- •Обыкновенные дифференциальные уравнения Общие понятия
- •Уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной
- •Геометрическая интерпретация. Понятие о задаче Коши
- •Уравнение, не содержащее искомой функции
- •Уравнение, не содержащее независимой переменной
- •Уравнение с разделяющимися переменными
- •Однородное уравнение
- •Уравнение в полных дифференциалах
- •Линейное уравнение
- •Уравнение Бернулли
- •Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной Основные понятия и определения
Линейное уравнение
Линейным дифференциальным уравнением первого порядка неоднородным называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и ее производной. Оно имеет вид
, (53)
где заданные функции и определены и непрерывны в интервале . Наряду с неоднородным рассматривается линейное однородное уравнение.
. (54)
Всякое решение линейного уравнения есть частное решение, особых решений линейное уравнение не имеет, поскольку в области
всегда выполняются условия существования и единственности решения задачи Коши для линейного уравнения с непрерывными коэффициентами P, Q (53).
Методы интегрирования линейного уравнения
1. Метод мультипликативной подстановки Бернулли. Мультипликативная подстановка (34), предложенная в 1693г. Лейбницем для интегрирования однородного уравнения была обобщена его ближайшими последователями, братьями Бернулли (и самим Г.В. Лейбницем) в работах 1696–1697гг. на случай линейного уравнения в виде
, , (55)
где и некоторые неизвестные функции.
Следуя методу, запишем уравнение (53) и дифференциалах и применим подстановку(55)
.
Считая, например, функцию v неизвестной, а функцию u произвольной, сгруппируем второй и третий члены в левой части вышенаписанного равенства
. (56)
Выберем функцию и так, чтобы выражение в квадратных скобках уравнения (56) обращалось в нуль
. (54)
Это линейное однородное уравнение относительно неизвестной функции и является также уравнением с разделяющимися переменными. Разделяя переменные, квадратурой, потенцируя
, ,
находим искомую функцию
. (57)
Постоянную интегрирования здесь не пишем, так как достаточно в качестве функции взять какое-нибудь отличное от нуля частное решение уравнения (54).
Подставим найденную функцию (57) в уравнение (56). Так как в этом уравнении выражение в квадратных скобках равно нулю, получим уравнение с разделяющимися переменными v и х
Разделяя переменные, квадратурой, находим вторую искомую функцию
. (58)
Возвращая выражения (57) и (58), соответственно для функций u и v, в подстановку (55), получаем общее решение уравнения (53) в рассматриваемой области G
. (59)
Его можно переписать в форме Коши
. (60)
Из формулы (60) видно, что всякое решение однородного уравнения является непрерывно дифференцируемой функцией как зависимой переменной х, так и начальных данных х0 и у0.
2. Метод интегрирующего множителя Эйлера. Особенно широкое развитие метод интегрирующего множителя получил в работах Эйлера 1768–1769гг., в которых был установлен ряд классов дифференциальных уравнений первого порядка, обладающих множителем данного вида.
Для линейного уравнения (53) выполнено условие существования интегрирующего множителя, зависящего только от х. В самом деле (проверим условие 1 формула (50))
, ,
, следовательно .
Следуя методу, умножим обе части уравнения (53) на интегрирующий множитель, найденный выше
.
Так как левая часть этого равенства представляет собой производную произведения, то
,
или в полных дифференциалах
.
Интегрируя последнее равенство, получаем
,
откуда искомое общее решение уравнения (53)
. (59)
3. Метод вариации произвольной постоянной Лагранжа. Этот метод был детально разработан Лагранжем в 1766–1777гг.
Обратимся к линейному однородному уравнению (54)
. (54)
Из формулы (54) видно, что однородное линейное уравнение всегда имеет тривиальное нулевое решение , которое не представляет практического интереса, хотя является одним из частных решений. В области G нетрудно получить общее решение уравнения (54) в виде
, (60)
или в форме Коши
. (61)
Все решения однородного линейного уравнения (54) содержатся в формуле общего решения (60) или (61). Любое ненулевое решение однородного линейного уравнения целиком расположено или выше или ниже оси Ох. Если у1 – ненулевое решение уравнения (54), то есть общее решение этого уравнения.
Следуя методу, зная решение однородного уравнения (54), будем искать общее решение неоднородного уравнения (53) в виде
, (62)
где – некоторая непрерывно дифференцируемая функция х. Для определения функции подставим выражение (62) в данное неоднородное уравнение (53) (по сути осуществим замену специального вида (62) неизвестной функции у), предварительно вычисляя производную
.
После подстановки и приведения подобных, приходим к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными С и х
.
Интегрируя, получаем
,
здесь новая произвольная постоянная снова обозначена через С. В результате подстановки полученного значения в равенство (62), находим общее решение данного неоднородного линейного уравнения
, (63)
которое совпадает с решением (59). Из вида (63) следует важное предложение. Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения (53) равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения (60) и частного решения неоднородного уравнения, получающегося, например, из формулы (63) при .
Заметим, что при практическом рассмотрении конкретных примеров не рационально пользоваться готовыми формулами (59), (63). Важно владеть методами их получения.
Примеры.
41. . Это линейное уравнение, будем искать его общее решение методом Бернулли в виде (55)
, .
Подставим выражения для у и у' в данное уравнение и перегруппируем его, выделив квадратными скобками условие для нахождения первой искомой функции
,
.
Из условия , разделяя переменные, квадратурой получаем
, , ;
здесь не пишем константу интегрирования, так как достаточно любого частного решения при нахождении первой функции. Подставляя частное решение в промежуточное уравнение, с учетом того, что выражение в квадратных скобках обращается в нуль, приходим к уравнению для определения второй искомой функции
, ,
общее решение которого и есть вторая искомая функция
.
Следовательно, общее решение данного уравнения
.
42. , .
Применим метод Эйлера, поскольку очевиден для данного уравнения интегрирующий множитель ((50) условие 1)
.
Умножая обе части данного уравнения на , получим
.
Так как в левой части производная произведения, квадратурой вычисляем общий интеграл уравнения
, .
Используя начальные условия, из общего интеграла получаем для нахождения константы С уравнение
, откуда ;
следовательно, решение поставленной задачи Коши
, .
43. , .
Согласно методу вариации постоянной, рассмотрим соответствующее однородное уравнение
, или ,
квадратурой находим его общее решение
, .
Далее ищем решение неоднородного уравнения в виде
.
Подставляя это выражение в данное уравнение, находим
, , .
Следовательно, общее решение данного уравнения есть
.
Из общего решения, используя начальные условия, определяем постоянную интегрирования и получаем решение поставленной задачи Коши
.
44. . Это нелинейное уравнение, однако, линейным является перевернутое уравнение, если рассматривать х как функцию от у
.
В соответствии с методом вариации произвольной постоянной, решаем соответствующее однородное уравнение
, , , .
Будем искать решение перевернутого уравнения в виде
,
где – неизвестная функция от у. Подставляем это выражение в неоднородное (перевернутое) уравнение
, .
Отсюда, интегрируя по частям первое слагаемое, имеем
.
Подставляя найденное выражение для неизвестной функции С в искомый вид решения, получаем общее решение перевернутого уравнения, а, значит, общий интеграл данного уравнения
.
45. . Это нелинейное уравнение, умножая обе его части на и делая замену , приводим данное уравнение к линейному относительно новой неизвестной функции
.
Следуя методу Лагранжа, сначала находим общее решение соответствующего однородного уравнения
, , , ,
а затем, варьируя постоянную интегрирования С, находим общее решение (интегрированием по частям) неоднородного промежуточного уравнения
, ;
; .
Возвращаясь к старым переменным, запишем общий интеграл данного уравнения
.