Модуль 11. Криволинейные и поверхностные интегралы
Алгоритм самостоятельной работы
При изучении модуля «Криволинейные интегралы» студент должен самостоятельно выполнить следующие действия:
•ознакомиться с языком дисциплины
•ознакомиться с основными вопросами и учебными элементами модуля
•ознакомиться с перечнем умений по данному модулю
•выполнить предложенный вариант домашнего задания
•выполнить тест-тренинг
Основные понятия модуля
1.Понятие криволинейного интеграла 1 рода, заданного:
• в прямоугольных координатах;
• в полярных координатах
• параметрически.
2.Вычисление криволинейного интеграла 2 рода, заданного:
• в прямоугольных координатах;
• в полярных координатах
• параметрически.
3.Вычисление криволинейного интеграла 2 рода с помощью формулы Грина.
4.Геометрические и физические приложения криволинейного интеграла:
•Вычисление длины кривой;
•Вычисление массы кривой;
•Вычисление работы силы.
5.Понятие поверхностного интеграла 1 типа.
6.Поверхностный интеграл второго типа (по проекциям)
7.Вычисление поверхностного интеграла 2 типа с помощью формулы Остроградского
Основные учебные элементы модуля
Учебные элементы
Уч. элемент № 1
Уч. элемент № 2
Уч. элемент № 3
Уч. элемент № 4
Название
Вычисление криволинейных и поверхностных интегралов 1 рода.
Вычисление криволинейных и поверхностных интегралов 2 рода непосредственно и с использованием формулы Грина и формулы Остроградского
Применение вычисления криволинейных интегралов при решении геометрических и физических задач.
Умение составлять и решать геометрические и физические задачи с использованием криволинейного и поверхностного интеграла.
Требования к знаниям и умениям
Узнавание |
Уровень 1 |
Уч. элемент № 1, уч. элемент № 2 |
|
|
|
35
Понимание |
Уровень 2 |
Уч. элемент № 1, уч. элемент № 2 |
|
|
|
|
|
Решение типичных |
Уровень 3 |
Уч. элемент № 1, Уч. элемент № 2, |
|
задач |
Уч. элемент № 3 |
||
|
|||
|
|
|
|
Творчество |
Уровень 4 |
Уч. элемент № 1, Уч. элемент № 2, |
|
Уч. элемент № 3, Уч. элемент № 4 |
|||
|
|
||
|
|
|
Опорная схема
1. Криволинейный интеграл
Прямоугольная С.К. |
|
|
|
Функция, задана параметрически |
Полярная |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С.К. |
|
|
|
|||||||
Криволинейный интеграл первого рода ∫ f (x, y)dS |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
γ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
β |
|
|
∫ f (x, y(x)) 1+ y′2 dx. |
|
∫ f (ϕ (t),ψ (t), χ (t)) ϕ ′2 +ψ ′2 + χ ′2 dt |
|
|||||
|
a |
|
|
|
|
|
|
α |
|
Криволинейный интеграл второго рода∫aGdrG |
|
||||||||
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
γ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
β |
|
∫ |
[P(x, y(x)) + Q(x, y(x)) + R(x, y(x))]dx |
∫[P(ϕt ,ψ t , χt )ϕt′ + Q(ϕt ,ψ t , χt )ψ t′ + R(ϕt ,ψ t , χt )χt′ ]dt |
|
||||||
a |
|
|
|
|
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
||||
2. Формула Грина |
|
|
|
|
|
||||
∫ |
|
|
|
∂Q |
|
∂P |
|
|
|
Pdx + Qdy = |
∫∫ |
|
− |
|
|
|
|
||
|
|
|
∂x |
∂y |
dxdy |
|
|
||
γ |
|
D |
|
|
|
|
|
||
3. Приложения криволинейного интеграла Длина кривой
криволинейный интеграл от единичной функции по кривой γ численно равен длине кривой: ∫dS = l
γ
Масса кривой
интеграл первого рода от функции |
f по кривой γ численно равен массе (полному заряду) |
кривой: ∫ f (x, y, z)dS =m , где f (x, y, z) |
- линейная плоскость вещества (или линейная плоскость |
γ |
|
распределения электрического заряда) |
|
Вычисление работы силы
криволинейный интеграл второго рода можно истолковать как работу силы aGна криволинейном пути γ: A = ∫aGdrG, где a(x, y, z) - переменная сила
γ
4. Поверхностный интеграл
36
Поверхностный интеграл первого типа
∫∫ f ( x, y )dσ = ∫∫ f [x, y, z( x, y )] 1 + (z′x )2 + (z′y )2 dxdy,
σDxy
где Dxy – проекция поверхности на плоскость хоу
Поверхностный интеграл второго типа (по проекциям)
∫∫ P(x, y, z)dydz + Q(x, y, z)dxdz + R(x, y, z)dxdy
σ
Пусть поверхность σ задана уравнением z = f(x, y) и она однозначно проектируется в область Dxy плоскости xoy.
Тогда ∫∫ R(x, y, z) dxdy = ± ∫∫ R[x, y, f (x, y)]dxdy , где знак (+) берётся, если
σ |
|
|
|
|
Dxy |
|
|
|
|
|
|
|
|
cos γ = cos |
N |
, oz |
> 0 |
на выбранной стороне поверхности σ, и знак (−) берётся, если cosγ < 0. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть поверхность σ задана уравнением y = ϕ(x, z) и она однозначно проектируется на плоскость xoz в область Dxz.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда ∫∫ Q(x, y, z) dxdz = ± ∫∫ Q[x; ϕ(x, z); z]dxdz . Знак (+) берём, если cos β = cos |
N |
, oy |
|
> 0 |
на |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
σ |
Dxz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
выбранной стороне поверхности σ, и знак (−) берём, если cosβ < 0. |
|
|
|
|||||||||||||||
Пусть поверхность σ задана уравнением z = f(x, y) и она однозначно проектируется в |
|
|||||||||||||||||
область Dzy плоскости zoy. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда ∫∫ P(x, y, z)dydz = ± ∫∫ P[ψ(y, z); y, z]dydz , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
σ |
Dyz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Знак (+) берём, если |
cos α = cos |
N |
, ox > 0 , знак (−) берём, если cosα < 0 на выбранной |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
стороне поверхности σ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Формула Остроградского для вычисления поверхностного интеграла |
|
|
|
|||||||||||||||
второго типа |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫∫ P( x, y, z )dydz + Q( x, y, z )dxdz + R( x, y, z )dxdy = = ∫∫∫ |
|
∂P |
|
∂Q |
|
∂R |
|
|
|
|||||||||
|
|
+ |
|
+ |
|
dxdydz |
|
|
|
|||||||||
∂x |
∂y |
|
|
|
|
|||||||||||||
σ |
|
|
|
|
T |
|
|
|
∂z |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5. Приложение поверхностного интеграла
1. Вычисление массы
m = ∫∫ μdσ , где μ-плотность
σ
2. Координаты центра тяжести (центра масс) найдём по формулам
37
x c = |
M yz |
, y c = |
M |
xz |
, zc = |
M xy |
. |
mσ |
|
|
mσ |
||||
|
|
mσ |
|
||||
1. Вычисление объема
V= ∫∫ dxdydz
σ
6. Элементы теории поля Градиент скалярного поля
grad u(M ) = |
|
|
= |
|
|
∂u |
(M )i |
+ |
|
∂u |
|
(M )j |
+ |
∂u |
(M ) |
|
||||||||||||||||||||||||||||
N |
k |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
∂y |
∂z |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Оператор Гамильтона |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
= i |
∂ |
|
+ j |
∂ |
+ k |
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
∂x |
|
∂y |
∂z |
|
|
|
|
|
|
|
= {P, Q, R} |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Вихрь или ротор вектора |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
F |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∂R |
|
|
|
∂Q |
|
|
|
|
|
|
∂P |
|
|
∂R |
|
|
|
|
∂Q |
|
|
∂P |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
rot F |
= |
|
|
|
− |
|
|
|
i |
+ ( |
∂z |
− |
∂x |
|
)j |
|
+ |
|
− |
|
|
k |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
∂z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
∂y |
||||||||||||||||||
Циркуляцией вектора F {P, Q, R}
Γ = ∫P(x, y, z)dx +Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz .
L
Поток векторного поляF {P, Q, R}
Π = ∫∫ P(x, y, z)dydz +Q(x, y, z)dxdz + R(x, y, z)dxdy .
σ
Дивергенция.
div F = ∂∂Px + ∂∂Qy + ∂∂Rz
∫∫ F dσ
div |
|
(M ) = lim |
σ |
, |
F |
||||
|
|
d(σ) → 0 |
V |
|
Формула Стокса
∫ F dl = ∫∫rot F dσ = ∫∫ |
cos α |
cos β |
cos γ |
||
∂x |
∂y |
∂z dσ. |
|||
|
|
|
∂ |
∂ |
∂ |
L |
σ |
σ |
P |
Q |
R |
В данном модуле студент должен изучить теоретический материал по предложенным учебным элементам. (см. Теоретический материал по высшей математике: учебнометодический материал для студента. Часть III. Сост.: Ахметжанова Г.В. Калукова О.М., Кошелева Н.Н., Никитина М.Г., Павлова Е.С., Емельянова С.Г. - Тольятти: ТГУ, 2007 и доп. литературу)
38
В таблице 7 представлен график изучения теоретического материала по модулю «Криволинейные и поверхностные интегралы»»
|
|
Таблица 7 |
|
Неделя |
теоретический материал |
|
|
|
|
|
|
обучения |
аудиторные занятия |
самостоятельная работа |
|
|
|
|
|
|
Основные понятия криволинейных |
Приложение криволинейных |
|
12 неделя |
интегралов первого рода к |
|
|
|
интегралов первого рода. |
решениям задач геометрии |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Криволинейные интегралы второго |
Приложение криволинейных |
|
13 неделя |
интегралов второго рода к |
|
|
|
рода |
решениям задач геометрии |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Основные понятия поверхностных |
Приложение поверхностных |
|
14 неделя |
интегралов первого рода к |
|
|
|
интегралов первого рода. |
решениям задач геометрии |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Основные понятия поверхностных |
Приложение поверхностных |
|
15 неделя |
интегралов второго рода к |
|
|
|
интегралов первого рода. |
решениям задач геометрии |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 неделя |
Основные понятия теории поля |
Основные понятия теории |
|
поля |
|
||
|
|
|
|
По всем вопросам обращаться к академическому консультанту, задавая вопросы на форуме образовательного портала.
Также студент должен ознакомиться с типовыми задачами и упражнения по модулю, чтобы выполнить свой вариант ИДЗ (см. Руководство к решению задач: учебно-методическое пособие для студентов Часть III. Сост.: Ахметжанова Г.В. Калукова О.М., Кошелева Н.Н., Никитина М.Г., Павлова Е.С., Емельянова С.Г., - Тольятти: ТГУ, 2007.)
В таблице 8 представлен график изучения теоретического материала по модулю «Криволинейные и поверхностные интегралы»
|
|
Таблица 8 |
|
Неделя |
Практические занятия |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
обучения |
аудиторные занятия |
самостоятельная работа |
|
|
|
|
|
|
Основные понятия криволинейных |
Приложение криволинейных |
|
12 неделя |
интегралов первого рода к |
|
|
|
интегралов первого рода. |
решениям задач геометрии |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Криволинейные интегралы второго |
Приложение криволинейных |
|
13 неделя |
интегралов второго рода к |
|
|
|
рода |
решениям задач геометрии |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Основные понятия поверхностных |
Приложение поверхностных |
|
14 неделя |
интегралов первого рода к |
|
|
|
интегралов первого рода. |
решениям задач геометрии |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Основные понятия поверхностных |
Приложение поверхностных |
|
15 неделя |
интегралов второго рода к |
|
|
|
интегралов первого рода. |
решениям задач геометрии |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
39
16 неделя |
Основные понятия теории поля |
Основные понятия теории |
|
поля |
|||
|
|
||
|
|
|
По всем вопросам обращаться к академическому консультанту, задавая вопросы на форуме образовательного портала или в часы индивидуальных консультаций (график индивидуальных консультаций представлен на образовательном портале).
Студент должен выполнить свой вариант домашнего задания (см. Индивидуальные домашние задания для студентов, обучающихся по технологии 30/70. Часть III. Сост.: Ахметжанова Г.В. Калукова О.М., Кошелева Н.Н., Никитина М.Г., Павлова Е.С., Емельянова С.Г., - Тольятти: ТГУ, 2007).
График выполнения представлен ИДЗ в таблице 9.
Таблица 9
Неделя обучения |
ИДЗ |
12 неделя |
с 1 по 2 задание |
|
|
13неделя |
3 задание |
|
|
14 неделя |
4 задание |
|
|
15 неделя |
5 задание |
|
|
16 неделя |
Сдача на проверку тьютора |
|
|
По окончании 16 недели сдать ИДЗ академическому консультанту и получить на образовательном портале допуск к тестированию
На семнадцатой неделе обучения студенты проходят тестирование по модулю, которое выставлено в расписание.
На 18 неделе обучение (или в экзаменационную сессию) проходит итоговое тестирование за семестр обучения. Допуск к итоговому тесту подробно описан в разделе Рейтинг и оценка уровня знаний студентов по дисциплине «Высшая математика».
40