11. Аналитический метод анализа спектра отклика нелинейной цепи на гармоническое воздействие. Спектральный состав отклика при аппроксимации степенным полиномом. Методы спектрального анализа

Гармонический анализ отклика НЭ осуществляется при воздействии на него гармонического колебания со «смещением», представляемого выражением:

.

Цель гармонического анализа отклика – определение его спектрального состава. При этом имеется ввиду, что НЭ безынерционный. Под таким НЭ подразумевается любой электронный прибор с нелинейной ВАХ при использовании его в диапазоне частот, на которых можно пренебречь влиянием паразитных параметров (внутренних емкостей и индуктивностей).

Наиболее распространенные методы анализа и случаи их использования приведены в таблице 16.1.

Таблица 16.1 – Методы спектрального анализа.

Метод спектрального анализа	Способ аппроксимации ВАХ
С использованием тригонометрических формул кратного аргумента (аналитический)	Полиномиальный
Угла отсечки (графический)	Кусочно-линейный
С использованием формул трех и пяти ординат (графоаналитический)	Не требует аппроксимации характеристики НЭ
С использований функций Бесселя от мнимого аргумента	Экспонента или сумма экспонент

При методе угла отсечки используется кусочно-линейная аппроксимация характеристики НЭ. Форма реакции находится графическим методом (методом проекций), который заключается в построении третьей проекции (реакции НЭ) по известным двум: воздействию и характеристике . При построении графика сначала наносят характерные точки: максимумы, минимумы, пересечения с осью абсцисс, - а затем промежуточные точки. Спектральный состав реакции определяется при разложении ее в ряд Фурье.

Метод кратных аргументов основывается на получении выражения реакции путем подстановки в степенной полином, которым представлена нелинейная характеристика , выражения воздействия , представленного в виде ряда Фурье. После элементарных преобразований с учетом известных тригонометрических формул кратных аргументов и группировки слагаемых с одинаковыми аргументами получают выражение отклика в виде ряда.

Слабонелинейный режим работы нэ

Рассмотрим режим работы, при котором напряжение сигнала не выходит за пределы точки начала характеристики (рисунок 15.1) и ВАХ удовлетворительно аппроксимируется степенным полиномом третьей степени:

,

где - входной сигнал.

Подставим в заданный полином выражение входного сигнала:

Применяя тригонометрические формулы кратных аргументов:

избавимся от степеней тригонометрических функций:

Сгруппируем слагаемые с одинаковым аргументом косинуса:

Заменим коэффициенты обозначением тока:

- постоянная составляющая;

- амплитуда первой гармоники;

- амплитуда второй гармоники;

- амплитуда третьей гармоники.

Отклик представим в виде:

Представим воздействие и отклик графически.

Рисунок 16.1 – Спектральные диаграммы гармонического воздействия и отклика на него.

Выводы:

- спектр отклика при воздействии гармонического сигнала линейчатый;

- частоты составляющих спектра кратны частоте входного сигнала;

- кратность частоты высшей гармоники спектра равна степени полинома;

- постоянная составляющая и четные гармоники определяются только четными степенями напряжения в полиноме;

- нечетные гармоники определяются только нечетными степенями напряжения в полиноме.

Отметим, что в спектре отклика появились составляющие, отсутствовавшие в спектре входного воздействия. Эти новые составляющие являются результатом реакции нелинейной цепи и называются нелинейными продуктами, характеризующими нелинейные искажения входного сигнала.

Рассмотренный метод используется при анализе работы усилителей, работающих в нелинейном режиме, т.е. когда допустим уровень нелинейных продуктов выше 10%.

12. Графический метод анализа спектра отклика нелинейной цепи на гармоническое воздействие. Временные диаграммы. Спектральный состав отклика.

СМ СЛЕДУЮЩИЙ ВОПРОС

13. Работа резистивного нелинейного элемента в режиме отсечки. Временные диаграммы. Амплитуды гармоник отклика. Угол отсечки. Оптимальный угол отсечки.

Существенно нелинейный режим работы НЭ

Рассмотрим режим работы, получаемый при сдвиге рабочей точки влево и увеличении амплитуды возбуждающего напряжения (рисунок 15.4). В данном случае целесообразно применить кусочно-линейную аппроксимацию ВАХ:

где - крутизна линейно возрастающего участка ВАХ,

- координата его начала.

Форму реакции находим графическим методом. Типичное взаимное расположение ВАХ и сигналов показано на рисунке 16.2.

Рисунок 16.2 – Определение формы реакции методом проекций.

Форма реакции имеет вид периодической последовательности косинусоидальных импульсов с отсечкой. Полученные импульсы характеризуются двумя параметрами: высотой и шириной .

Угол, соответствующий половине времени существования импульса, называется углом отсечки . Угол отсечки определяется из равенства:

.

В соответствии с формулой при заданной ВАХ (фиксированном ) угол отсечки регулируется выбором амплитуды величины смещения .

Высота (максимальное значение) импульса тока определяется выражением:

.

Поскольку ток – периодическая функция времени с периодом , его можно представить в виде ряда Фурье:

.

Коэффициенты этого ряда являются постоянной составляющей и амплитудами гармоник тока и могут быть вычислены по формулам:

,

,

где - коэффициенты Берга;

- функции Берга.

Для ряда значений коэффициенты и функции Берга табулированы.

Из рассмотрения графиков коэффициентов Берга можно сделать такие заключения: при ток равен нулю (НЭ заперт на протяжении всего периода); при отсечка тока отсутствует и режим работы становится линейным; при работе с отношение амплитуды первой гармоники к постоянной составляющей больше единицы и растет с уменьшением ; с повышением номера гармоники максимумы амплитуд гармоник перемещаются в область малых значений .

Указанные обстоятельства существенно влияют на выбор режима работы НЭ при усилении колебаний, умножении частоты. При умножении частоты для получения наибольшей амплитуды нужной гармоники тока (-ой) необходимо выбрать оптимальное значение угла отсечки:

.

Таким образом, вне зависимости от вида аппроксимирующей функции ток через НЭ при гармоническом воздействии представляется суммой постоянной и гармонических с амплитудами и частотами , кратными частоте приложенного напряжения, составляющих, т.е. рядом Фурье.