- •Основные формулы
- •Примеры решения задач
- •Занятие №27. Гармонические осцилляторы
- •Основные формулы
- •Примеры решения задач
- •Занятие №28. Затухающие, вынужденные колебания. Сложение колебаний.
- •Основные формулы
- •Примеры решения задач
- •Основные формулы
- •Примеры решения задач
- •Примерный вариант автоматизированной контрольной работы – АКР №7
Дано: |
|
|
|
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x = Acosωt |
|
|
|
Возвращающая сила по определению: |
|
||||||||||
А=5 см= 5 10−2 м |
|
|
|
F = −kx = −Ak cosωt . |
|||||||||||
ω = |
π |
с−1 |
|
|
|
Потенциальная энергия при гармонических колебаниях определяет- |
|||||||||
|
|
|
ся формулой: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
12 |
|
|
|
|
|
|
kx2 |
|
|
kA2 |
|
||||
F= –12 мН= −1,2 |
10 |
−2 |
Н |
|
|
|
|
2 |
|||||||
|
П = |
2 |
= 2 |
cos ωt . |
|||||||||||
П=0,15 мДж=1,5 10−4 |
Дж |
||||||||||||||
Возьмём отношение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1) t-? |
|
|
|
|
П |
= − |
A |
cosωt . |
|||||
|
|
2) ωt -? |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
F |
2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из этой формулы можно определить время: |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
t = |
1 |
|
|
− |
2П |
||
|
|
|
|
arccos |
|
|
|
|||
|
|
|
ω |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
AF |
|||
И фазу: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2П |
= |
||
|
|
|
ωt = arccos |
− |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
AF |
|
||
Ответ: 1) t=4 с; 2) |
ωt = |
π |
рад. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= 4 с.
π3 рад.
Занятие №27. Гармонические осцилляторы
Основные формулы
Период колебаний тела, подвешенного на пружине (пружинный маятник):
T = 2π |
m |
, |
(1) |
|
k |
|
|
где m - масса тела;
k - жёсткость пружины.
Формула (1) справедлива для упругих колебаний в пределах, в которых выполняется закон Гука (при малой массе пружины в сравнении с массой тела).
Период колебаний математического маятника:
T = 2π |
l |
, |
(2) |
|
g |
|
|
где l - длина маятника;
g - ускорение свободного падения. Период колебаний физического маятника:
T = 2π |
L |
= 2π |
J |
, |
(3) |
|
g |
|
mga |
|
|
где J - момент инерции колеблющегося тела относительно оси колебаний; а - расстояние центра масс маятника от оси колебаний;
L = J(ma) - приведённая длина физического маятника.
7
Приведённые формулы являются точными для случая бесконечно малых амплитуд. При конечных амплитудах эти формулы дают лишь приближённые результаты. При амплитудах не
более ≈ 3 ошибка в значении периода не превышает 1%. Период колебаний тела, подвешенного на упругой нити:
T = 2π |
J |
, |
(4) |
|
k |
|
|
где J - момент инерции тела относительно оси, совпадающей с упругой нитью;
k - жёсткость упругой нити, равная отношению упругого момента, возникающего при закручивании нити, к углу, на который нить закручивается.
Упругая сила: |
|
F = – m A ω02 cos (ωоt + ϕ) = – m ω02 x. |
(5) |
Амплитуда упругой силы: |
|
Fmax= - m A ω02 . |
(6) |
Примеры решения задач
Пример №1. Спиральная пружина обладает жёсткостью k=25 Н/м. Определите, тело какой массы m должно быть подвешено к пружине, чтобы за t=1 мин совершалось 25 колебаний.
Дано: |
Решение: |
|
|
k=25 Н/м |
По определению период равен: |
|
|
t=1 мин=60 с |
T = |
t |
. |
N=25 |
|
N |
|
m-? |
|
|
|
Период также может быть выражен через массу тела и жёсткость пружины: T = 2π mk .
Объединяя формулы, найдём массу:
|
T 2 |
kt2 |
|
|
||
m = k |
|
|
= |
|
= 3,65 |
кг. |
|
4π2 N2 |
|||||
|
2π |
|
|
|
Ответ: m=3,65 кг.
Пример №2. Если увеличить массу груза, подвешенного к спиральной пружине, на 600 г, то период колебаний груза возрастает в 2 раза. Определите массу первоначально подвешенного груза.
Дано: |
Решение: |
m =600 г=0,6 кг |
Период колебаний в первом случае: |
|
|
|||
T2 = 2T1 |
|
T |
|
= 2π |
m |
. |
|
|
|
|
|||
m-? |
|
1 |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
||
Во втором: |
|
|
|
|
|
|
|
T |
= 2π m + |
m . |
|
|
|
|
2 |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если взять отношение периодов, то жёсткость сократится и мы сможем выразить массу через известные величины:
8
T1 |
= |
m + m |
= 2 , 4m = m + m , m = |
m |
= 200 г. |
T |
|
m |
|
3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
Ответ: m=200 г.
Пример №3. На горизонтальной пружине жёсткостью k=900 Н/м укреплён шар массой M=4 кг, лежащий на гладком столе, по которому он может скользить без трения. Пуля массой m=10 г, летящая с горизонтальной скоростью υ0 =600 м/с и имеющая в момент удара скорость, на-
правленную вдоль оси пружины, попала в шар и застряла в нём. Пренебрегая массой пружины и сопротивлением воздуха, определите: 1) амплитуду колебаний шара; 2) период колебаний шара.
Дано: |
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=900 Н/м |
Воспользуемся законом сохранения импульса: |
|||||||||
M=4 кг |
|
|
mυ0 = (M + m)υ. |
|||||||
m=10 г=10−2 кг |
Выразим скорость υ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
υ0 =600 м/с |
|
|
|
|
υ = |
|
mυ |
0 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1) А-? |
|
|
|
|
|
|
M + m |
|||
2) Т-? |
Запишем закон сохранения энергии: |
|
|
|
||||||
|
|
(M + m)υ2 |
|
kA2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
= |
|
|
|
. |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
Выразим из него амплитуду колебания шара:
A = |
m2 |
υ2 |
= |
mυ |
|
=10 см. |
|
0 |
|
0 |
|||
|
(M + m)k |
|
(M + m)k |
|
Теперь найдем период колебания шара:
(M + m)A2ω2 |
= |
kA2 |
, ω = |
k |
, T = |
2π |
= 2π |
M + m |
= 0,419 с. |
2 |
|
M + m |
ω |
k |
|||||
2 |
|
|
|
|
Ответ: 1) А=10 см; 2) Т=0,419 с.
Пример №4. На чашку весов массой M,подвешенную на пружине жёсткостью k, с высоты h падает небольшой груз массой m.Удар груза о дно чашки является абсолютно неупругим. Чашка в результате падения груза начинает совершать колебания. Определите амплитуду А этих колебаний.
Дано:
M k h m
A-?
Решение:
Запишем закон сохранения энергии для груза: m2υ12 = mgh .
Выразим скорость υ1 (скорость груза в момент удара):
υ1 = 2gh .
9
Воспользуемся законом сохранения импульса:
mυ1 = (m + M)υ.
Выразим скорость υ (скорость чашки с грузом после удара):
υ = m m+ M 2gh .
При ненагруженной чашке имеем:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Mg=kl. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
l = |
Mg |
- начальное растяжение пружины. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|||
|
|
(m + M)υ2 + (M + m)g(x0 −l) = ∫0 kxdx , |
|
|||||||||||||||||||||
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|||||
где x0 |
- максимальное растяжение пружины. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
1 |
(m + M) |
|
m2 |
|
|
|
2gh |
+ (M + m)g(x0 |
−l) = |
1 |
k(x02 |
−l2 ) . |
|||||||||
|
2 |
|
(m + M)2 |
2 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Решаем уравнение относительно x0 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x0 = |
m |
+ M |
g |
± |
m2g2 |
+ |
2m2gh |
|
. |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
k |
2 |
|
(m |
+ M)k |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
При нагруженной чашке: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(m+M)g=kl´. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
= |
|
(m + M) |
g . |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Найдём амплитуду: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
A = x0 −l′ = |
|
|
m2g2 |
|
2m2gh |
. |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k2 |
+ |
(m + M)k |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: A = |
m2g2 |
+ |
2m2gh |
. |
||
k |
2 |
(m + M)k |
||||
|
|
|
Пример №5. Физический маятник представляет собой тонкий однородный стержень длиной 35 см. Определите, на каком расстоянии от центра масс должна быть точка подвеса, чтобы частота колебаний была максимальной.
Дано: |
Решение: |
|
|
|
l=35 см=0,35 м |
Период колебаний физического маятника: |
|
||
ω = ωmax |
T = 2π |
J |
. |
|
|
mgx |
|||
x-? |
||||
|
|
|||
|
|
|
|
Найдём частоту колебаний:
10
|
|
ω = 2π |
= |
mgx . |
|
|
|
|
||||
|
|
|
T |
|
|
J |
|
|
|
|
|
|
Момент инерции определим по теореме Штейнера: |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
J = |
ml2 |
|
+ mx2 . |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
||
Подставим в формулу для частоты: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mgx |
|
|
|
12gx |
1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
ω = |
|
|
2 |
. |
|
||||||
|
ml2 |
|
|
|
|
= |
+12x2 |
|
|
|||
|
|
+ mx |
2 |
|
l2 |
|
|
|
||||
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Искомое расстояние x найдём из равенства нулю производной: |
|
|||||||||||
dω = |
3g (l2 −12x2 ) = 0 , l2 −12x2 |
= 0 , x = |
l |
=10,1 см. |
||||||||
dx |
x(l2 +12x2 )3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
Ответ: x=10,1 см.
Пример №6. Маятник состоит из стержня (l=30 см, m=50 г), на верхнем конце которого укреплён маленький шарик (материальная точка массой m′=40 г), на нижнем – шарик (R=5 см, M=100 г). Определите период колебания этого маятника около горизонтальной оси, проходящей через точку О в центре стержня.
Дано:
l=30 см=0,3 м m=50 г=0,05 кг m′=40 г=0,04 кг R=5 см=0,05 м M=100 г=0,1 кг
T-?
Решение:
Запишем формулу для периода физического маятника:
T = 2π |
J |
, |
mобщgd |
где d – расстояние между центром стержня и центром масс маятника: d=OC.
Используя теорему Штейнера, найдём момент инерции J:
|
ml2 |
l |
|
2 |
2 |
|
|
2 |
l |
2 |
||||
J = |
|
+ m′ |
|
|
|
+ |
|
MR |
|
+ M |
|
+ R . |
||
12 |
|
|
5 |
|
|
|||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||
Масса маятника: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
+ M . |
|
|||
|
|
mобщ = m + m |
|
|||||||||||
Для центра масс имеет место равновесие: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
l |
|
|
|
l |
|
|
|
|||||
|
md + m′ |
|
|
+ d |
= M |
|
|
−d + R . |
||||||
|
|
|
2 |
|||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Находим d:
11
|
l |
|
′ |
l |
|
|
|
|
M |
|
+ R |
|
|
|
|
|
− m |
2 |
|
|
|||
d = |
2 |
|
|
|
. |
||
m |
′ |
|
|
|
|||
|
+ m + M |
|
|
|
Подставляя выражения для J, d и mобщ в формулу для периода, получаем итоговую формулу:
ml2 T = 2π 12
|
l |
2 |
2 |
|
2 |
|
l |
2 |
||||
+ m′ |
|
|
+ |
|
MR |
|
+ M |
|
+ R |
|||
|
|
|
|
|||||||||
|
2 |
|
|
|
5 |
|
|
|
2 |
. |
||
|
|
|
l |
|
|
|
′ |
l |
|
|
||
g M |
|
+ R |
|
|
|
|
||||||
− m |
2 |
|
||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
Подставляя данные величины, находим:
Т=1,24 с.
Ответ: Т=1,24 с.
Пример №7. Колебательный контур состоит из катушки индуктивностью L=0,2 мГн и конденсатора площадью пластин S=155 см², расстояние между которыми d=1,5 мм. Зная, что контур резонирует на длину волны λ=630 м, определите диэлектрическую проницаемость среды, заполняющей пространство между пластинами конденсатора.
Дано:
L=0,2 мГн= 2 10−4 Гн S=155 см²=1,55 10−2 м² d=1,5 мм=1,5 10−3 м
λ=630 м
ε-?
Решение:
Электрическая ёмкость плоского конденсатора: C = ε0dεS .
Период колебаний в колебательном контуре: T = 2π LC .
Длина волны определяется формулой:
λ = cT = 2πc L ε0dεS .
Выразим ε:
|
λ 2 |
d |
|
||
ε = |
|
|
|
|
. |
|
ε0LS |
||||
|
2πс |
|
Подставляя известные величины из условия задачи, получаем: ε=6,11.
Ответ: ε=6,11.
Пример №8. Энергия свободных незатухающих колебаний, происходящих в колебательном контуре, составляет 0,2 мДж. При медленном раздвигании пластин конденсатора частота колебаний увеличилась в n=2 раза. Определите работу, совершённую против сил электрического поля.
12