотя в теории эти колебания затухают и система стремится к состоянию равновесия, на практике различные случайные и не учтенные здесь воздействия (война, климатические катаклизмы) выводят систему из состояния равновесия, после чего начинается новая серия затухающих колебаний. Однако важно, что, в принципе, колебания могут происходить и без внешних воздействий, что они имеют эндогенный характер. Основной причиной этих колебаний является запаздывающая реакция населения на сокращение экологической ниши, связанная со спецификой земледельческого хозяйства, а именно, с созданием запасов зерна.

Рис. 6. Пример расчета по модели (r=0,016, p=1,2)

До сих пор мы исследовали колебания численности населения в условиях стационарной экологической ниши, а именно, в условиях постоянной урожайности. Однако в реальности даже в традиционном обществе происходит рост урожайности, связанный постепенным улучшением технологии земледелия. Поэтому, для того чтобы сравнить результаты модельных вычислений с реальным ростом населения, например, в странах Европы, необходимо изменить формулу для производства продуктов питания (формулу для Р) с учетом влияния технологии. Усовершенствованная модель, учитывающая технологических рост, была построена совместно автором и известным специалистом по экономической истории, профессором Джоном Комлосом, в статье, опубликованной в журнале «Historical Methods»⁸². Дж. Комлос предложил рассчитывать производство по формуле Кобба-Дугласа:

P(t) = [T(t)^1/3 N(t)^2/3]

где T(t) – текущее состояние технологии. Технология – это аккумулированный опыт людей и ее уровень пропорционален числу людей, которые когда-либо жили:

T (t+1) = T (t) +cN(t)

(здесь с – некоторый постоянный коэффициент). В остальном эта модель аналогична предыдущей модели автора, с той разницей, что она является не дифференциальной, а дискретной, то есть вычисления производятся от года к году по итерационным формулам. Запасы продовольствия G(t), оставшиеся от прошлого года на момент сбора нового урожая равны

G(t)=G(t-1)+q[P(t-1) - N(t-1)]

где q – коэффициент сохранения запасов. Ресурсы текущего года (производство плюс запасы) определяются по формуле

K(t) = P(t) + G(t)

Население определяется по дискретной формуле, соответствующей формуле логистического уравнения:

Последовательно вычисляя по этим формулам и подбирая константы, мы попытались приблизить известные данные о росте населения Европы с 1200 по 1750 годы. Для констант r = 1.022; T(0) = 48; c=0.0019; G(0) = 30; N(0) = 26; q = 0.12, была получена картина, в целом соответствующая реальным данным о численности населения, приводимым Мак-Эведи и Джонсом⁸³.

Рис. 7. Сопоставление результатов расчета численности населения Европы (млн.) с реальными данными

Значительное расхождение результатов расчета с данными Мак-Эведи и Джонса для 1200 года можно объяснить тем, что для этого времени нет реальных письменных источников о численности населения Европы, поэтому оценка Мак-Эведи весьма сомнительна. Более надежные данные для Англии дают значительно более высокий, чем у Мак-Эведи, темп роста на протяжении XIII века⁸⁴. Что касается других реперных точек, то результаты расчетов получаются близкими к реальным данным. «Типичный результат моделирования, представленный на рисунке 7, указывает, что модель фактически способна весьма разумно приближать оценки населения, даваемые Мак-Эведи и Джонсом… - писал Дж. Комлос. - Демографический кризис, связанный с Черной Смертью воспроизведен очень хорошо, без внешнего удара по населению. Вопреки представлению, что спад населения был экзогенным, модель подчеркивает их эндогенную природу, то есть, что циклы могут осмысляться как неотъемлемая часть европейской демографической системы. Наше истолкование состоит в том, что европейское население достигло мальтузианского потолка около 1300 года, так что длительный спад произошел бы в любом случае. Безусловно, Черная Смерть усилила этот процесс и, возможно, даже была его ближайшей причиной, но, как нам представляется, не его фундаментальной детерминантой» ⁸⁵.