- •Камышинский технологический институт (филиал)
- •Линейная и векторная алгебра, аналитическая геометрия
- •Введение.
- •2.2. Решение систем трех линейных уравнений с тремя неизвестными
- •Скалярное произведение двух векторов и его приложение
- •3.1 Нахождение работы постоянной силы на прямолинейном участке пути
- •3.2 Определение ортогональности двух векторов
- •3.3.Нахождение угла между векторами
- •Кривые второго порядка
- •6.1.Окружность
- •6.2.Эллипс
- •6.4. Парабола.
- •Прямая линия в пространстве.
- •Плоскость в пространстве
2.2. Решение систем трех линейных уравнений с тремя неизвестными
Для системы составляем главный определитель
и вычисляем его.
Затем составляем дополнительные определители
и вычисляем их.
По правилу Крамера решение системы находят по формулам
; ; ,если
Примеры:
1)
Вычислим:
По формулам Крамера находим:
Ответ: (1; 2; 3)
2)
Вычислим:
Так как главный определитель , а хотя бы один дополнительный не равен нулю (в нашем случае ), то решения у системы нет.
3)
Вычислим:
Так как все определители равны нулю, то система имеет бесконечное множество решений, которое можно найти так
Решите самостоятельно системы:
а) б)
Ответ: а) ( 1; 2; 5 ) б) ;;
Практическое занятие № 3 на тему:
Скалярное произведение двух векторов и его приложение
1. Если дан и, то скалярное произведение находим по формуле:∙
2.Если, то скалярное произведение этих двух векторов находим по формуле
Примеры:
1. Даны два вектора и
Их скалярное произведение находим так:
.
2. Даны два вектора:
={2;3;–4} ={1; –5; 6}
скалярное произведение находят так:
3.,
3.1 Нахождение работы постоянной силы на прямолинейном участке пути
Примеры:
1) Под действием силы в 15Н тело переместилось по прямой на 2 метра. Угол между силой и направлением перемещения =600. Вычислить работу силы по перемещению тела.
Дано:
Решение:
2) Дано:
Найти А.
Решение:
3) Из точки М(1; 2; 3) в точку N(5; 4; 6) переместилось тело под действием силы 60Н. Угол между направлением силы и вектором перемещения =450. Вычислить работу, совершаемую этой силой.
Решение: находим вектор перемещения
Находим модуль вектора перемещения:
По формуле находим работу:
3.2 Определение ортогональности двух векторов
.
Два вектора ортогональны, если , то есть
так как
Примеры:
1)
–не ортогональны
2)
–ортогональны
3) Определить, при каком векторы и взаимно-ортогональны.
Так как , то , значит
Решите самостоятельно:
а)
. Найти их скалярное произведение.
б) Вычислить, какую работу производит сила , если точка ее приложения, двигаясь прямолинейно, переместилась из точки M (5; -6; 1) в точку N (1; -2; 3)
в) Определить, ортогональны ли вектора и
Ответы: а) 1 б) 16 в) да
3.3.Нахождение угла между векторами
Примеры:
1)
. Найти .
Решение:
Находим
подставляем в формулу:
.
1). Даны вершины треугольника А(3; 2; –3), В(5; 1; –1), С(1; –2; 1). Найти угол при вершине А.
Решение:
Находим
Подставим в формулу:
Решите самостоятельно:
Даны вершины треугольника А(3; 5; -2), В(5; 7; -1), С(4; 3; 0). Определить внутренний угол при вершине А.
Ответ: 90о
Практическое занятие № 4 на тему:
ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ ВЕКТОРОВ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЕ.
Формула для нахождения векторного произведения двух векторов:
|
| |
имеет вид | ||
|
Примеры:
1) Найти модуль векторного произведения:
Решение:
Составим определитель и вычислим его (по правилу Саррюса или по теореме о разложении определителя по элементам первой строки).
1-ый способ: по правилу Саррюса
2-й способ: разложим определитель по элементам первой строки.
2) Найти модуль векторного произведения:
4.1. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДИ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА, ПОСТРОЕННОГО НА ДВУХ ВЕКТОРАХ.
Примеры:
1) Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах
Решение.
2). Найти векторное произведение и его модуль
Ответ:
4.2. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДИ ТРЕУГОЛЬНИКА
Пример: даны вершины треугольника А(1; 0; -1), В(1; 2; 0), С(3; -1; 1). Вычислить площадь треугольника.
Решение:
Сначала найдем координаты двух векторов, выходящих из одной вершины.
Найдем их векторное произведение
найдем
4.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЛЛИНЕАРНОСТИ ДВУХ ВЕКТОРОВ
Если вектора иколлинеарны, то
, т. е. координаты векторов должны быть пропорциональны.
Примеры:
а) Даны вектора:: , .
Они коллинеарны потому, что и
после сокращения каждой дроби получается соотношение
б) Даны вектора: .
Они не коллинеарны, потому, что или
Решите самостоятельно:
а) При каких значениях m и n вектора коллинеарны?
Ответ: ;
б) Найти векторное произведение и его модуль , .
Ответ: ,.
Практическое занятие № 5 на тему:
ПРЯМАЯ ЛИНИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Примеры:
Задача № 1. Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(-2; 3) параллельно прямой
Решение:
1. Найдем угловой коэффициент прямой .
- это уравнение прямой с угловым коэффициентом и начальной ординатой (). Поэтому .
2. Так как прямые MN и АС параллельны, то их угловые коэффициенты равны, т.е. .
3. Для нахождения уравнения прямой АС воспользуемся уравнением прямой, проходящей через точку с данным угловым коэффициентом:
. В эту формулу вместо и подставим координаты точки А(-2; 3), вместо подставим – 3. В результате подстановки получим:
Ответ:
Задача №2. Найти уравнение прямой, проходящей через точку К(1; –2) параллельно прямой .
Решение:
1. Найдем угловой коэффициент прямой .
- это общее уравнение прямой, которое в общем виде задается формулой . Сравнивая уравнения и находим, что А = 2, В = –3. Угловой коэффициент прямой, заданной уравнением , находится по формуле . Подставив в эту формулу А = 2 и В = –3, получим угловой коэффициент прямой MN. Итак, .
2. Так как прямые MN и КС параллельны, то их угловые коэффициенты равны: .
3. Для нахождения уравнения прямой КС воспользуемся формулой уравнения прямой, проходящей через точку с данным угловым коэффициентом . В эту формулу вместо и подставим координаты точки К(–2; 3), вместо подставим . В результате подстановки получим:
Ответ:
Задача № 3. Найти уравнение прямой, проходящей через точку К(–1; –3) перпендикулярно прямой .
Решение:
1. – это общее уравнение прямой, которое в общем виде задается формулой .
и находим, что А = 3, В = 4.
Угловой коэффициент прямой, заданной уравнением , находится по формуле: . Подставив в эту формулу А = 3 и В = 4, получим угловой коэффициент прямой MN: .
2. Так как прямые MN и КD перпендикулярны, то их угловые коэффициенты обратно пропорциональны и противоположны по знаку:
.
3. Для нахождения уравнения прямой КD воспользуемся формулой уравнения прямой, проходящей через точку с данным угловым коэффициентом
. В эту формулу вместо и подставим координаты точки К(–1; –3), вместо подставим . В результате подстановки получим:
Ответ:
Решите самостоятельно:
1. Найти уравнение прямой, проходящей через точку К(–4; 1) параллельно прямой .
Ответ: .
2. Найти уравнение прямой, проходящей через точку К(5; –2) параллельно прямой .
Ответ: .
3. Найти уравнение прямой, проходящей через точку К(–2; –6) перпендикулярно прямой .
Ответ: .
4. Найти уравнение прямой, проходящей через точку К(7; –2) перпендикулярно прямой .
Ответ: .
5. Найти уравнение перпендикуляра, опущенного из точки К(–6; 7) на прямую .
Ответ: .
Практическое занятие № 6 на тему: