- •Предисловие
- •1. Линейная и векторная алгебра
- •1.1. Определители Основные определения
- •Свойства определителей
- •Миноры и алгебраические дополнения определителей. Разложение определителей по элементам ряда
- •1.2. Матрицы Основные определения
- •Действия с матрицами
- •1.3. Системы линейных алгебраических уравнений и методы их решения
- •Метод Крамера
- •Матричный способ решения
- •Метод Гаусса исключения неизвестных
- •1.4. Векторы и действия с ними Основные определения
- •Линейные операции над векторами и их свойства
- •Разложение вектора по базису
- •Аффинные координаты
- •Проекция вектора на ось
- •Декартова прямоугольная система координат
- •Скалярное произведение двух векторов
- •Векторное произведение двух векторов
- •Смешанное произведение трех векторов
- •Условия взаимного расположения векторов
Министерство образования и науки Российской Федерации
Саратовский государственный технический университет
В.Н.Филатов
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
Учебное пособие 1
к изучению курса
для студентов специальности 290800
Саратов – 2005
УДК 512+514+517(075)
ББК 22.11
Ф 51
Рецензенты:
Институт повышения квалификации и переподготовки работников образования (доктор физико-математических наук, профессор В.А.Молчанов)
Доктор физико-математических наук, профессор
Саратовского государственного университета А.И.Землянухин
Одобрено
редакционно-издательским советом
Саратовского государственного технического университета
Филатов В.Н.
Ф 51 Высшая математика: учеб. пособие.
/ В.Н.Филатов. Саратов: Сарат. гос. тех. ун-т, 2005. – 72 с.
ISBN 5-7433-1455-1
В учебном пособии приводятся формулировки теорем, определения, формулы и понятия по линейной и векторной алгебре, аналитической геометрии и введению в анализ - материал, осваиваемый студентами в первом семестре обучения.
Предназначено для методического обеспечения курса вышей математики и может быть полезным при подготовке к практическим занятиям, зачетам, коллоквиумам и экзаменам.
УДК 512+514+517(075)
ББК 22.11
C Саратовский государственный
технический университет, 2005
ISBN 5-7433-1455-1 C Филатов В.Н., 2005
Предисловие
Учебное пособие издается в соответствии с постановлением учебно-методической комиссии по специальности «Водоснабжение и водоотведение» (протокол № от июня 2003 г.) и редакционно-издательского совета СГТУ. По мнению УМКС ВиВ в настоящее время по многим дисциплинам интенсивность обучения заметно снизилась. Тому есть много причин:
- недостатки школьного образования;
- возможность поступить на определенные виды образования без конкурсного отбора;
- резкая недостаточность централизованного издания учебников и учебных пособий.
Особенно это присуще обучению студентов на трех начальных курсах. Отмечено, что заметную роль в успешном изучении дисциплины играет быстрота и степень усвоения основных ее понятий. Студенты первых курсов еще не владеют навыками точного переноса понятия или определения в свой конспект, быстрого отыскания их в учебной литературе. Они при подготовке к экзаменам или отчету по модулям затрачивают на это неоправданно много времени.
Цель данного собрания понятий и определений по дисциплине «Высшая математика» заключается в облегчении их поиска, усвоению формулировок и овладением способностью свободной их трактовке и применению. В сборнике помещены рисунки, облегчающие понимание формул и определений. К минимуму в пособии сведено решение примеров, которые также решаются для пояснения определений и свойств математических понятий.
Все замечания и предложения, направленные на улучшение и пополнение учебного пособия будут приняты с благодарностью, обсуждены на заседании УМКС ВиВ и учтены в последующей работе над совершенствованием пособия.
Председатель УМКС ВиВ,
профессор Л.И. Высоцкий
1. Линейная и векторная алгебра
1.1. Определители Основные определения
Определителем второго порядка называется число, которое символически записывается в виде квадратной структуры из четырех элементов (чисел), расположенных в двух строках и двух столбцах:
.
Здесь числа , , , - элементы определителя. Читается, например, - a один, два (первый индекс указывает на то в какой строке находится рассматриваемый элемент, второй индекс указывает номер столбца в котором находится рассматриваемый элемент). , - элементы, стоящие на главной диагонали определителя (диагонали, идущей из левого верхнего угла определителя в нижний правый его угол); , - элементы, стоящие на второй (побочной) диагонали определителя. Определитель второго порядка равен разности произведений элементов, стоящих на главной диагонали и на побочной:
.
Определителем третьего порядка называется число, которое символически записывается в виде квадратной структуры из девяти элементов, расположенных в трех строках и трех столбцах и вычисляется по правилу Саррюса
.
Правило Саррюса можно понять из следующих схем, на которых элементы, входящие в одно произведение с указанным знаком, соединены отрезками:
Аналогично можно дать определение определителей высших порядков, но уже правило вычисления определителя четвертого порядка, типа правила Саррюса, будет трудно понять и запомнить. Позже мы вернемся к вычислению определителей высших порядков. Сейчас же рассмотрим свойства определителей на примере определителей третьего порядка. Эти свойства сохраняют свой вид для определителей любых порядков.