1.7. Основные типы шкал

Тип шкалы определяется типом преобразований, с помощью которых одна числовая система, соответствующая данной эмпирической системе, переводится в другую числовую систему, также соответствующую данной эмпирической системе.

К числу преобразований, характеризующих основные типы шкал, относятся: тождественное, подобия, сдвига, линейное, монотонное и взаимнооднозначное. Чем меньше множество числовых систем, в которые гомоморфно отображается данная эмпирическая система, тем мощнее шкала, в которой она измеряется, по набору допустимых операций над ее числовыми значениями.

Наименее мощным типом шкалы является номинальная шкала. Очевидно, что эмпирическая система с отношением эквивалентности измерима в номинальной шкале. Измерение признака в номинальной шкале состоит в разбиении объектов на классы эквивалентности, где объектам одного класса соответствует одно число. В номинальной шкале значения числовой системы U_Z определены с точностью до взаимно - однозначного преобразования (x), где x- исходное числовое значение. Это означает, что k различным значениям x_ij{1,…k} компоненты i признака X_j можно поставить в соответствие k произвольных различных значений ( x_ij ){(1),(2),…(k)}.

Более мощной является порядковая шкала. Можно доказать, что эмпирическая система с отношением линейного порядка измерима в порядковой шкале. Числовые системы, в которые гомоморфно отображается эмпирическая система с отношением линейного порядка, должны сохранять порядок на множестве объектов, соответствующий их ранжированию. В порядковой шкале значения числовой системы определены с точностью до монотонных преобразований.

Следующая шкала уже относится к количественному типу - шкала интервалов. В такой шкале значения числовой системы измеряются с точностью до линейного преобразования вида (x)=x+ > 0. В шкале интервалов сохраняется отношение разности численных значений. Действительно, пусть объектам a₁, a₂, a₃, a₄ в некоторой числовой системе соответствуют значения f(a₁)= x₁₁, f(a₂)= x₂₁, f(a₃)= x₃₁, f(a₄)= x₄₁ ,то есть измерен признак X₁=(x₁₁, x₂₁, x₃₁, x₄₁)^Т . Пусть в другой числовой системе измерен признак (X₁) == (x₁₁x₂₁x₃₁x₄₁)^Т . Тогда получим

Примером измерения в шкале интервалов является значение температуры по шкалам Цель-

сия, Кельвина, Фаренгейта.

Следующая количественная шкала - шкала отношений. В такой шкале значения числовой системы измеряются с точностью до преобразования подобия вида x = x,  > 0. В такой шкале сохраняются отношения численных значений. Действительно, пусть объектам a₁ и a₂ соответствуют значения f(a₁) =x₁₁ и f(a₂) =x₂₁ в одной числовой системе и значения  f(a₁) и  f(a₂)в другой числовой системе, то есть значениям признака X₁= (x₁₁,x₂₁)^Т соответствуют значения признака Ф(X₁) = (x₁₁),x₂₁))^Т . Тогда получим

Измерениями в шкале отношений являются измерения веса, длины и прочих именованных величин, характеризующихся масштабом.

Наиболее мощной является абсолютная шкала. В ней значения числовой системы определяются с точностью до тождественного преобразования x)= x. Результаты измерения в абсолютной шкале определяются однозначно, например, число стульев, количество рабочих. Любое преобразование, кроме тождественного, исказит эти измерения и приведет к неправильным данным.