6. Лекция 6

   1. Групповая скорость. Дисперсия

Зависимость фазовой скорости волны от частоты называют дисперсией: . Среда или направляющая система, в которой наблюдается дисперсия, называется дисперсной.

Явление дисперсии знакомо нам по явлению разложения белого света в спектр при помощи стеклянной линзы: белый свет состоит из суммы отдельных составляющих с разной частотой, т.е. цветом. У каждой из составляющих скорость в стекле различна, и это приводит к тому, что для каждой из них у стекла свой показатель преломления. В результате происходит разложение света на отдельные цвета: у красного цвета максимальная скорость в среде и минимальная степень преломления, у фиолетового цвета минимальная скорость света в среде и максимальная степень преломления.

Для разных сред зависимость фазовой скорости от частоты различна. Различают нормальную дисперсию, когда фазовая скорость волны понижается с ростом частоты, и аномальную, когда фазовая скорость повышается с частотой. Для идеального диэлектрика

,

так как в идеальном случае все параметры не зависят от частоты, то , т.е., дисперсия отсутствует. В диэлектрике реальном, имеющем потери, дисперсия присутствует, поскольку волновое число зависит от частоты из-за частотной зависимости тангенса угла электрических потерь:. Таким образом, среда с потерями обладает дисперсионными свойствами. Однако, для обычных диэлектриков ситуация близка к идеальному случаю, т.к., и при малом тангенсе угла электрических потерьфазовая скорость от частоты не зависит

В проводнике, по общей формуле

,

так как для металла было показано , то

,

то есть фазовая скорость растет вместе с частотой, таким образом, в проводниках присутствует аномальная дисперсия.

Помимо сред, понятие дисперсии существует также для направляющих систем. При рассмотрении волноводов мы увидим, что в металлическом волноводе присутствует нормальная дисперсия. Ее необходимо учитывать при анализе распространения по следующим причинам.

2. Групповая скорость

Плоская однородная монохроматическая волна не может переносить информацию, т.е. являться сигналом, так как она не представляет собой процесс, не изменяющий своего характера в пространстве или времени. Сигналы, несущие информацию, всегда представляются только модулированными колебаниями, импульсными или непрерывными. Изменение поля во времени, т.е., модуляция, служит средством передачи информации.

Любой модулированный сигнал представляет собой спектр частот с определенными амплитудными и фазовыми соотношениями между отдельными частотными составляющими. В дисперсной системе отдельные частотные составляющие распространяются с разными скоростями и испытывают различное затухание. Это нарушает амплитудно-фазовые соотношения в спектре сигнала, и на приемном конце его форма может сильно отличаться от исходной.

Скорость передачи узкополосного сигнала, например сигнала с амплитудной модуляцией, называется групповой скоростью. Во всех случаях, когда дисперсия еще не приводит к существенному искажению сигнала, групповая скорость рассматривается как скорость переноса сигнала. Для ее определения рассмотрим простейший модулированный сигнал − биение двух монохроматических колебаний с равными амплитудами и близкими частотами:

,

,.

Различием между постоянными затухания для двух частот можно пренебречь. Суммарный сигнал в произвольной точке имеет вид:

,

где ,− волновые числа на разных частотах,. Можно показать, что при не слишком большой полосе частотэто выражение принимает вид

Первый косинус характеризует огибающую биений, а второй − высокочастотное колебание (рисунок Рисунок 49 ).

49. −К определению групповой скорости

Амплитуда результирующей волны имеет максимум в максимуме огибающей. Групповую скорость определяют как скорость перемещения максимума огибающей, соответствующего максимуму плотности энергии электромагнитного поля. При этом высокочастотный сигнал, заполняющий огибающую, продолжает перемещаться с фазовой скоростью.

Очевидно, что групповая скорость одинакова для всех точек огибающей: найдем эту скорость для какой-либо точки огибающей. Удобно сделать это для точки максимума огибающей.

Обозначим ,. В выражении для колебаний рассмотрим точку, когда первый косинус равен единице и найдем скорость ее перемещения по времени. Это происходит, когда его аргумент равен нулю:

Скорость является производной перемещения по времени. Переходя к пределу, получим

.

Это и является определением групповой скорости. Условием применимости этой формулы и понятия групповой скорости вообще является узость спектра передаваемого сигнала и медленное изменение волнового числа от частоты. При невыполнении этих условий влияние дисперсии становится весьма заметным, сигнал в процессе распространения сильно меняет свою форму и само понятие групповой скорости теряет смысл.

Так как фазовая постоянная в среде с потерями зависит от частоты, то групповая скорость тоже зависит от частоты. В среде без потерь групповая скорость равна фазовой скорости:

.

В зависимости от типа дисперсии групповая скорость может быть больше или меньше фазовой:

,− отсутствие дисперсии

,− нормальная дисперсия

,− аномальная дисперсия