Питання для самоперевірки.
-
Дати визначення поверхні.
-
Дати визначення поверхні другого порядку. Пояснити відмінність.
-
Дати визначення циліндричної поверхні, твірної та напрямної циліндричної поверхні.
-
Пояснити, як можна отримати рівняння циліндричної поверхні.
-
Дати визначення конічної поверхні та конічної поверхні другого порядку.
-
Перерахувати основні типи поверхонь другого порядку.
-
Дати визначення сфери, розповісти про перетин сферичної поверхні з прямою та площиною.
-
Розповісти про еліпсоїд та еліпсоїд обертання.
-
Пояснити, що спільного та відмінного між сферою та еліпсоїдом обертання.
-
Дати визначення однопорожнинного та двопорожнинного гіперболоїдів. Вказати на спільні риси між ними.
-
Розповісти про еліптичний та гіперболічний параболоїди, дати визначення осей симетрії цих поверхонь.
-
Дати визначення прямолінійних твірних поверхонь другого порядку. Вказати на особливості прямолінійних твірних однопорожнинного гіперболоїда та гіперболічного параболоїда.
-
Розповісти, за яких умов пряма може перетинати поверхню, дотикатися до неї або не перетинати її.
-
За якої умови пряма стає прямолінійною твірною певної поверхні?
-
Дати визначення дотичної площини та нормалі до поверхні.
РОЗДІЛ 2. Аудиторні практичні заняття.
Завдання для аудиторної роботи з розв’язками.
Приклад 1.
Скласти рівняння сфери з центром в точці С(1, 4, -7), що дотикається до площини 6x+6y-7x+42 = 0.
Розв’язок.
Рівняння сфери запишемо у вигляді Радіус сфери знайдемо як відстань від точки С до даної площини:
Відповідь.
Приклад 2.
Знайти центр та радіус кола .
Розв’язок.
Коло задане як перетин сфери площиною; центр цього кола отримаємо, опустивши перпендикуляр з центра сфери на січну площину та знайшовши їх точку перетину. Радіус кола r можна обчислити за формулою , де R – радіус сфери, а d – відстань центра сфери до січної площини.
Відповідь.
(1; 6; 0); r = 5.
Приклад 3.
Скласти рівняння циліндричної поверхні, якщо напрямна лежить в площині Oxy та має рівняння , а твірна паралельна вектору (1, 0, 1).
Розв’язок.
Нехай т. Р(x0, y0, z0) – точка перетину довільної твірної з напрямною. Точка М ( x, y, z) – довільна точка циліндра.
Складемо рівняння прямої (твірної) . Оскільки напрямна лежить в площині Oxy, то z0=0 (1), тобто
x - x0 = z x0 = x - z (2)
y - y0 = 0•z y0 = y (3)
Підставивши (1), (2), (3) в рівняння напрямної та звівши подібні, отримаємо:
Відповідь.
Приклад 4.
Скласти рівняння циліндричної поверхні, напрямна якої є колом , а твірні паралельні вектору (1, 1, 1).
Розв’язок.
Запишемо параметричні рівняння довільної твірної, що перетинається в точці (x, y, z) з напрямною лінією:
Підставляючи ці вирази в рівняння x+y+z=0, отримаємо: . Отже,
Підставляємо ці вирази в інше з рівнянь напрямної лінії, тобто в рівняння . Тоді отримаємо: . Це й буде шукане рівняння циліндра.
Відповідь.
Приклад 5.
Скласти рівняння конічної поверхні з вершиною в точці S (1, 2, 4), твірні якої складають з площиною 2x+2y+z=0 кут 45.
Розв’язок.
Нехай т. М ( x, y, z) – довільна точка цієї поверхні, тоді
. Зробивши певні перетворення отримуємо рівняння конічної поверхні
Відповідь.
Приклад 6.
Скласти рівняння поверхні, утвореної обертанням гіперболи , x = 0 навколо осі Oy.
Розв’язок.
Рівняння даної гіперболи запишемо у вигляді . Почленно додаючи ці рівняння, отримаємо рівняння однопорожнинного гіперболоїда обертання
Відповідь.
Приклад 7.
Знайти лінію перетину еліпсоїда з площиною та координати її центра та півосі.
Розв’язок.
Лінія перетину даного еліпсоїда з даною площиною запишеться наступною системою рівнянь:
, або , або
Останнє рівняння визначає еліпс, розташований в площині , а його центр знаходиться в точці О (2, 0, ½), його півосі a = 2, b = √2.
Відповідь.
, О (2, 0, ½), a = 2, b = √2.