геометрия модуль 2

Добавил:

ota Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Тольяттинский государственный университет

Предмет:

Геометрия

Файл:

Коноид (ðèñ. 2.72, 2.73): Τ(ò, ï, Ï2 )

Ì(Ì2 ) Τ, Ì1 =?

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

26.07.2016

Размер:

711.97 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

М2-23 Задача: сконструировать пирамидальную поверхность общего вида Ψ, à (à2) Ψ, à1 = ?

Определитель поверхности: Ψ(ÀÂDÑ, S), l ∩ABCD, l S 1. Задать (построить) проекции элементов определителя.

Â2	S2	Â2	S2
Â2		Â2
ò2		ò2
À2	D	À2	D
	2		2
Ñ2	S1	Ñ2	S1
C		C	S1
1		1
À1	D1	À1
ò1 Â	D1	ò1 Â	D1
ò1 Â	Ðèñ. 2.47	ò1 Â	D1
1		1

Для удобства построения ломаную АВDС делаем плоской. Для этого проводим ее диагонали. Поднимая или опуская одну из точек (D) , добиваемся того, чтобы т стала плоской (рис. 2.47).

2. Построить проекции поверхности (дискретный каркас) - это значит провести четыре образующих (ребра).

	Видимость				S2		Ψ2	S2
	относительно П1				S2		à2	S2
	Â		42			5
ò	2	(12 )=22		à2	Â2	2	(62 )
ò		(12 )=22		à2	Â2		(62 )
2							7
							2
							82
À2		32	D2		À2		D2	S1
				S		Ñ2	(81 )	S1
		Ñ2		1		Ñ2	61
		Ñ2			À1	(C )
	11				À1	(C )	71 Ψ
À1						1	71 Ψ
	C1					51		1
	C1		(31 )=41			51	à1
			(31 )=41
					Â
					Â		D1
ò1					1		Ðèñ. 2.49
ò1			D1				Ðèñ. 2.49
	Â1	21	D1	3. Построить проекции линии обреза -сама направляющая является
	Â1

	Видимость			линией обреза: т (АВСD) (рис. 2.48)
	относительно	Ï2		4. Определить видимость поверхности.
		Ðèñ. 2.48		4. Определить видимость поверхности.
		Ðèñ. 2.48		а) Относительно Π2 : точки 1 и 2 - фронтально конкурирующие.
	à Ψ, à2	52 ,62 ,72 ,82 -		б) Относительно Π1 : точки 3 и 4 горизонтально конкурирующие.
5.	à Ψ, à2	52 ,62 ,72 ,82 -		точки строятся	по принадлежности образующим (ребрам),
следовательно		à1	51 ,61 ,71 ,8 (ðèñ. 2.49).

Ì2-24

Комплексный чертеж призматической поверхности

Представим, что вершиной пирамидальной поверхности станет несобственная точка S∞, т. е. все ребра поверхности будут параллельны друг другу, тогда получим призматическую поверхность Φ с направлением движения образующей - s.

Призматическая поверхность образуется перемещением прямолинейной образующей (l) по ломаной направляющей (т), при этом всегда оставаясь параллельной некоторому направлению (s)

Задача: сконструировать призматическую поверхность Φ с дискретным каркасом из трех

образующих, М (М2), à (à1 ) Φ, Ì1 , à2=?

Определитель поверхности: Φ(ò, s); l ∩ÀÂÑ, l S

Â2

Алгоритм построения

1. Задать проекции элементов определителя (рис. 2.50).

Ñ2

2. Построить проекции поверхности. Длины ребер

возьмем одинаковыми (рис. 2.51):

а) Провести фронтальные проекции образующих

из точек А2Â2Ñ2 ||s2, отложить на них отрезки

Ñ1

одинаковой длины: А А ,

Â Â , Ñ Ñ ,

À2Â2Ñ2

- проекция линии

обреза

Â1

Ðèñ. 2.50

б) Провести горизонтальные проекции образующих

из точек А1 Â1 Ñ1 ||s1 ;

в) Построить в проекционнй связи с А2Â2Ñ2

→À1 Â1 Ñ1 .

3. À1 Â1 Ñ1

è À2Â2Ñ2 -

проекции линии обреза

4. Определить видимость поверхности:

а) Относительно Π2 : точки 1 и 2 - фронтально конкурирующие

б) Относительно Π1 : точки 3 и 4 - горизонтально конкурирующие.

Видимость

относительно П1

Â2

1 =(2 )

À2

Ì2

Ñ2

À1

Ñ1

(31 )=41

Ñ1

à1

Â1

Видимость

Ðèñ. 2.51

относительно П2

à2	Â		8	Ì2-25		Â2	Φ
à2	Â		8			Â2	Φ	2
	2		2		(À2 )			2
À2	52				(À2 )		9
	52				l2		9
				Ì2			2
	62		72	Ì2			Ñ
	62		72				Ñ
			Ñ2				2
			Ñ2		À1
51					À1
À1			(Ñ)1				Ñ
	(61 )		(Ñ)1				Ñ
	(61 )				l1		1
à				(Ì1 )			91
à		(7	)	(Ì1 )			Φ1
1		(7	)			Â1
		1
	Â1		81		Ðèñ. 2.52
			81		Ðèñ. 2.52

5) Построить М Φ(рис. 2.52), Точка М принадлежит грани ВСВС, т.к. М2 задана видимой. Через М2 проводят l2 s2, через точку 9(91 ,92) строят l1 s1 , из точки М2 проводят линию связи на

l1 Ì1 , которая частично невидима, т.к. горизонтальная проекция грани В1 Ñ1 Â1 Ñ1 - невидима (рис. 2.52). 2)Построить а (а2) Φ, ломаную линию а строят по принадлежности ее звеньев соответствующим граням, для этого на а1 отмечают точки пересечения с ребрами 51 , 61 , 71 , 81 . Из каждой точки проводят линию связи до пересечения с соответствующими ребрами (рис. 2 52).

Видимость а2 определяется видимостью граней, которым принадлежат звенья ломаной линии.

		Проецирующая призма
	Ì2		Ψ2					У призматической поверхности все ее
	Ì2	à2	Ψ2				s2	образующие (ребра) параллельны (l s).
		à2	ò				s2	Если направление			s совпадает с
				2				направлением проецирования, то поверхность
12	22	42	32					направлением проецирования, то поверхность
12	22	42	32					займет проецирующее									положение.
	2						s	При этом ее ребра на П1 (ðèñ. 2.53)
	2						s	спроецируются в точки - 1						,2 ,3 ,4 , а грани в
	1		31				1						1		1	1	1
			31					отрезки - 1	2 ; 2 3 ; 3 4 ; 4 1 .
11		ò =Ψ			=Ì =à			1	1	1	1	1	1	1	1
11		ò =Ψ		1	=Ì =à
		1		1		1	1
		41
		Ðèñ. 2.53
Åñëè ΨÏ1 , то ее горизонтальная проекция Ψ1								вырождается в линию, которая обладает
собирательными свойствоми и называется главной проекцией: Ψ\|\|Ï1															Ì(Ì2), à(à2) Ψ,
значит М1 , à1		= Ψ1 .
Призма может занимать горизонтально; фронтально; профильно проецирующие положения.

Ì2-26

Задание кривых линейчатых поверхностей

Продолжаем изучение линейчатых поверхностей. У линейчатых кривых поверхностей образующая - l также является прямой линией, а направляющая - т (в отличие от ломаной у гранных) кривая линия.

Как гранные, так и кривые линейчатые поверхности относятся к развертывающимся, они могут без деформаций (без складок и разрывов) совмещаться с плоскостью (рис. 2.54; 2.55).

Θ	S	Τ	ò
			ò

	l	s	Ì
	l		Ì
ò	Ì		l
	Ì
Линия обреза			Линия обреза
Рис 2.54 Коническая поверхность		Рис. 2.55. Цилиндрическая поверхность
общего вида		общего вида

Задание конической поверхности общего вида на комплексном чертеже

Коническая поверхность образуется перемещением прямолинейной образующей (l) по кривой направляющей (т), в каждый момент движения проходя через некоторую фиксированную точку (s).

Задача: сконструировать коническую поверхность общего вида Φ; Ì(Ì2), à(à1 ) Φ, Ì1 ,à2=? Определитель поверхности: Φ(ò, S); l ∩ m, l S

1. Задать проекции элементов определителя: Φ(ò, S) (ðèñ. 2.56)

ò2

ò1

Ðèñ. 2.56

			Видимость
			относительно П1
			82
ò2	32		(52 )=62	Ì2
				Ì2
12		2	42
		2	42
		2	72
			72
	31		51
	31
11		à1	41
ò1		à1
ò1			(71 )=81
			(71 )=81

Видимость относительно П2

Ì2-27

ò2 32

ò1

Φ1

Ðèñ. 2.57

	Φ2	S2
	à2	S2
	à2

Ì2

22	4
	2

À2

à1 41

21 À1 (Ì1 )

Ðèñ. 2.58

2. Построить дискретный каркас из 6 образующих на П1 è Ï2(ðèñ. 2.57):

точками 11 , 21 , 41 - обозначены точки, принадлежащие очерковым образующим на горизонтальной проекции, при этом 41 - является точкой касания очерковой к направляющей т1 ;

точками 1,2 22, 32, 42 - обозначены точки, принадлежащие очерковым образующим на фронтальной проекции, при этом 32, 42 являются точками касания очерковых образующих к направляющей т2 .

3. Определить видимость (Рис 2.57 ):

а) Относительно Π2	точки 5 и 6 - фронтально конкурирующие.
б) Относительно Π1	точки 7 и 8 - горизонтально конкурирующие.

4. Построить линию обреза, в данном случае, сама т является линией обреза.

5.Чтобы построить М1 (Рис 2.58), через М2 проводят образующую и строят ее горизонтальную проекцию, т.к. горизонтальная проекция образующей является невидимой, то точка М1 будет невидимой.

6.Чтобы построить а2 (Ðèñ. 2.58), íà à1 отмечают несколько точек(чем больше, тем точнее будет построена кривая) и строят их по аналогии с точкой М, определяют видимость а2.

Ì2-25

Задание цилиндрической поверхности общего вида на

комплексном чертеже

Цилиндрическая поверхность образуется перемещением прямолинейной образующей (l) по кривой

направляющей (т), в каждый момент движения оставаясь параллельной заданному направлению (s).

Задача: сконструировать цилиндрическую поверхность общего вида Θ,

Ì(Ì2), à(à1 ) Φ, Ì1 ,à2=?

Определитель поверхности: Θ (ò, s); l ∩ m, l s

1. Задать проекции элементов

2. Построить две проекции дискретного каркаса

определителя: Θ (ò, s) (ðèñ. 2.59)

поверхности

из пяти образующих.

а) Прямая s (s1 s2), определяющая

направление движения

Ì2

образующей, занимает положение

фронтали. На

фронтальной проекции направляющей т берется

несколько

точек (12,22,32,42,52), положение точки

42 определяется

образующей,

касательной к т2.

à1

Из всех точек

проводятся линии

связи,

ò1

определяющие положение

горизонтальных проекций

этих точек (1 ,2 ,3 ,4 ,5 ).

Ðèñ. 2.59

б) Из точек (12,22,32,42,52) проводятся

образующие,

ò2

параллельные s2 (ðèñ. 2.45).

в) Из точек (11 ,21 ,31 ,41 ,51 ). проводятся

образующие,

Ì2

параллельные s1

(ðèñ. 2.45).

ã) Íà Ï2 строится линия обреза. Длина образующих

выбирается одинаковой (можно задать

â ìì,

à1

например, 45 мм). Образующие на П2 проецируются без

искажения, как фронтали.

д) Линия обреза на П1 строится по точкам, в

проекционной

связи.

ò1

Ðèñ. 2.60

3. Построить горизонтальную проекцию

(À2 )=Â2

линии обреза, определить видимость

Ì2

поверхности (рис. 2.61), с помощью конкурирующих

точек А и В или рассуждая о положении

образующих на

относительно П . Образующая,

проходящая через точку 1 , ближе к наблюдателю,

чем образующая, проходящая через 51 , поэтому на П2

À1

образующая 52 будет невидима.

Â1

Ðèñ. 2.61

à2

Ì2

4. Обвести поверхность с учетом видимости. Чтобы

(52 )

построить М1 , нужно через М2 провести образующую

и построить ее горизонтальную проекцию (рис. 2.62).

Чтобы построить а2, нужно отметить точки

пересечения а с образующими поверхности, построить

фронтальные проекции этих точек и соединить

Ì1

плавной кривой с учетом видимости.

ò1

Ðèñ. 2.62

Ì2-29

Неразвертывающиеся линейчатые поверхности

ñдвумя направляющими

Êним относятся поверхности с плоскостью параллелизма (поверхности Каталана).

Линейчатые поверхности с двумя направляющими (т,п) - у которых образующая прямая линия (l) в каждый момент движения, пересекая направляющие, остается параллельной некоторой неподвижной плоскости, называемой плоскостью параллелизма.

Σ2

ò2 ï2

ò1

ï1

Рис. 2. 64 Цилиндроид

Ðèñ. 2. 63

Различают три вида таких поверхностей:

1.Цилиндроид - если направляющими являются две кривые линии (плоские или пространственные) (рис. 2.63, 2.64)

2.Коноид - если одна из направляющихпрямая линия, а вторая - кривая (2. 65).

3.Гиперболический параболоид (косая плоскость)

-если обе направляющие - прямые линии (2.66).

Σ2

ò2	ò2	ï
ò2		2
		2
	ï2
ò1	ò1	ï1
	ï1	ï1

Σ1
	рис. 2. 66 Гиперболический
Рис. 2. 65 Коноид	параболоид (косая плоскость)

		Алгоритм построения цилиндроида
	lï	Для построения образующих (если поверхность уже
	Σ ï	Для построения образующих (если поверхность уже
	Σ ï	сконструирована) проводят ряд плоскостей,
	Σ	параллельных плоскости параллелизма, и определяют
	Σ	точки их пересечения с направляющими (т, п) (Рис. 2. 67).
	l1	Для удобства построения часто за плоскость
	Ðèñ. 2. 67	параллелизма принимают одну из плоскостей проекций;
		параллелизма принимают одну из плоскостей проекций;

тогда образующие становятся линиями уровня. Задача: сконструировать поверхность Φ - цилиндроид, М Φ, Ì1 = ?

1.Задать проекции элементов определителя: Φ(ò, ï ,Ï1 ) (Ðèñ. 2.68) ;

2.Построить проекции поверхности - дискретный каркас из пяти образующих: l ∩ò, l ∩ï,

l Ï1

12					Ì2-30
12						12
22						12
22						22
ò2						22
ò2	32			ï2		32			ï2
	4			ï2		ò2			ï2
	2					42
						42
	52					52			62
						51
ò1				ï		ò1			ï1
				1					ï1
	Ðèñ. 2.68					Ðèñ. 2.69			61
Задать проекции элементов определителя						Ðèñ. 2.69


ò(ò1 ò2 ); ï(ï1 ï2 ).						à) Íà ò2 , например,	взять 5 точек (но чем
						больше, тем точнее построение поверхности)
12					102	(12 ,22 ,32 ,42 ,52 ) (ðèñ. 2. 69);
12					102	б) Через эти точки провести пять l П1				62 ,
2					92	б) Через эти точки провести пять l П1				62 ,
2					92	72 ,82 ,92 ,102 (ðèñ. 2.70), âñå l2 линиям связи, т.е.
2
				82
3				82		образующие занимают положение горизонталей.
ò2 2	42		72	ï				Видимость
			72	2		À2		относительно П1
						À2		относительно П1		102
	5	62			12					102
	2
	51					22			Ì	92
						C2			2
	41				10	C2			D2
	41				10	32			82
					1	42
3						42			72
1					91		Â2		72
ò1					91		Â2
2					ï1	5		6
1				81		2		2
11	Ðèñ. 2.70			81		51
	Ðèñ. 2.70		71			51
		61	71
в) Построить горизонтальные проекции
этих точек на т1 è ï1						4
г) Построить горизонтальные проекции						1				101
г) Построить горизонтальные проекции								À1 =(Â1 )		101
образующих, соединяя: 11 -101 ; 21 -91 ; 31 -81 ;						3		À1 =(Â1 )
41 -71 ; 51 -61	(ðèñ. 2.70).					1				9
41 -71 ; 51 -61	(ðèñ. 2.70).					C1				9
									Ì1	1
3. Линиями обреза являются образующие
						21
					11	21			D1
1-10, 5-6.					11	Огибающая			D1
4. Определить видимость (рис. 2. 71).						Ðèñ. 2.71			81
4. Определить видимость (рис. 2. 71).						Ðèñ. 2.71		61	71
а) Относительно П2		все образующие видимы.						61	71
а) Относительно П2		все образующие видимы.
б) Относительно П1 : образующая 12 102					выше всех, поэтому она видима на П1 . Другим способом:
точки А и В- горизонтально конкурирующие. Обвести проекции поверхности
плавной огибающей кривой, учитывая, что это линейчатая, но кривая поверхность.
5. Для построения М1		необходимо провести дополнительную образующую C2 D2 →C1 D1 , Ì1 C1 D1 .

М2-31 Проекции коноида (рис. 2.72) и гиперболического параболоида(рис. 2.74) строятся аналогично цилиндроиду

Закон каркаса: l ∩ò, l ∩ï (ï Ï2 ), l Ï2	,	Ì2
		Ì2
		12

ò2

ï1

ò1

ï2

ë .

)

(

;

)

(

		ï2
	ï1		91
	ï1		81
			71
			61
	41	51	ò1
	41
	31
	31		Τ
21	Ì1		Τ
	Ì1		1
			1
			Ðèñ. 2.73

Гиперболический параболоид (рис. 2.74, 2.75):

Γ(ò, ï, Ψ) à(à2 ) Γ, à1 = ? Закон каркаса: l ∩ò, l ∩ï, l Ψ,

Ψ2

ò2 ï2

ò1	ï1

Рис. 2.74 Задать проекции элементов определителя т(т1 ò2 ); ï(ï1 ï2 ).

ò2 Ψ2

62		à2
52		à2
42
32
	22
	12
	11	à1
	21	à1
	21
31
41

61 Огибающая

71 ò1 Γ1

Γ2

82 ï2

102

112

122

132

142

101

111

121

ï1

132

Ðèñ. 2.75 142

Ì2-32

Поверхности вращения

Поверхности вращения широко распространены в технике - это связано с простотой их обработки.

Поверхность вращения образует какая - либо линия - образующая (l) при ее вращении вокруг неподвижной оси (i).

Образующая (l) может быть как прямая, так и кривая линия - плоская или пространственная.

Свойства поверхности вращения:

Каждая точка образующей (l) при вращении вокруг оси опишет окружность с центром на оси, плоскость которой перпендикулярна оси. Эти окружности называются параллелями. Все параллели параллельны между собой.

Самая большая параллель называется экваториальной (зкватор) (рис. 2.76)- точка (В) максимально удалена от оси; самая малая параллель называется горловой (горло), у некоторых поверхностей вращения отмечают верхнюю (С) и нижнюю (D) параллели (часто они являются линиями обреза поверхности).

Линии, которые получаются в сечении поверхности вращения плоскостями, проходящими через ось, называются меридианами. Все меридианы равны между собой. Каждый меридиан рассекается этой плоскостью на два полумеридиана (правый и левый).

	Ñ	ñ
i	À	l
	À	à
левый		à

полумеридиан

правый полумеридиан

d	D
	Ðèñ. 2.76

l - образующая i - ось вращения

ñ- верхняя параллель

à- горло

в - экватор

d - нижняя параллель

При изображении поверхности вращения на комплексном чертеже обычно поверхность располагают так, чтобы ее ось была перпендикулярна к плоскости проекций. (например, i П1 ) Тогда все параллели проецируются на соответствующую плоскость (П1 ) без искажения, причем экватор и горло на такой поверхности, как на рис. 2.76, определяют горизонтальную проекцию поверхности. Меридиан, расположенный во фронтальной плоскости, проецируется без искажения на плоскость П2 .

Этот меридиан называется фронтальным èëè главным, он определяет очерк проекции поверхности на фронтальную плоскость проекций и границу видимости относительно П2 .

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Геометрия

#
26.07.20161.5 Mб23геометрия метод указания.pdf
#
26.07.2016711.97 Кб16геометрия модуль 2.pdf
#
26.07.2016402.34 Кб12геометрия модуль 3.pdf
#
26.07.2016409.33 Кб11геометрия модуль 4.pdf
#
26.07.2016576.48 Кб38геометрия раб тетрадь.pdf
#
26.07.2016556.58 Кб18геометрия.pdf