расчетные методы дозиметрии бета-излучения

Сигнальный экземпляр

Разработка аппроксимирующей полуэмпирической формулы для описания функций Ψ (r).

41

К пунктам 11,12,13.

Приближение “единых дозовых функций”, модернизация.

Проведя сравнение между собой дозных распределений в легкоатомных пластмассах от мононаправленных электронных пучков разной энергии, мы убедились в том, что “универсальность” глубинных дозных распределений,

Где абсцисса z есть x/R (Ei), а ǽ(Ei) – некоторый “коэффициент растяжения” дозного распределения вдоль оси ординат, одинаковой для всех z и Ɵ.

Условие (1) говорит лишь о пропорциональности этих распределений, т.е. об универсальности формы дозных кривых, и следовательно оно менее жёсткое, нежели ранее предложенное условие, требующее совпадения распределения доз по относительной глубине. –ϕ (х, Ei, Ɵ)≈ Ψ (z, Ɵ) (2). [….]

ВЫВОД: Приближение (1) значительно лучше соответсвует экспериментальным данным, чем – (2).

42

Сигнальный экземпляр

ГЛАВА 3. РАЗРАБОТКА РАСЧЁТНОГО МЕТОДА ДОЗИМЕТРИИ ИСТОЧНИКОВ БЕТА-ИЗЛУЧЕНИЯ

3.1. Состояние вопроса.

−Дозное поле в мягких биологических тканях от объёмных источников может быть рассчитано путём интегрирования по объёму источника произведения плотности активности и т.н. функции влияния точечного источника (ФТИ), т.е. функции, описывающей распределение дозы излучения от точечного источника в однородной по плотности и атомному номеру среде, при этом предполагается, что эмиссия источника радиации изотропна.

− В качестве модели среды эквивалентной мягким биологическим тканям, в расчётах часто используют воду, а в эксперименте подходящую пластмассу (тканеэквивалентную пластмассу).

− Ограничившись в дальнейшем случаем тканеэквивалентной среды, рассмотрим вначале имеющиеся (по литературным данным) возможности для определения вида ФТИ бета-излучения. Указанную функцию обозначим

Ψ (r) (r- расстояние от источника), а произведение 4πr2Ψ (r)- как W(r). Величина W(r) пропорциональна энергии бета-излучения, поглощённой в сферическом слое единичной толщины с радиусом r.

− Разными авторами, измерявшими дозные распределения от бета-излуча- телей в легкоатомных материалах, было предложено несколько простых эмпирических выражений для приближённого описания функции Ψ (r). В работах Росси и Поройкова /36, 37, 38/ предлагалось описывать распределение мощности доз Ψ(r) от точечного источника активностью А с помощью следующего выражения:

Ψ(r)= exp(−μr)

Где μ− коэффициент поглощения, зависящий от энергии бета-частиц, r−расстояние до источника, с−константа.

Несколько иные формулы предложил Зоммермейер /39 – 42/ Ψ1(r)~exp(−r/e)r−2 для Eср<300 кэВ

Ψ2(r)~exp(−r/e)r−1 для Eср>300 кэВ

Здесь e- диффузионная длина для электрона.

Одеблад /78,120/ для аппроксимации функции Ψ(r) использовал биноминальную формулу вида: P (r) ≈ ( 1 − ) n

Показатель степени n=μR, где R−максимальный пробег бета-частиц. Однако экспериментальным данным, по-видимому, лучше соответствовала

несколько более сложная формула Левинджера /79-81/.

43

3.1.1. Аппроксимация Левинджера для функции точечного источника бета-излучения.

Запишем аппроксимацию Левинджера в виде:

эффективного коэффициента поглощения излучения, т.к. использование (1) для расчёта распределения доз от плоского источника приводит (при х>с) к зависимости вида ≈ e−νd, где d − расстояние от плоскости. Если не рассматривать

где энергия Eмакс выражена в МэВ.

Второй параметр, с- также зависит лишь от Eмакс , принимая с ростом Eмакс последовательно три дискретных значения (2; 1,5 и 1).

Величинатретьегопараметрак,определяетсявеличинами , с и Еср –сред- ней энергией бета-спектра, поскольку во всех случаях должно выполняться очевидное условие нормировки: гаем, что функср (здесь и в дальнейшем мы предполагаем, что функции (r) и W(r)описывают поглощение энергии, соответствующей эмиссии одной бета-частицы).

−Выражение(1) имеет определённой физический смысл, т.к. его структура соответствует упрощённой картине распространения бета-излучения; первое слагаемое (в квадратных скобках), обращающееся в нуль при х=с, описывает поглощение энергии за счёт нерассеянного или сравнительно слабо рассеянного излучения, распространяющегося вблизи источника практически радиально, а второедаёт вклад бета-излучения, полностью полностью потерявшего направление в процессе рассеяния (“диффузии’’) /43/.

−Наряду с отмеченными достоинствами, предложенная Левинджером

методика оценка ФТИ не свободна от серьёзных недостатков.

44

Сигнальный экземпляр

Прежде всего, как это отмечено самим автором /43/, выражения (1) и (2) не являются универсальными. В принципе применимые при Емакс> 0,036

МэВ, формулы проверялись экспериментально только в диапазоне

0,17≤ Емакс ≤ 3 МэВ. Вне этого диапазона остаются многие распространённые быта-излучатели, как например 3H, 14C (со стороны низких энергий), 106 Ru+106Rh,42K(состоронывысоких),иприменениедлянихформулЛевинджера не может считаться обоснованным. Более того, можно было предполагать, что для некоторых изотопов с энергией в области 0,036< Емакс<0,170 МэВ применение формул (1) и (2) вообще приведёт к заведомо ошибочным результатам.

Показателями этого являются : а) беспредельное возрастание коэффициента

Rм (в соответствии с (2) при Емакс→0,036 МэВ и б) трудности однозначного

выбора параметра С для изотопов с низкой Емакс ; например, для 35S эта величина по данным измерений в разных легкоатомных материалах может быть

взята равной и 1 и 2,8 /10/.

Далее, выражение (1), не удовлетворяющее очевидному условию: W(r)≡0 при r≥Rм(Емакс)- максимальный пробег бета-излучения, неправильно описыва-

ет ФТИ при r>Rм/2.

Приувеличениирасстоянияrотисточника,начинаясr Rм/2величинаотносительной ошибки монотонно и неограниченно возрастает. В большинстве случаев этот недостаток , обусловленный сравнительно простой формой выражения (1), не является существенным, т.к. на расстояниях больших Rм/2, среде передаётся лишь несколько процентов энергии эмитированных бета-частиц. Однако имеются задачи, требующие оценки энерговыделения вблизи конца максимального пробега бета-излучения, и для этого функция (1) непригодна. В /92/ указано, что для улучшения согласия с экспериментальными результатами вблизи конца пробега бета-частиц можно добавить ко второму слагаемому в

(1) член - Rмexp(1− Rм),однако точность описания ФТИ с помощью такой исправленной аппроксимации Левинджера проблематична.

−Кромебольшихрасстоянийотисточника,функция(1)невсегдаправиль-

но описывает энерговыделение и вблизи источника излучения, при малых r. В легкоатомных материалах вблизи точечного источника бета-частицы распространяются в основном радиально, а распределение энергии, поглощённой в среде, должно быть близким к распределению энергии, теряемой вылетевшими из источника электронами. При этом для малых r должно выполняться приближенное равенство:

где ср − среднее по спектру эмиссии значение тормозной способности среды. Записанное “граничное условие” для ФТИ было подробно рассмотрено в работе [68]. Укажем, что для ФТИ, определённых по (1), условие (3) выполняется с 10-20% точностью только у бета-излучателей с Емакс 1+1,5 МэВ, в то время, как у изотопов со сравнительно низкой Емакс (например у 14C, 35S, 147Pm,

45

45Ca, 90Sr, 204Tl) величина W(r) при r→0,оценённая по (1), существенно во мно-

−

В дополнение к этим критическим замечаниям по поводу приближения Левинджера, содержащимся в опубликованной литературе, укажем ещё на одно

важное обстоятельство.

Кроме максимальной энергии Емакс, бета-спектры разных изотопов могут различаться между собой по форме *), причём различия в форме спектральных распределений(приодинаковыхиблизкихЕмакс)должны,очевидно,как-тоска- заться на форме кривых W(r). Между тем для функций W(r), определённых по формуле (1) это не имеет места: форма распределений W(r) определяется по

(1) только параметром с, зависящим (дискретно) лишь от Емакс. Что касается величины , то её влияние на форму кривой W(r) сводится только к изменению масштаба по оси r, да и сама величина зависит практически только от Емакс.

Таким образом, построенные по Левинджеру графики ФТИ для пары изотопов с близкими Емакс (и одинаковыми с), но различными по форме спек-

трами эмиссии, −должны различаться лишь масштабами по оси r (разные ),

но не формой кривых W(r), и это не может соответствовать действительно-

сти.Примерпарытакихизотопов−35Sи14C. Сравнение двух спектров эмиссии ( у 35S− почти линейно убывающее с энергией спектральное распределение, у 14C−выраженный максимум в спектре) приводит к выводу о том, что кривая W(r) для 35S из-за большего количества электронов малых энергий в спектре должна вблизи r=0 спадать заметно круче, чем аналогичная кривая для 14C. В то же время графики W(r), построенные по (1) для 35S и 14C, различаются лишь масштабами по оси r (из-за ~ 13%−разницы в величинах ).

Из сказанного следует, что предложенная Левинджером методика оценки ФТИ бета-излучения, по крайней мере для ряда распространённых изотопов, не может и не могла считаться надёжной.

3.2. Функции точечного источника моноэнергетических электронов. Расчётные данные.

Другая возможность определения вида функции W (r) состоит в использовании опубликованных расчётных данных. Функции W (r) для любых бета

– спектров можно вычислить путём суперпозиции дозных распределений W(r, Ei) для отдельных моноэнергетических линий:

*)Например, разрешённые спектры с близкими, в особенности малыми, Емакс заметно различаются по форме у излучателей с разными Z.

46

Сигнальный экземпляр

источника моноэнергетических электронов с энергией Ei. Основой для для расчётаW(r) являются, как видно, функцииW(r, Ei) или Ψ(r, Ei). Эти функции представляют и самостоятельный интерес, т.к. могут быть использованы,

например, при расчёте доз от электронов внутренней конверсии.

В работах Спенсера /44,45/ описан метод решения уравнения переноса для электронов и приведены результаты расчётов распределения диссипирован-

ной энергии для двух конфигураций источника:

а)плоскийбесконечноширокийисточникэлектроновснаправлениемэмиссии, перпендикулярным плоскости источника; б) точечный изотропный источник.

В обоих случаях рассматривалось безграничное пространство и эмиссия моноэнергетических электронов. Диапазон энергий достаточно широк /45/, от 25 кэВ до 10 МэВ, а в качестве среды, наряду с некоторыми металлами со сравнительно большим Z[44] взяты и легкоатомные материалы: углерод, полистирол, воздух /45/.

Результаты вычислений диссипации энергии для условий, близких к а) и б), приведены также в /46/ (полубесконечный водный фантом, энергия 1 Мэв, расчёт методом Монте−Карло), а расчётные данные, относящиеся к случаю б) и энергии 0,4 Мэв (для воздуха) можно получить из работы /96/. Расчётные результаты, полученные в перечисленных работах для близких геометрических условий и материалов и одинаковых энергий, довольно хорошо согласуются между собой.

Сопоставить результаты расчётов для интересующего нас случая геометрии б) с какими-либо экспериментальными данными нельзя, так как измерения величин W( r, Ei), насколько нам известно, пока не проводились. С другойстороны,измерениядозныхраспределенийотширокогоплоского“перпендикулярного” моноэнергетического источника ( геометрия а) проводилась неоднократно, и соответствующие экспериментальные данные имеются в ли-

тературе. Сравнив расчётные и экспериментальные данные, относящиеся

кгеометрииа),можнооценитьнадёжностьрасчетовирольихтехприближений, в рамках которых они проведены. Поскольку в упомянутых выше работах методы расчётов для случаев а) и б) мало отличались друг от друга, таким путём можно также оценить достоверность интересующих нас расчётных значений функций W (r, Ei), приведённых в литературе.

На рис.1А штрих-пунктиром изображены результаты измерений дозного распределения в полиэтилене ( полубесконечный фантом) при нормальном падении широкого электронного пучка с энергией 1 Мэв (данные Г.Б. Раздиевского, Д.П. Осанова). При оси абсцисс отложена глубина Z под облучаемой поверхностью, выраженная в долях пробега: Z=r/R, а по оси ординат−отношение P(z)/P(0), где P(z)−мощность дозы на глубине r. Результаты расчётов Спенсера /45/ для полистирола и той же энергии изображены штриховыми линиями, а данные Бергера и Зельцера− гистограммой (вода, 1 Мэв) /46/.

47

Несмотря на то, что расчетные данные /12/ относятся к безграничной среде, а результаты расчётов /13/− к полубесконечному фантому, они достаточно хорошо согласуются между собой. Впрочем, при нормальном падении пучка электронов, как показано в /58/, даже в случае алюминия разница между дозамиприбесконечномиполубесконечномслояхматериаланепревышает4−5%и наблюдаетсялишьвблизиисточника.Втожевремянарис.1Авидно,чтоэкс-

периментальные результаты заметно отличаются от расчётных, и разница почти всюду превышает ошибки измерений. Экспериментальные данные для аналогичных материалов и той же энергии, полученные в других работах [5965] , довольно близки к штрихпунктирной кривой и отличаются от рассматриваемых расчётных результатов не меньше, чем изображённые на рис. 1 А экспериментальные данные, причём различие в большинстве случаев имеет такой жехарактер,т.е.уэкспериментальнойкривоймаксимумрасположеннесколько ближе, а наклон этой кривой при больших толщинах−несколько меньший, чем у расчётного распределения. Примерно такие же по характеру различия между расчётнымииэкспериментальнымиданныминаблюдаютсяприменьшейэнергии электронов, −100 кэВ и 400 кэВ – как это видно из работы [66].

48

Сигнальный экземпляр

Таким образом отличия теоретических результатов от данных эксперимента /рис. 1 А / являются типичными.

Причиной отличий экспериментальных и расчётных дозных распределений являются , очевидно, приближения, сделанные в расчётах и, в первую очередь, использование модели непрерывного замедления. Возможно, что некоторую, хотя и меньшую роль, играет игнорирование в расчётах образования вторичных электронов.

Учёт флуктуаций потерь энергии при расчёте доз наиболее важен для материалов с низким атомным номером, таким как ткань, вода, пластмассы /11/, хотя он заметно влияет на полученные результаты даже в случае алюминия. Этовиднонарис.1Б.Здесьсплошнаякривая(1)−дозноераспределениевалюминии для геометрии а) и энергии 4 МэВ, вычисленное в приближении непрерывного замедления, точки – результат расчёта

(методомМонте−Карло)тогожераспределения,носучётомфлуктуациивпотерях энергнии. Характер различия данных, полученных без учёта и с учётом флуктуаций здесь такой же, как расчётных и экспериметальных кривых на рис. №1А.

Кривые (2) на рис. № 1.Б. изображают зависимость электронного тока, вышедшего из плоского образца, от его толщины Х ( “кривая трансмиссии”). Материал−алюминий, начальная энергия электронов, падающих нормально, 0,5 Мэв. Сплошная кривая− расчёт методом Монте−Карло в приближении непрерывного замедления / /, штрих−пунктир−экспериментальные результаты /…/.

Ввиду заметного различия расчётных и экспериментальных результатов, относящихся к геометрии а), мы при вычислении ФТИ для бета− излучения не использовали полученные в работе Спенсера /11/ функции

W(r, Ei).

3.2.1. Приближение “единых дозовых функций”.

Для получения функций W(r, Ei) можно воспользоваться результатами измерения дозных распределений в тканеэквивалентных материалах от широких мононаправленных пучков электронов. Пусть функция P(x, Ei, θ) обозначает мощность дозы на глубине Х под поверхностью полубесконечного образца, создаваемую (бесконечно) широким пучком электронов с энергией Ei, падающим под углом θ. Если функция P нормирована на единичный поток электронов, то её можно записать в виде /15/:

Где (Ei, θ)− так называемый дозный коэффициент обратного рассеяния;

Аf (x, Ei, θ)= P(x, Ei,θ)/ P(0, Ei, θ) − относительное дозное распределение.

Вработе /15/ описаны результаты измерений функции f(x, Ei,θ) для углов в диапазоне Оо≤θ≤600 и энергией в интервале и 0,4≤Ei≤1,2 Мэв. Оказалось, что кривые зависимости f от глубины для разных энергий Ei и при фиксированном

49