33. Вычисление площади плоской фигуры
Площадь плоской фигуры, ограниченной областью D, находится по формуле
. (105)
Если область определена в прямоугольной системе координат неравенством , то из (105) имеем
. (106)
Если область D определена в полярных координатах неравенством , , то
. (107)
Вычисление объема тела
Объем цилиндрического тела, ограниченного сверху непрерывной поверхностью z = f (x, y), снизу плоскостью z = 0 и сбоку прямой цилиндрической поверхностью, вырезающей на плоскости хОу область D, вычисляется по формуле
. (111)
При z = f (x, y) < 0 объем цилиндрического тела вычисляется по формуле
,
т.е. равен модулю двойного интеграла.
Вычисление объемов тел более сложной формы сводится к вычислению алгебраической суммы объемов нескольких цилиндрических тел.
34.Вычислеие поверхностных интегралов. Рассмотрим скалярную функцию и поверхность S. Пусть S задана векторной функцией
где координаты (u,v) изменяются в пределах некоторой области определения в плоскости uv. Заметим, что функция рассматривается только в точках, принадлежащих поверхности S, то есть
Поверхностный интеграл первого рода от функции по поверхности S определяется следующим образом:
где частные производные и равны
а означает векторное произведение. Вектор перпендикулярен поверхности в точке . Абсолютное значение называется элементом площади: оно соответствует изменению площади dS в результате приращения координат u и v на малые значения du и dv (рисунок 1).
|
|
|
Рис.1 |
|
Рис.2 |
Площадь поверхности S выражается с помощью поверхностного интеграла в виде
Если поверхность S задана уравнением , где z (x,y) − дифференцируемая функция в области D (x,y), то поверхностный интеграл находится по формуле
Если поверхность S состоит из нескольких частей Si, то для вычисления поверхностного интеграла можно использовать свойство аддитивности:
30. Повторные интегралы
Области интегрирования I и II типа
Двойные интегралы вычисляются, как правило, с помощью повторных интегралов. Однако переход от двойных к повторным интегралам возможен не для произвольной области интегрирования R, а для областей определенного типа. Введем понятия областей интегрирования типа I и II. Определение 1. Говорят, что область R на плоскости относится к типу I или является элементарной относительно оси Oy, если она лежит между графиками двух непрерывных функций, зависящих от x (рисунок 1), и описывается множеством:
Определение 2. Говорят, что область R на плоскости относится к типу II или является элементарной относительно оси Ox, если она лежит между графиками двух непрерывных функций, зависящих от y (рисунок 2), и описывается множеством:
|
||
Рис.1 |
|
|
Связь между двойными и повторными интегралами
Пусть f (x,y) является непрерывной функцией в области R типа I:
Тогда двойной интеграл от функции f (x,y) в данной области выражается через повторный интеграл в виде
Для области интегрирования типа II существует аналогичная формула. Если f (x,y) является непрерывной функцией в области R типа II:
то справедливо соотношение
Приведенные формулы (в англоязычной литературе они известны как теорема Фубини) позволяют вычислять двойные интегралы через повторные. В повторных интегралах сначала находится внутренний интеграл, а затем - внешний.
38.Скалярное и векторное поле. Определение 1: Если в каждой точке M(x,y,z) некоторой области V пространства (или плоскости) определена скалярная функция u = u(M), то говорят, что в области V задано скалярное поле u = u(M) = u(x,y,z).
Примерами скалярных полей являются: поле температуры T внутри тела, поле потенциала электрического заряда, поле плотности тела и т.д.
Определение 2: Если в каждой точке M(x,y,z) некоторой области V пространства (или плоскости) определен вектор
то говорят , что в области V задано векторное поле .
Примерами векторных полей являются: поле скоростей текущей жидкости, поле электрической напряженности , поле магнитной напряженности и т.д.