∫

dx

= x =

a

; dx = −

a

; t =

a

;

1

=

1

=

t2

2 =

2

2

t

t

2

dt

x

2 2

2

2

4) x x − a

x x − a

a a

− a2

a 1− t

.

t t 2

t 2

−

a

= −

1

dt

= −

1

arcsin

a

+ C

∫ a2

t2

dt

a

∫ 1− t 2

a

x

1− t2

dx

=

x = a(1− t);

t = a − x ;

dx = −adt;

2ax − x2 = 2a a(1− t) − a2 (1− t 2 ) =

a

=

5) ∫ 2ax − x2

a2 (1− t2 ) = a 1− t 2

.

= ∫−

a

2

dt = − a ∫

dt

2

=

a arccost

+ C = ± arccost + C = ± arccos a − x

+ C

a

1− t

a

1− t

a

a

Верхний знак (+) надо взять при a > 0 , а нижний (-) при a < 0 , так как

a

= a

при

a > 0

и

a

= −a при

a < 0 .

∫

dx

= t =

x + 2;

dx = 2tdt;

x = t2 − 2 = ∫ 2tdt

= 2∫ t + 8 − 8 dt = 2∫(1−

8

)dt =

6)

x + 2 + 8

t + 8

t + 8

t + 8

.

2t −16ln t + 8 + C = 2 x + 2 −16ln x + 2 + 8 + C

Ответ: 1)

1

(3x

− 2)

26

+

2(3x − 2)

25

+ C ; 2) −

1

cos(x3

+ 1)

+ C ;

9

26

3

250

J =

∫

f (x)dx =

x = ϕ (t)

=

∫

f (ϕ (t)) ϕ '(t)dt

(1.2.5)

dx = ϕ '(t)dt = d(ϕ (t))

Пример 12. Найти интеграл: ∫

x2

dx .

(7x3 + 8)

Решение:

x2

t = 7x3 + 8;

1

1

1

∫

dx =

dt = 21x

2

dx

=

∫t

−5

dt = −

t

−4

+ C = −

+ C .

(7x3 + 8)

21

84

84(7x3 + 8)

1

dt = x2 dx

21

Ответ: −

1

+ C .

84(7x3 + 8)

1.2.5. Интегрирование по частям

Интегрированием по частям называется нахождение интеграла по формуле:

∫u dv = u v − ∫v du ,

(1.2.6)

где: u = u(x), v = v(x) - непрерывные дифференцируемые функции.

Случаи применения формулы интегрирования по частям:

aαx

aαx

1. ∫ Pn (x) sin βx dx =

u = Pn (x);

dv = sin βx

dx .

cos βx

cos βx

loga x

loga x

arcsin βx

arcsin βx

2. ∫ Pn (x) arccos βx dx =

u = arccos βx; dv = Pn (x)dx

.

arctgβx

arctgβx

arcctgβx

arcctgβx

4.

∫

x2 + b

a2 − x2

dx = один раз интегрируем по частям, получаем уравнение относительно

исходного материала.

Замечания:

Pn (x)

означает многочлен степени n , а в квадратных скобках перечислены функции, к

которым применима данная формула.

Во втором пункте вместо многочлена можно подставлять и степенную функцию.

Пример 14. Найти интеграл: ∫(5x2 − 7) e2 x dx .

Решение:

u = 5x2 − 7;

du = 10xdx

∫(5x2 − 7) e2 x dx =

dv = e2 x dx; v = ∫dv = ∫e2 x dx =

1

e2 x

=

1

e2 x (5x2

− 7) −

10

∫ xe2 x dx =

2

2

∫udv = u v − ∫vdu

2

.

=

u = x;

du = dx

2 x

−

1

2 x

5x2 − 7 − 5x +

5

+ C

2 x

1

2 x

= 1 e2 x (5x2 − 7) − 5 xe

∫

e2 x dx = e

dv = e

dx;

v =

e

2

2

2

2

2

2

e2 x

2

5

Ответ:

5x

− 7

− 5x

+

+ C .

2

2

Пример 15. Найти интеграл: ∫3

x log5 4xdx .

Решение:

u = log5 4x;

du =

dx

xln 5

∫3 x log5 4xdx = dv = 3 xdx;

v =

3 3

x4

= 3 3

x4

log

5 4x −

3

3

xdx =

4

4

4ln 5

.

∫udv = u v − ∫vdu

=

3 3

x

4

log5

4x

−

3

3

x

3

x + C =

3

x

3

−

3

4

4ln 5

4

4

x log5 4x

4ln 5

+ C

Ответ:

3

x

3

4x −

3

4

x log5

+ C .

4 ln 5