- •1. Понятие сигнала.
- •Энергетические характеристики сигналов
- •Энергетические спектры сигналов [1].
- •2. Представление сигналов в частотной области. Понятие спектра сигнала.
- •Прохождение сигналов через линейные цепи с постоянными параметрами.
- •2.1. Определение линейной цепи.
- •2.2. Дельта - функция - как пример пробного сигнала.
- •Временной и спектральный методы анализа передачи сигналов через линейные цепи.
- •Взаимная и автокорреляционные функции сигнала
- •Общие определения
Прохождение сигналов через линейные цепи с постоянными параметрами.
2.1. Определение линейной цепи.
Электрическая цепь осуществляет преобразование сигналов, поступающих на ее вход. Поэтому в самом общем случае математическую модель цепи можно задать в виде соотношения между входным воздействием Sвх(t)и выходной реакциейSвых(t):
Sвых(t)=TSвх(t),
где Т- оператор цепи.
На основании фундаментальных свойств оператора можно сделать заключение о наиболее существенных свойствах цепей.
1. Если оператор цепи Тне зависит от амплитуды воздействия, то цепь называется линейной. Для такой цепи справедлив принцип суперпозиции, отражающей независимость действия нескольких входных воздействий :
T[Sвх1(t)+ Sвх2(t)+...+ Sвхn(t)]=TSвх1(t)+TSвх2(t)+...+TSвхn(t)(1)
Очевидно, что при линейном преобразовании сигналов в спектре отклика нет колебаний с частотами, отличными от частот спектра воздействий.
Класс линейных цепей образуют как пассивные цепи, состоящие из разисторов, конденсаторов, индуктивностей, так и активные цепи, включающие еще и транзисторы, лампы и т.п. Но в любой комбинации этих элементов их параметры не должны зависеть от амплитуды воздействия.
2. Если сдвиг входного сигнала во времени приводит к такому же сдвигу выходного сигнала, т.е.
Sвых(tt0)=TSвх(tt0),(2)
то цепь называют стационарной. Свойство стационарности не распространяется на цепи, содержащие элементы с переменными во времени параметрами (индуктивности, конденсаторы и т.п.).
2.2. Дельта - функция - как пример пробного сигнала.
Для анализа прохождения сигналов через электрические цели широко используются пробные сигналы, обладающие какими - либо характерными свойствами. Такой функцией, в частности, является дельта-функция (t),обращающаяся в ноль при t0и в бесконечность приt=0, так, что
(3).
Этому определению удовлетворяет, например, прямоугольный импульс длительностью tu , амплитуда которого обратно пропорциональна его длительности 1/tu . При tu0амплитуда импульса бесконечно растет, а площадь остается постоянной - равной единице. Действительно, если
то дельта-функцию можно определить как (t)=
При этом
В более общем случае дельта-функцию можно записать в виде
(4)
Спектральную плотность дельта-импульса A(t) найдем с помощью прямого преобразования Фурье :
(5)
На основании определения дельта-функции интервал интегрирования в формуле (5) можно сделать сколь угодно малым, лишь бы он включал в себя момент t=0. В пределе он может быть устремлен к нулю и подъинтегральная функцияejtпримет значение, равное единице. Таким образом. Следовательно, спектральная плотность дельта-импульса имеет равномерный частотный спектр. ФЧХ дельта-импульса равна нулю для всех частот. Это означает, что все гармонические составляющие начинаются с одной фазы и образуют бесконечный пик приt=0.
По определению, дельта-функция обладает свойством, которое может быть выражено соотношением
(6)
Его называют фильтрующим свойством дельта-функции, согласно которому интеграл от произведения произвольной функции на (t-t0)равен значению этой функции в точкеt=t0 .
На основании обратного преобразования Фурье выразим дельта-функцию через ее спектр :
(t)=(7)
По аналогии с (7) можно ввести дельта-функцию аргумента
()=(8)
В (8) знак показателя экспоненты не влияет на значение интеграла, поскольку и независимо от знака интеграл от нечетной функции sin на симметричном интервале интегрирования равен нулю. Поэтому можно записать
()=(9)