геометрия модуль 4

Ì4-13

Преобразование комплексного чертежа

Как вы думаете?

На каком из чертежей проще всего найти натуральную величину расстояния от точки М

Решение многих пространственных задач на комплексном чертеже часто бывает слишком сложным из-за того, что заданные геометрические фигуры расположены произвольно относительно плоскостей проекций и, следовательно, проецируются на эти плоскости в искаж¸нном âèäå.

В то же время задачи решаются значительно проще в случае частного положения геометрических фигур относительно плоскостей проекций. При этом наиболее выгодным частным положением проецируемой фигуры следует считать:

а) положение, перпендикулярное плоскости проекций; б) положение, параллельное плоскости проекций.

Переход от общего положения геометрической фигуры к частному можно осуществить за сч¸т изменения взаимного положения проецируемой фигуры и плоскостей проекций.

Это достигается двумя путями:

во-первых, перемещением плоскостей проекций в новое положение, по отношению к которому проецируемая фигура, которая при этом не меняет своего положения в пространстве, окажется в частном положении;

во-вторых, перемещением в пространстве проецируемой фигуры так, чтобы она заняла частное положение относительно плоскостей проекций, которые при этом не меняют своего положения в пространстве.

Первый путь лежит в основе способа замены плоскостей проекций, второй - способа вращения вокруг проецирующих осей.

Существуют и другие способы переобразования.

Вообще, всякое построение на комплексном чертеже, отображающее определ¸нные построения в пространстве, и приводящее к образованию новых полей проекций, называется преобразованием комплексного чертежа.

Ì4-14

Рассмотрим два основных способа преобразования комплексного чертежа.

Способ замены плоскостей проекций

Сущность способа состоит в том, что одна из плоскостей проекций (П1 èëè Ï2) (рис. 4-31) заменяется новой плоскостью проекций так, чтобы геометрическая фигура, занимая общее положение в системе плоскостей проекций П1 - Ï2, в новой системе плоскостей проекций

Точка А4 займ¸т положение А4(совм). Расстояние

Ì4-16

4.Откладываем расстояния: 2А4 = 1À2 è õ1 4Â4 = õ1 2Â2 (ðèñ. 4-34ã).

5.В системе П1 -Ï4 отрезок АВ - прямая уровня, а е¸ проекция А4Â4 - натуральная величина

Вторая основная задача преобразования комплексного чертежа

Преобразовать комплексный черт¸ж так, чтобы прямая общего положения в новой системе плоскостей проекций стала бы проецирующей (рис. 4-35).

5. Отрезок АВ в системе П4-Ï5 - проецирующий, а его проекция А5Â5 - точка.

6. Откладываем расстояния: х45À5 = õ1 4À1 , õ45Â5 = õ1 4Â1 , õ45Ñ5 = õ1 4Ñ1 .

7. В системе П4 - Ï5 плоскость АВС есть плоскость уровня, а е¸ проекция А5Â5Ñ5 - натуральная величина треугольника АВС.

Алгоритмическая запись решения:

õ1 4Ñ4 = õ1 2Ñ2.

Ì4-20

Способ вращения вокруг проецирующей оси

В этом разделе Вы узнаете, каким образом преобразовать комплексный чертеж, не меняя положение плоскостей проекций, чтобы соответствующая фигура в конкретной задаче заняла бы частное положение.

Если заданные фигуры занимают общее, случайное, часто неудобное с точки зрения поставленной задачи положение относительно плоскостей проекций, следует привести их в удобное положение. Очевидно, для этого нужно посмотреть на объект с другой точки зрения (ввести новую плоскость проекций), как было показано выше, или повернуть объект.

Рассмотрим сначала вращение точки вокруг оси, перпендикулярной П1 .

Построение пространственной модели (рис 4.42). Через точку А провести плоскость Σ, перпендикулярную оси вращения (и, следовательно, параллельную Π1 ). В плоскости Σ íà îñè ι (Σ∩ι) отметить точку Ο. Это центр вращения. При вращении точка А описывает в плоскости Σ окружность, радиус которой определяется как расстояние от точки А до оси (АΟ). После поворота точки А на угол f, точка занимает положение А. Так как плоскость Σ ||Π1 , то окружность проецируется на Π1 без искажения. Но Σ Π2 , следовательно, все точки принадлежащие Σ, совпадут с Σ2 (т.е. окажутся на прямой Σ2 ). Таким образом, при выполнении операции вращения должны присутствовать пять основных геометрических элементов:

1. ι - ось вращения Эти элементы выбираются наиболее рационально,

2.А - вращаемая точка исходя из целей преобразования

3.Σ - плоскость вращения точки А (А Σ, Σ ι).

4.Ο - центр вращения точки А (Ο = ι ∩Σ).

5.ÀΟ - радиус вращения точки.

Часто задается угол вращения ϕ.

Ì4-21

Комплексный чертеж (рис. 4-43) По комплексному чертежу видно, что при вращении точки вокруг проецирующей оси, одна из проекций вращаемой точки перемещается по окружности, а другая проекция точки перемещается по прямой, перпендикулярной оси вращения.

Примеры применения способа вращения точки вокруг проецирующей оси:

Вращение других геометрических фигур сводится к вращению конечного числа точек, определяющих данную фигуру. При этом необходимо иметь в виду следующее:

1.Точки, лежащие на оси, не меняют своего положения.

2.Остальные точки вращаются в плоскастях, перпендикулярных оси вращения.

3.Все вращающиеся точки геометрической фигуры поворачиваются в одну сторону и на один и тот же угол.

4.Если ось вращения перпендикулярна какой - либо плоскости проекций, то проекции на эту плоскость вращающейся фигуры в любом ее положении (относительно оси) равны между собой. При этом угол поворота оригинала равен углу поворота его проекции, а траектории движения

точек проецируются без искажения.

Ì4-23

2.Выбираем ось вращения ι Π2 ; ι Ñ, (ðèñ. 4-48, á)

3.Радиус вращения: R = |Ñ2D2|.