Сплайни.

Перевагою сплайнів над звичайною інтерполяцією є, по-перше, їх збіжність, і, по-друге, стійкість процесу обчислень.

Інтерполювання сплайном полягає в наступному: область визначення функції D(u) ділять на частини D_і, , які не перетинаються між собою і для яких , в кожній частині ф-ція визначається як поліном і називається сплайн-функцією.

На відрізку [a,b] визначимо сітку , по вузлах якої задане значення функції. Назвемо сплайном функцію, яка є поліномом степеня m на кожному проміжку з сіткою ∆, в вузлах х_і приймає значення і має в цих вузлах неперервні похідні до порядку k включно. m – це порядок сплайну, m-k – це дефект сплайну. На практиці найбільш широке розповсюдження отримали сплайни третього степеня. Ці сплайни називаються кубічними і позначаються S₃(x).

Озн. Кубічним сплайном називається функція, яка має такі властивості:

а) на кожному сегменті функція є поліномом третього степені;

б) функція , а також її перша і друга похідні неперервні на ;

в) ;

г) .8

Озн. Умова в) називається умовою інтерполювання.

Озн. Сплайни, які задовольняють умову г) називаються природніми.

Озн. Величина називається нахилом сплайну в точці (вузлі) x_i.

Отже, щоб задати кубічний сплайн S₃(x) на всьому відрізку [a,b], необхідно задати в N+1 узлах x_i його значення f_i та нахили m_i, i=0,...,N. Нахили можна задати, наприклад, так: , , причому , , h=(b-a)/N.

4. Методи чисельного інтегрування.

Розглянемо методи наближеного знаходження визначених інтегралів , що засновані на заміні інтегралу кінцевою сумою , де - числові коефіцієнти, - точки відрізку [a,b], k = 0,1,..,n. Для знаходження таких інтегралів використовуються квадратурні формули інтерполяційного типу (*).

- квадратурна сума, - вузли квадратурної формули, - коефіцієнти квадратурної формули. Різниця - похибка квадратурної формули, залежить як від розташування вузлів, так і від вибору коефіцієнтів.

Нехай має місце (*), а коефіцієнт будемо шукати з умови точності цієї формули для поліномів вищого степеня. Розглянуті нами формули називаються формулами з фіксованими вузлами інтегрування. Якщо ж вузли інтегрування заздалегідь не визначати, то можна намагатися одержати квадратурну формулу точну для поліномів 2n+1 степеня. Такі формули, де зафіксовані і вагові коефіцієнти і вузли називаються формулами найвищого алгебраїчного степеня точності або формулами типу Гауса. Але щоб одержати всі невідомі, треба розв’язувати нелінійну систему рівнянь або систему нелінійних рівнянь.

Теорема чисельного інтегрування:

Нехай на [a,b]. Тоді таке, що

Розглянемо такі квадратурні формули:

a) формула прямокутників с залишковим членом

,

б) формула трапецій с залишковим членом

,

в) Формула Сімпсона ( формула парабол )

,

Вище розглянуті квадратурні формули - канонічні. Можна побудувати ускладнені формули на [a,b] : відрізок [a,b] ділимо на N частин, до кожної застосували якусь канонічну квадратурну формулу і сумують результати. Так виведемо ускладнену квадратурну формулу прямокутників:

часткові відрізки : ,

i=0,1,..,N-1, , h=(b-a)/N

- значення f

в середині відрізку , при цьому

, - деяка точка

скадаючи отримаємо ускладнену квадратурну формулу.

, - точка [a,b]

ускладнена квадратурна формула з залишковим членом.