Точность вычислительного эксперимента Источники и классификация погрешности

Обуславливается следующими причинами:

1. Математическое описание задачи(модели) является не точным. Неисправимая погрешность.

2. Применяемый для решения метод как правило не является точным. Это погрешность метода.

3. При вводе и выводе результатов производят погрешность округления. Это вычислительная погрешность.

4. Погрешность численного метода регулируема. Т.е. она может быть снижена до любого разумного значения путем изменения некоторого параметра.

Погрешность метода пытаются довести до величины в несколько раз меньшей исходных данных.

ЭВМ оперирует приближенными числами действительных чисел. Меры точности приближенного числа является погрешность.

Существует два вида погрешностей, абсолютная и относительная. Т.к. истинное значение приближенной величины на самом деле не известна, поэтому вместо абсолютной используют предельно абсолютную погрешность

1/2

Пусть для величины х имеем приближенное значение а. Предельное абсолютное для а половина единицы последнего значащего разряда а. х(а….- округляется погрешность всегда в сторону увеличения. а=156,1 а=0,9 ∆а≈0,05 ∆а≈0,05

Действия над приближенными числами.

Классические операции:

1. ∆(а±b)= ∆а+∆b их абсолютные погрешность складываются

2. δ(a*b)= δa+ δb δ(a/b)= δa+ δb складываются относительные

3. δ(a^k)= kδ(a) При возведении в степень приближенного числа относительная погрешность умножается на показатель степени

Пр. найти относительную погрешность функции

Рассмотрим запись оценок для функций аргументами, которых являются приближенные числа. Существует общее правило основанное на вычислении приращении функции при заданных приращениях аргумента.

Рассмотрим функцию одной переменной. Y=F(x) пусть а приближенное значение х-са , а дельта а его абсолютная предельная погрешность. Тогда абсолютную погрешность функции можно считать ее приращением, которую можно приближенно заменить дифференциалом ∆у=dy. ∆y=|f’(x)|* ∆а.

Используя это правило можно написать следующую формулу.

Y=f(a,b,c) x;a y;b z;c – приближенные для…

Пр.

Устойчивость, корректность, сходимость

Чувствительность задачи к неточностям исходных данных называется устойчивостью. Если исходная величина х имеет абсолютную погрешность ∆ х, а решение у имеет абсолютную погрешность ∆у, то говорят, что задача устойчива по исходным парламентам х, если малое приращение исходной величины приводит к малому приращению исходной величины. Отсутствие устойчивости означает, что даже незначительные погрешности исходных данных приводят к большим погрешностям решении или вовсе неверному результату. Это не устойчивые задачи.

Корректность. Задача называется поставленной корректно, если для любых значений исходных данных из некоторого класса, ее решение существует единственно и устойчиво по исходным данным. В настоящее время развивается методы решения некорректно поставленных задач, это метод регуляции. Они основаны на замене исходной задачи на конкретно поставленной задачей, которая содержит некоторые параметры и стремление к нулю которого решение этой задачи переходит в решение исходной.

Сходимость. Сходимость численного метода означает близость полученного численного решения к истинному значению. Сходимость интеграционного процесс состоит в том, что для решения некоторой задачи и для нахождения значения определяемого параметра строится метод последовательных приближений. В результате многократного повторения этого процесса (повторение итерации) получаем последовательность значений. х1,х2,..,хn говорят, что это последовательность сходится к точному решению х=а если при неограниченным возрастании предел это тогда имеет сходящийся численным метод.

Сходимость в методах дискретизации. Стремление значении решения дискретной задачи к соответствующем значении исходной задачи. При стремлении к 0 параметр дискретизации. (Метод численного интегрирования, шаг интегрирования является параметром дискретизации)