3. Методы нелинейного программирования

3.1. Метод множителей Лагранжа

В задачах 3.1.1. – 3.1.5. найти условный экстремум с помощью метода Лагранжа.

3.1.1. при условии

3.1.2. при условии

3.1.3. при условии

3.1.4. при условии

3.1.5. при условии

В задачах 3.1.6. – 3.1.10. определить стационарные точки при исследовании условного экстремума функций.

3.1.6. при .

3.1.7 при и при .

3.1.8. при .

3.1.9. при .

3.1.10. при и .

3.2. Градиентные методы выпуклого программирования

В задачах 3.2.1. – 3.2.6. установить выпуклость (вогнутость) функций:

3.2.1. .

3.2.2. .

3.2.3. при .

3.2.4..

3.2.5..

3.2.6. при .

В задачах 3.2.7. – 3.2.11. вычислить градиент следующих функций в заданных точках:

3.2.7. ; .

3.2.8. ; .

3.2.9. ; .

3.2.10. ; .

3.2.11. ; .

В задачах 3.2.12 – 3.2.17. найти экстремум функций, начиная итерационный процесс с точки :

3.2.12. ;.

3.2.13. ; .

3.2.14. ; ,

3.2.15. ; .

3.2.16. ; .

3.2.17. ; .

Задачи 3.2.18. – 3.2.19. решить методом скорейшего спуска, заканчивая вычисления при :

3.2.18. Найти максимум функции:,

при условии, что:

3.2.19. Найти минимум функции ,

при ограничениях:

3.2.20. Используя метод скорейшего спуска, найти максимум функции:

при ограничениях:

4. Задачи динамического программирования

4.1. Задачи выбора оптимальной стратегии обновления оборудования

4.1.1. Найдите оптимальный план замены оборудования на период продолжительностью 6 лет, если годовой доход d(t) и остаточная стоимость S(t) в зависимости от возраста заданы в таблице, стоимость нового оборудования равна P = 7, а возраст оборудования к началу эксплуатационного периода составлял 1 год.

t	0	1	2	3	4	5	6
d(t)	9	8	7	7	7	6	6
S(t)	7	6	5	4	4	3	2

4.1.2. Предприниматель закупил и установил за 40 млн. руб. Новую деревообрабатывающую линию станков для производства стройматериалов. Динамика объемов продажи стройматериалов, затраты на эксплуатацию станков и их остаточная стоимость по годам приведены в таблице:

Показатели	Время эксплуатации станков, лет
	0	1	2	3	4
Объемы продаж, млн руб	100	80	70	60	55
Затраты на эксплуатацию, млн руб	20	25	30	35	45
Остаточная стоимость, млн.руб	38	36	30	20	15

Определить оптимальный план замены станков, обеспечивающий максимальный объем продажи стройматериалов.

4.1.3. Найти оптимальную стратегию эксплуатации оборудования на период продолжительностью 6 лет, если годовой доход d(t) и остаточная стоимость S(t) в зависимости от возраста заданы в таблице, стоимость нового оборудования равна P = 13, а возраст оборудования к началу эксплуатационного периода составлял 1 год.

t	0	1	2	3	4	5	6
d(t)	8	7	7	6	6	5	5
S(t)	12	10	8	8	7	6	4

4.1.4. Компания хочет инвестировать 4000 долл. сейчас и 2000 долл. в начале каждого года, от второго до четвертого, считая от текущего года. Первый банк выплачивает годовой сложный процент 8% и премиальные на протяжении следующих четырех лет в размере 1,8%, 1,7%, 2,1% и 2,5% соответственно. Годовой сложный процент, предлагаемый вторым банком, на 0,2% ниже, чем предлагает первый банк, но его премиальные на 0,5% выше. Определить максимально возможный накопленный капитал к концу четвертого года.

4.1.5. Некий инвестор с начальным капиталом в 10 000 долл. должен решить в конце каждого года, сколько денег истратить и сколько инвестировать. Каждый инвестированный доллар возвращает α = 1,09 долл. в конце года. Истраченные у долларов на протяжении каждого года приносят удовлетворение, определяемое количественно как эквивалент получения долларов. Решите задачу для периода в 5 лет.

4.1.6. Фермер имеет 2 овцы. В конце каждого года он принимает решение, сколько овец продать и сколько оставить. Прибыль от продажи одной овцы в 1-й год равна 100 €, во 2-й 130 €, в 3-й 120 € . Количество овец в конце года удваивается к концу следующего года. Фермер планирует в конце 3-го года полностью продать овец.