- •Глава III. ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК
- •§18. Условия существования электрического тока и его характеристики
- •§19. Уравнение непрерывности
- •§20. Сторонние силы. Электродвижущая сила
- •§21. Закон Ома. Сопротивление проводников
- •§22. Закон Ома для неоднородного участка цепи
- •§23. Разветвлённые электрические цепи. Правила Кирхгофа
- •§24. Закон Джоуля – Ленца
- •Глава IV. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ
- •§26. Магнитное поле. Магнитная индукция
- •§27. Поле движущегося заряда
- •§28. Закон Био-Савара-Лапласа
- •Пример 1
- •Пример 2
- •§29. Теорема Гаусса для поля вектора
- •§31. Примеры применения теоремы о циркуляции вектора
- •Пример 1
- •Пример 3
- •§32. Сила Ампера. Закон Ампера
- •§33. Сила взаимодействия электрических токов
- •§34. Сила Лоренца
- •Пример 1
- •§35. Эффект Холла
- •§36. Дифференциальная форма записи основных законов магнитного поля
- •§37. Движение заряженных частиц в магнитном поле
- •§38. Работа по перемещению проводника и контура с током в магнитном поле
§31. Примеры применения теоремы о циркуляции вектора B
Пример 1
Магнитное поле прямого тока.
Рис. 31.1
Пусть постоянный ток I течет вдоль бесконечно длинного прямого провода, имеющего круглое сечение радиусом а. Найти индукцию B поля снаружи и внутри провода. Линии векто-
ра B имеют вид окружностей с центром на оси провода.
|
В |
|
|
|
|
|
r1 = r > 0 |
~ r1~ r |
~ |
1 |
~ |
1 |
|
|
r |
r2 |
||||
r1 ≤ a |
|
|
|
|||
|
|
|
|
r |
||
|
|
|
|
|
||
0 |
|
a |
|
|
|
|
Рис. 31.2. График зависимости B = f (r)
Модуль вектора B должен быть одинаков во всех точках на расстоянии r от оси провода.
Для круглого контура – Г1 по теореме о циркуляции B :
B 2πr = μ I |
(31.1) |
|||
1 |
0 |
|||
или |
|
|
||
B = |
μ0I |
, |
(r1 ≥ a) |
(31.2) |
|
||||
|
2πr1 |
|
|
|
Внутри провода рассмотрим контур Г2 : |
|
|
||
B2 2πr2 = μ0I2 , |
(31.3) |
но
|
I |
|
(31.4) |
|
πr2 |
||
|
|
||
– ток, приходящийся на единицу площади. Тогда |
|
28
|
I |
|
= |
|
|
I |
|
|
πr |
2 |
; |
(31.4) |
|||
|
|
|
πa2 |
|
|||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|||
|
I2 |
= I |
|
|
|
|
|
, |
|
|
(31.6) |
||||
|
a |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
B |
|
= |
|
μ |
0 |
Ir2 |
, |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
(31.7) |
|||||
|
|
a |
2 2πr |
|
|
||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
B |
= |
μ0 Ir2 |
|
, (r2 ≤ a). |
(31.8) |
||||||||||
2 |
|
2πa2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Если провод имеет вид трубки, то снаружи индукция |
Bопределяется формулой (31.8), а |
||||||||||||||
внутри – магнитное поле отсутствует. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 2 Магнитное поле соленоида
Соленоид – это цилиндрическая катушка, состоящая из большого числа витков, равномерно намотанных на общий сердечник. Пусть ток I течет по соленоиду, имеющему n витков на единицу длины ( n = Nl ). Шаг винтовой линии достаточно мал и каждый виток соленоида мож-
но приближенно заменить замкнутым витком. Считаем, что сечение проводника настолько мало, что ток в соленоиде можно считать текущим по его поверхности. Для бесконечно длинного соленоида (как показывает опыт) магнитное поле снаружи соленоида отсутствует вообще.
Линии вектора B внутри соленоида направлены вдоль его оси, а вектор B составляет с направлением тока в соленоиде правовинтовую систему.
l
B
Рис. 31.3
В виде замкнутого контура выберем прямоугольник. Циркуляция вектораB по данному контуру равна B·l и контур охватывает ток:
n0 I l = N I ; |
(31.9) |
|
по теореме о циркуляции |
|
|
B l = μ |
n I l |
(31.10) |
0 |
0 |
29
B = μ0 N I l l= μ0 n0 I |
(31.11) |
B = μ0NI l |
(31.12) |
Т.е. поле внутри длинного соленоида однородно, (за исключением областей, примыкающих к торцам соленоида, но этим при расчетах часто пренебрегают).
Произведение:
n0I |
(31.13) |
– называют числом ампер-витков, при n0=2000 (витк/м) и I = 2А магнитное поле соленоида
В = 5·10-3 Тл.
B = μ0 n0 I |
(31.14) |
[B]=[μ0 n0 I]=1 (Гн/м)·(1/м)·А = 1 В·с·А/А·м2 = 1 Тл 1 Гн = 1В·1с/1А
Пример 3
Поток вектора B через соленоид
Магнитная индукция однородного поля внутри соленоида с сердечником с магнитной проницаемостьюμ по теореме о циркуляции равна:
B = μ μ0 NI l |
(31.15) |
Или |
|
B = μ μ0 n0 I , где n0 = N l |
(31.16) |
Магнитный поток через один виток равен: |
|
Φ1 = BS |
(31.17) |
Полный магнитный поток соленоида равен: |
|
ψ= Φ1 N = NBS = μ μ0 N 2 I S l |
(31.18) |
или |
|
ψ= μ μ0 n02 l2 IS l = μ μ0 n02 lIS = μ μ0 n02 IV |
(31.19) |
где n0 – число витков на единицу длины; V – объем поля внутри соленоида.
Пример 4 Магнитное поле тороида
Тороид представляет собой провод, навитый на каркас, имеющий форму тора или достаточно длинный соленоид, свитый в кольцо (рис. 31.4). Из соображений симметрии следует, что си30