геометрия модуль 2
.pdf
Ì2-43
Винтовые поверхности
Как Вы думаете, какое свойство винтовых поверхностей обеспечивает им широкое применение в технике: винты, шнеки, сверла, пружины?
Оказывается эти поверхности могут сдвигаться, т.е. совершая винтовое перемещение, поверхность скользит вдоль самой себя.
Винтовой называется поверхность, которая описывается какой - либо линией (образующей) при ее винтовом движении.
Как уже отмечалось, что винтовое движение является сложным движением, при котором каждая точка образующей совершает одновременно два движения: вращательное и поступательное. При этом вращение происходит вокруг оси винта, а поступательное вдоль оси винта.
Если образующая - прямая линия, то поверхность называется линейчатой винтовой поверхностью или геликоидом. Геликоид является основой образования резьбы.
Геликоиды подразделяются на прямые и наклонные в зависимости от того, перпендикулярна образующая к оси геликоида или наклонена.
Шагом винтовой поверхности называется линейное перемещение образующей за один полный оборот.
Прямой геликоид
Прямой геликоид образуется движением прямолинейной образующей -l по двум направляющим, оставаясь в любой момент движения оси, Φ( i. m), À(À2) Φ, À1 =?
i - ось цилиндрической винтовой линии т - цилиндрическая винтовая линия
Закон каркаса: l ∩i, l ∩m, l i
Прямой геликоид может быть отнесен к числу коноидов и назван винтовым коноидом (плоскость параллелизма перпендикулярна оси, i и т - направляющие)
ι2
ò2
h -øàã
Î2
ι1 Î1
11
31 21 ò1
ι2
ò2
72 * À2
Φ2 |
32 |
l2 |
|
||
22 |
|
|
|
12 |
|
|
Î2 |
l |
Φ1 7 |
|
1 |
ι1 |
|
|
1 |
|
|
À1 * |
Î |
|
|
1 |
|
11
31 21 ò1
Рис. 2.109. Проекции элементов |
Рис. 2.110. Проекции поверхности |
|
определителя поверхности прямого геликоида |
||
прямого геликоида |
||
|
Ì2-44
Наклонный геликоид
Наклонный геликоид отличается от прямого тем, что его прямолинейная образующая при винтовом перемещении пересекает ось геликоида под постоянным углом, отличным от прямого. Иначе говоря, образующая (l-прямая линия) наклонного геликоида при винтовом движении скользит по двум неподвижным направляющим (ось и цилиндрическая винтовая линия, как и у прямого), причем во всех своих положениях угол наклона образующей к оси не меняется. Поэтому можно сказать, что образующая в каждый момент движения будет параллельна соответствующим образующим некоторого конуса вращения, называемого направляющим конусом.
Построить наклонный геликоид Φ(i. m),
i - ось цилиндрической винтовой линии
т - цилиндрическая винтовая линия |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ò2 |
|
|
132 |
||||||||
Закон каркаса: l ∩i, |
l ∩m, l i , i Ï1 |
|
|
S2 |
|
|
|
|
|
|
|
11 |
122 |
|
|
|||||||||
Алгоритм построения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
102 |
|
2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1. Задать проекии элементов |
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
92 |
|
|
|
|
|
||||||
|
721 |
|
|
|
|
|
|
121 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
определителя: построить |
|
|
|
|
4 |
2 (102 ) |
|
|
|
|
82 |
|
|
ι2 |
|
h |
||||||||
цилиндрическую винтовую линию |
|
|
5 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
72 |
|
|
|
||||||||
|
|
2 (92 ) |
321 (1121) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
из 12 точек (рис. 2.112); |
|
|
621(821) |
|
|
221(1221) |
|
62 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
задать проекции направляющего |
|
|
|
|
|
|
|
|
52 42 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
конуса (провести 12 образующих) |
|
|
|
|
1 |
101 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
32 |
|
|
|
|||||||
(рис. 2.111), наклон образующих |
|
|
|
|
91 |
111 |
|
|
|
|
|
22 |
|
|
||||||||||
которого к оси |
|
|
|
81 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
121 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
||||||||
определит угол наклона |
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
101 |
|
|
|||||
образующих |
геликоида. |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
9 |
|
111 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Óãëû ϕ у образующих |
|
|
71 |
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
81 |
|
|
|
12 |
|
|||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
конуса (12 ) и геликоида (12 ) |
|
61 |
1 |
|
|
|
|
|
21 |
|
|
|
ι1 |
|
|
|
1 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
не искажаются, т. к. эти образующие |
|
|
1 |
|
1 |
31 |
1 |
|
|
|
|
71 |
|
|
|
|
|
|||||||
занимают положение фронтали. |
|
|
|
|
51 |
|
41 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 =131 |
|||||
|
|
|
|
13 |
Рис. 2.111. Проекции |
|
|
|
|
|
61 |
|
|
|
|
|
21 |
|||||||
ò2 |
|
|
|
направляющего конуса |
|
ò |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
122 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
102 |
112 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
51 |
41 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
82 |
92 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.112. Проекции элементов |
|
||||||||
|
|
|
ι |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
определителя наклонного геликоида |
||||||||||
72 |
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
62 |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
2. Построение геликоида начинаем с горизонтальной |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
52 |
|
|
32 |
|
|
|
|
проекции. Из точек 11 |
è 21 провести образующие |
|
||||||||||||||
|
42 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
ϕ |
22 |
|
|
|
|
геликоида параллельно соответствующим |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
образующим конуса 11 |
1 |
è 21 |
1 до пересечения |
|
|
||||||||||||
91 |
|
101 |
12 |
|
|
|
ñ îñüþ-i1 |
(ðèñ. 2.113). |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
111 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
3. На фронтальной проекции из точек |
|
|
|
|
||||||||||||||
81 |
|
ι1 |
|
121 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
è |
22 |
провести образующие геликоида параллельно |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
7 |
|
|
|
1 =13 |
|
|
соответствующим образующим конуса 12 |
1 |
è 22 |
1 |
äî |
|||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
пересечения с осью - i2 . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
61 |
|
|
|
21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l1 |
|
|
4. Остальные образующие геликоида |
строить |
|
|
|||||||||||||
ò |
5 |
|
|
31 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
1 |
1 |
|
41 Ðèñ. 2.113 |
|
|
|
|
таким же образом |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
î |
ι |
ë |
|
í |
|
å |
|
÷ |
|
è |
2 |
å |
|
â |
|
ó |
|
82 (92 )
Ñ2 D2
72
62
52
Направляющий конус
91
81
Ì2-45
N2
|
|
|
Направляющий конус может быть |
|
|
|
Φ2 |
соосным с наклонным геликоидом (рис. 2.114) |
|
|
|
|
5. Определить видимость поверхности, как всегда, |
|
|
|
|
с помощью конкурирующих точек, например выбрать |
|
|
|
|
фронтально конкурирующие А2 = Â2 , т.е. образующая |
|
|
|
132 3 закрывает образующую 2 , направляющая и |
||
|
|
|
2 |
2 |
|
|
122 |
образующие от точки 8 до точки 10 - невидимы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
112 |
6. Обвести проекции поверхности на П2 с учетом |
|
|
102 |
ò |
видимости. Очертание геликоида на фронтальной |
|
|
|
2 |
проекции получается как огибающая семейство |
|
|
|
|
прямолинейных образующих. |
|
|
плоскость Ψ2 |
7. В сечении геликоида плоскостью Ψ(Ψ ), |
||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
перпендикулярной ее оси, получается спираль |
|
|
|
|
Архимеда. |
|
(ì2 ) |
À2 |
(Â2 ) |
|
|
|
Каркас образующих наклонного геликоида можно |
|||
|
|
l2 |
||
|
|
построить и без применения направляющего конуса. |
||
42 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
32 |
22 |
Образующие 12 Ì2 è 132 N2 |
Ï2 , ò.å. |
|
|
занимают положение фронталей, поэтому при |
||
|
|
|
||
|
|
|
заданном угле наклона образующей геликоида |
|
101 |
12 |
сразу определяют положение точек М2 è N2 . |
||
Расстояние (шаг) между этими точками делят |
||||
|
|
111 |
на 12 равных частей и соединяют с |
|
|
|
|
соответствующими точками на цилиндрической |
|
|
|
121 |
винтовой направляющей. |
|
ι1
71 |
Â1 |
11 =131 |
l |
|
|
||
|
|
|
1 |
|
D1 |
|
|
C1 |
À1 |
2 |
|
61 |
|
1 |
|
|
|
ò1 |
|
51 |
|
31 |
|
|
|
||
Спираль |
41 |
|
|
Φ1 |
|
||
Архимеда |
|
Ðèñ. 2.114 |
|
|
Видимость |
||
|
|
|
относительно П2
|
|
|
Ì2-46 |
|
|
|
|
|
|
Пример использования поверхностей в процессе конструирования деталей. Так, флюзеляж |
|||||||||
самолета конструируют как поверхность, состоящую из отсеков следующих поверхностей: |
|||||||||
передняя часть - параболоид, центральная - цилиндр, с плавным переходом (тор) на коническую |
|||||||||
поверхность хвостовой части флюзеляжа. |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Контрольные вопросы |
|
|
|
|
|||
1. Что означает "кинематический принцип образования поверхности"? |
|
|
|||||||
2. Что называется определителем поверхности? |
|
|
|
|
|
||||
3. Какие поверхности называются линейчатыми? |
|
|
|
|
|
||||
4. Сформулируйте признак принадлежности точки поверхности. |
|
|
|
||||||
5. Перечислите поверхности вращения второго порядка. |
|
|
|
|
|||||
6. Назовите поверхности с плоскостью параллелизма. |
|
|
|
|
|||||
7. Какие поверхности могут занимать проецирующее положение?. |
|
|
|
||||||
Обучающий тест по теме "Задание поверхности на комплексном чертеже". |
|||||||||
|
|
Тест ¹2 (ответы на стр. 46) |
|
|
|
|
|||
Σ(m,S) |
S |
Σ(ÀÂÑ,S) |
Σ(i,l) |
i |
Σ(i,l) |
i |
|||
|
2 |
S2 |
|
|
|
|
2 |
||
Ì2 |
|
|
|
|
2 |
Ì2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l2 |
|||
|
|
Ì2 |
|
R |
|
|
|||
ò2 |
|
|
|
l2 |
|
|
|
||
À |
Ñ2 |
|
Ì2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Â2 |
S1 |
|
|
|
|
|
|
S1 |
|
Â1 |
Ì1 |
|
i1 |
l1 |
|
i1 |
l1 |
Ì1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
Ì1 |
|
|||
ò1 |
|
|
Ñ1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(Ì ) |
|
|
|
|
||
|
|
À1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
4 |
|
Вопросы к тесту |
|
|
|
|
|
|
||
1. На каком чертеже изображена коническая поверхность общего вида? |
|
|
|||||||
2. На каком чертеже изображена |
поверхность вращения |
общего вида? |
|
|
|||||
3. На каком чертеже изображена |
поверхность |
òîðà? |
|
|
|
|
|||
4. На каком чертеже точка М принадлежит данной поверхности? |
|
|
|
||||||
|
|
Ответы на тесты - ¹ 1, 2 |
|
|
|
|
|||
Òåñò ¹ 1: |
1-5 |
2-3 3-6 |
4-2 |
5-6 6-1 7-5 8-6 |
Òåñò ¹ 2: |
1-1 |
2-4 |
3-3 |
4-2 |
|
|
|
|
Ì2-47 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание плоскости на комплексном чертеже |
|
|
|||||||||
Плоскость |
общего положения |
Плоскости проецирующие |
|
|
Плоскости уровня |
|
|
|||||
Γ(ÀÂÑ) |
Â2 |
Горизонтально |
проецирующая |
(ÀÂÑ) |
Â2 |
|
Горизонтальная |
плоскостьуровня |
Σ(ÀÂÑ) |
À2 |
Â2 |
Ñ2 |
À2 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
Ñ |
|
|
|
Ñ1 |
|||||
À2 |
Ñ2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
||||
|
β |
Ñ1 |
À1 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
Ñ1 |
À1 |
Â1 |
|
|
|
Â1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
плоскостьуровня |
|
|
|
|
|
À1 |
|
Фронтально |
проецирующая |
Φ(ÀÂÑ) |
 |
Ñ |
|
Ψ(ÀÂÑ) |
|
Â2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||
|
Â1 |
À2 |
2 |
|
Фронтальная |
|
|
|
|
|||
|
α |
Ñ1 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
À2 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
Ñ2 |
|||||
|
|
À1 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Â1 |
|
À1 |
|
Â1 |
Ñ1 |
|||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
Задание поверхности на комплексном чертеже |
|
|
|||||||||
(геометрическая часть определителя некоторых поверхностей)
Линейчатые поверхности
Пирамидальная поверхность |
Призматическая поверхность |
|
Коническая |
поверхность |
Цилиндрическая поверхность |
|||||
общего вида |
|
Φ(s,ÀÂÑD): l∩ÀÂÑD, l ||S |
|
общего вида |
|
общего вида |
l ||s |
|||
Γ(S,ÀÂÑD): l∩ÀÂÑD, l S |
|
Â2 |
s2 |
|
Λ(S,ò): ò l∩ò, l S |
Φ(s,ò): l∩ò, |
||||
|
Â2 |
|
|
ò2 |
|
S |
|
ò2 |
||
|
S2 |
À |
|
Ñ2 |
|
s2 |
||||
À |
|
|
|
|
2 |
|
||||
D |
Ñ2 |
2 |
D2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
|
|
Â1 |
|
|
|
|
|
|
Â1 |
D1 |
S1 |
|
|
|
|
S1 |
|
|
|
|
D |
Ñ |
|
ò |
s1 |
ò |
||||
|
|
|
|
1 |
1 |
s |
1 |
|
||
À |
|
Ñ |
À |
|
|
|
|
1 |
||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Гиперболический параболоид |
|
|
Коноид |
|
|
Цилиндроид |
|
|||
(косая плоскость) |
|
|
Ψ(ï,ò,Γ): l∩ï, l∩ò, l ||Γ |
Ψ(ï,ò,Γ): l∩ï, l∩ò, l ||Γ |
||||||
Ψ(ï,ò,Γ): l∩ï, l∩ò, l ||Γ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ò2 |
ï2 |
|
|
ò2 |
|
ï2 |
ò2 |
|
ï2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
ò1 |
ï1 |
|
|
ò1 |
Γ |
ï1 |
ò1 |
Γ |
ï1 |
|
Γ1 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
Поверхности |
вращения |
|
|
|
|
Цилиндр вращения Γ(ι,l) |
Конус вращения Ψ(ι,l) |
Сфера |
Θ(ι,l) |
Однополостный |
|||
|
|
|
|
|
l2 |
гиперболоид вращения |
|
ι |
l |
ι |
l2 |
ι2 |
(ι,l) |
ι2 |
|
2 |
2 |
|
|
|
l2 |
||
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
ι |
|
ι |
|
ι |
|
|
ι1 |
1 |
l1 |
1 |
l1 |
1 |
l |
|
l1 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|