мет.указ. к.р. №1-3
.pdfФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА федеральное образовательное учреждение высшего
профессионального образования «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ» (МИИТ)
ОДОБРЕНО: |
УТВЕРЖДЕНО: |
Кафедра «Высшая и |
Декан ф-та ТС |
прикладная математика» |
|
|
«__» ______2011г. |
Составители: Блистанова Л.Д., д.ф.-м.н., проф., Голечков Ю.И., д.ф.-м.н., доц., Захарова М.В., к.ф.-м.н., доц., Сперанский Д.В., д.т.н., проф.
МАТЕМАТИКА
Задания на контрольные работы № 1 – 3
для студентов 1 курса заочной формы обучения специальности
190901.65 – Системы обеспечения движения поездов, специализации – СА, СТ, СЭ.
Москва 2011г.
1
2
Методические указания по выполнению контрольных работ
Задачи, включенные в контрольную работу, взяты из сборника задач, подготовленного коллективом преподавателей кафедры «Высшая и прикладная математика» РОАТ МГУПС. Все задачи имеют тройную нумерацию, которая включает номер раздела из сборника задач, уровень сложности задачи и порядковый номер задачи. Студент выполняет те задачи, последняя цифра номера которых совпадает с последней цифрой его учебного шифра. Например, студент, учебный шифр которого имеет последнюю цифру 3, в контрольной работе №1 решает задачи 1.1.53, 2.1.13, 2.2.43, 3.3.33, 3.2.3; в контрольной работе №2 – 6.2.13, 6.3.3, 7.1.23, 7.1.43, 7.3.23; в контрольной работе №3 – 8.1.23, 8.3.23, 9.1.33, 9.2.3, 10.1.3.
Перед выполнением контрольной работы студент должен ознакомиться с содержанием разделов рабочей программы, на освоение которых ориентирована выполняемая контрольная работа. Необходимую учебную литературу студент может найти в рабочей программе (в программе указана как основная, так и дополнительная литература).
Каждая контрольная работа выполняется в отдельной тетради, на обложке которой должны быть указаны: дисциплина, номер контрольной работы, шифр студента, курс, фамилия, имя и отчество студента. На обложке вверху справа указывается фамилия и инициалы преподавателя-рецензента.
Вконце работы студент ставит свою подпись и дату выполнения работы.
Вкаждой задаче надо полностью выписать ее условие. В том случае, когда несколько задач имеют общую формулировку, следует, переписывая условие задачи, заменить общие данные конкретными, взятыми из соответствующего номера.
Решение каждой задачи должно содержать подробные вычисления, пояснения, ответ, а также, в случае необходимости, и рисунки. После каждой задачи следует оставлять место для замечаний преподавателя-рецензента. В случае невыполнения этих требований преподаватель возвращает работу для доработки без ее проверки.
3
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1
Элементы векторной алгебры, аналитической геометрии и линейной алгебры
1.1.51. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах: a(−3;2;1) ; b(5;4;2); c(0;6;1). Сделать чертеж.
1.1.52.Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах: a(−4;2;5) и b(1;0;− 2). Сделать чертеж.
1.1.53.Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах:
a(4;− 3;7) ; b(2;0;1) ; c(−5;1;2). Сделать чертеж.
1.1.54.Найти площадь параллелограммa, построенного на векторах: a(3;0;6) и b(2;−1;3). Сделать чертеж.
1.1.55.Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах:
a(−5;0;2); b(8;1;3); |
c(1;−1;− 2) . Сделать чертеж. |
1.1.56.Найти площадь треугольника, построенного на векторах: a(2;2;− 3) и b(0;− 2;5). Сделать чертеж.
1.1.57.Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах:
a(1;2;8) ; b(2;3;− 4); c(5;0;−1). Сделать чертеж.
1.1.58.Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах: a(7;0;3) и b(−4;1;− 2). Сделать чертеж.
1.1.59.Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах:
a(2;− 4;7) ; b(3;− 2;0); c(6;2;1). Сделать чертеж.
1.1.60. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах: a(4;−1;2) и b(0;3;− 3). Сделать чертеж.
2.1.11.Уравнение одной из сторон квадрата х+3у–5= 0. Составить уравнения трех остальных сторон квадрата, если Р(–1; 0) – точка пересечения его диагоналей. Сделать чертеж.
2.1.12.Даны уравнения одной из сторон ромба х–3у+10=0 и одной из ее диагоналей х+4у–4=0; диагонали ромба пересекаются в точке Р(0; 1). Найти уравнения остальных сторон ромба. Сделать чертеж.
2.1.13.Уравнения двух сторон параллелограмма х+2у+2=0 и х+у–4=0, а уравнение одной из его диагоналей х–2=0. Найти координаты вершин параллелограмма. Сделать чертеж.
2.1.14.Даны две вершины А(–3; 3) и В(5; –1) и точка D(4; 3) пересечения высот треугольника. Составить уравнения его сторон. Сделать чертеж.
4
2.1.15.Даны вершины А(3; –2), В(4; –1), С(1; 3) трапеции ABCD (AD || BC). Известно, что диагонали трапеции взаимно перпендикулярны. Найти координаты вершины D этой трапеции. Сделать чертеж.
2.1.16.Даны уравнения двух сторон треугольника 5х–4у+15=0 и 4х+у–9=0. Его медианы пересекаются в точке Р(0; 2). Составить уравнение третьей стороны треугольника. Сделать чертеж.
2.1.17.Даны две вершины А(2; –2) и В(3; –1) и точка Р(1; 0) пересечения медиан треугольника АВС. Составить уравнение высоты треугольника, проведенной через третью вершину С. Сделать чертеж.
2.1.18.Даны уравнения двух высот треугольника х+у=4 и у=2х и одна из его вершин А(0; 2). Составить уравнения сторон треугольника. Сделать чертеж.
2.1.19.Даны уравнения двух медиан треугольника х–2у+l = 0 и у–1=0 и одна из его вершин А(1; 3). Составить уравнения его сторон. Сделать чертеж.
2.1.20.Две стороны треугольника заданы уравнениями 5х–2у–8=0 и 3х–2у–8=0, а середина третьей стороны совпадает с началом координат. Составить уравнение этой стороны. Сделать чертеж.
2.2.41.Составить уравнение плоскости, проходящей через прямые: x−12 = y3−3 = z3+1 и x1+1 = y+32 = z3−1. Сделать схематический чертеж.
2.2.42.Составить уравнение плоскости, проходящей через т. A(2;3;−1) и
прямую x1+1 = y+32 = z3−1. Сделать схематический чертеж.
2.2.43.Составить уравнение плоскости, проходящей через прямые:
|
x−1 |
= |
|
y+1 |
= |
|
z+2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
x+2 |
= |
|
y−2 |
= |
z−4 |
. Сделать схематический чертеж. |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
2 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
2.2.44. Составить |
уравнение плоскости, проходящей через |
т. |
A(−1;− 2;1) |
и |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
прямую |
x−2 |
|
= |
|
|
y−3 |
= |
|
|
z+1 |
. Сделать схематический чертеж. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2.2.45. |
|
|
Составить |
|
|
|
|
|
|
уравнение |
плоскости, |
проходящей |
через |
прямые: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x−3 |
= |
|
y |
= |
|
|
z−1 |
и |
|
|
|
x+1 |
= |
|
y−1 |
= |
|
z |
|
. Сделать схематический чертеж. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
2.2.46. Составить |
|
уравнение плоскости, проходящей через т. |
A(3;0;1) |
и |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
прямую |
x+1 |
|
= |
|
y−1 |
= |
|
z |
|
. Сделать схематический чертеж. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2.2.47. |
|
|
Составить |
|
|
|
|
|
|
|
уравнение |
плоскости, |
проходящей |
через |
прямые |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
= |
|
|
y−1 |
= |
|
z+1 |
, и |
|
|
x−2 |
= |
|
y+2 |
= |
|
z |
|
. Сделать схематический чертеж. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
2.2.48. Составить |
|
уравнение плоскости, проходящей через т. |
A(3;2;−1) |
и |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
прямую |
x |
= |
|
|
y |
|
|
= |
z+4 |
. Сделать схематический чертеж. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2.2.49. |
|
|
Составить |
|
|
|
|
|
|
уравнение |
плоскости, |
проходящей |
через |
прямые: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x+1 |
= |
|
y |
= |
|
|
z−1 |
и |
|
|
|
|
x |
|
|
= |
|
y−2 |
= |
|
z+1 |
. Сделать схематический чертеж. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
2.2.50. Составить уравнение плоскости, проходящей через т. A(−1;1;0) и
прямую x2−1 = 3y = z−+11. Сделать схематический чертеж.
3.3.31–3.3.40. Приведите к каноническому виду уравнения линий второго порядка. Установите тип этих линий и их расположение. Сделайте схематический чертеж.
3.3.31.3x2 + 2xy + 3y2 + 4x + 4y – 4 = 0;
3.3.32.16x2 – 24xy +9y2 + 25x – 50y + 50 = 0;
3.3.33.xy + 3x – 3y – 9 = 0;
3.3.34.3x2 – 4xy + 4 = 0;
3.3.35.x2 + 4xy +4y2 – 9 = 0;
3.3.36.4xy + 9 = 0;
3.3.37.x2 + 6xy + y2 + 6x + 2y – 1 = 0;
3.3.38.8x2 + 4xy + 5y2 + 16x + 4y – 28 = 0;
3.3.39.2x2 + 4x – y – 1 = 0;
3.3.40.y2 – 2x + 4y + 2 = 0.
3.2.1–3.2.10. Дана (4х4)-система линейных уравнений. Доказать ее совместность и решить методом Гаусса (методом исключения неизвестных). Сделать проверку.
|
x1 + 2x2 − 3x3 + 4x4 = −2 |
|
4x1 + 2x2 + 2x3 + x4 = 9 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
− x3 + 2x4 = 0 |
|
|
|
|
− x3 + 7x4 = 24 |
|||||||
|
x1 + 2x2 |
|
|
x1 − 3x2 |
|||||||||||||
|
|
|
− x2 |
+ 2x3 + x4 |
=12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3.2.1. |
|
3x1 |
3.2.2. |
−2x1 − x2 + x3 + x4 |
|
= −2 |
|||||||||||
|
|
3x |
+ x |
+ x |
+ 3x |
4 |
=11 |
|
|
3x |
+ 4x |
+ x |
+ x |
|
= 8 |
||
|
|
1 |
2 |
|
3 |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
3 |
4 |
|
||
|
3x1 + 2x2 + 2x3 − 2x4 = 23 |
|
|
x1 + 2x2 − 3x3 + x4 =1 |
|||||||||||||
|
|
|
3x2 − x3 + 2x4 = −12 |
|
|
|
|
− x3 + 2x4 = 25 |
|||||||||
|
x1 − |
|
5x1 + 2x2 |
||||||||||||||
|
|
|
− x2 |
|
+ x3 + 4x4 |
|
|
|
3x1 − x2 |
+ 2x3 + x4 |
|
=18 |
|||||
3.2.3. |
−2x1 |
|
= −23 |
3.2.4. |
|
|
|||||||||||
|
|
3x + 4x |
|
+ x |
+ 2x |
=10 |
|
|
3x |
+ x |
+ x + 3x |
|
=18 |
||||
|
|
1 |
2 |
3 |
|
4 |
|
|
1 |
2 |
|
3 |
4 |
|
|
||
|
x1 − x2 + 2x3 + 3x4 = 0 |
|
|
2x − x + x − 2x = 2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 2x3 − x4 =13 |
||||||
|
x2 − 2x3 + x4 = 7 |
|
2x1 + 3x2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
+ x3 − x4 |
|
|
|
|
x1 − 3x2 |
+ x3 + 2x4 |
|
|
||||
3.2.5. |
2x1 − 3x2 |
|
= −3 |
3.2.6. |
|
|
= 0 |
||||||||||
|
2x − 2x |
|
− x |
+ 2x |
= 6 |
|
4x − 3x − 2x + 3x =11 |
||||||||||
|
|
1 |
2 |
|
3 |
|
4 |
|
|
1 |
2 |
|
3 |
|
4 |
6
|
2x1 − x2 + x3 − 2x4 = 9 |
|
3x1 + x2 − 2x3 + x4 =11 |
||||||||||||
|
|
|
+ 2x2 |
+ x3 + x4 = −2 |
|
|
|
− 3x2 |
+ x3 + 2x4 |
= 5 |
|||||
|
x1 |
|
|
2x1 |
|||||||||||
|
|
|
+ x2 + 2x3 − 3x4 |
|
|
|
|
|
|
+ x3 + 3x4 |
|
||||
3.2.7. |
x1 |
|
= 5 |
3.2.8. |
x1 − 2x2 |
= 4 |
|||||||||
|
2x |
|
+ 2x |
2 |
+ x − 2x |
4 |
= 3 |
|
3x |
− 5x |
+ 2x + x |
= 5 |
|||
|
|
1 |
|
3 |
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
2x1 + x2 − 2x3 + x4 = −2 |
|
|
3x |
− x |
+ 2x |
+ x |
=19 |
||||||
|
|
|
|
+ x3 + 3x4 = −2 |
|
|
1 |
2 |
|
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 2x |
|
− x |
+ 3x |
|
= 9 |
||||
|
x1 − 2x2 |
|
2x |
2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
4 |
|
|||
3.2.9. |
x |
− x |
− x + x = −5 |
3.2.10. |
|
x − 2x |
+ 2x |
+ x |
=19 |
|||||
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
1 |
2 |
|
3 |
4 |
|
|
|
|
2x |
+ x |
+ 3x |
+ 2x = 9 |
|
4x − 3x + 2x + 2x = 34 |
|||||||
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
1 |
2 |
|
3 |
|
4 |
|
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2
Введение в математический анализ. Производная и ее приложения.
6.2.11–6.2.20. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.2.11. а) |
lim |
|
|
|
|
1+ 2x − 3 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
lim |
|
|
3x2 − 5x |
; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
x → 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x → 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
x − 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin3x |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
lim |
|
3x2 − x3 + 5x |
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
3x + |
1 x + 5 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
в) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
г) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||
x → ∞ |
|
|
2x3 + 6x − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x → ∞ 3x − |
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
6.2.12. а) |
lim |
|
|
|
|
1− x − 3 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
1− cos2x |
|
; |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x → 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
x → −8 2 + 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos7x − cos3x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
lim |
|
(x +1)3 − (x −1) |
2 |
|
|
|
|
lim |
|
|
2x +1 x + 2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
в) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
г) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||
x → ∞ |
|
|
|
|
|
2x3 + x − 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x → ∞ 2x |
7 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
lim |
|
|
|
|
x −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
6.2.13. а) |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
x → 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
||||||||||||||||||
x → 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg(π + 2x) |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x2 −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
lim |
|
|
2 − (x − 2)3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
3x −1 x −1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
в) |
x → ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
г) |
x → ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
3x3 + 6x − 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3x + 2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
6.2.14. а) lim |
|
|
|
|
x +13 − 2 |
|
|
|
x +1 |
; |
б) lim |
|
sin2 |
x |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x → 3 |
|
|
|
|
|
|
|
x2 − 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x → 0 4x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
lim |
15x5 − 6x4 |
+ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
lim |
x − |
1 |
2x + 3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
в) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
г) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
||||||||||||||
x → ∞ |
|
|
4 − 3x3 + 5x5 |
|
|
|
|
|
|
x → ∞ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + 2 |
|
|
|
|
|
7
6.2.15. а)
в)
6.2.16. а)
в)
6.2.17.а)
в)
6.2.18.а)
в)
6.2.19.а)
в)
6.2.20. а)
в)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
3 |
|
|
x − 6 + 2 |
; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x → −2 |
|
|
x3 + |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
lim |
(x + 2)2 |
− x |
3 |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
x → ∞ |
(x −1)2 + x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
4 |
|
x − 2 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x → 16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x − 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
lim |
x2 |
|
|
− 7x + 5 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
x → ∞ |
|
|
|
|
x4 − 5x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
lim |
|
|
|
|
9 + |
2x − 5 |
; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
x → 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
3 x − 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
lim |
2x − x2 − 3x |
3 |
; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
x → ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x3 + 5x2 − 7 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
lim |
3 27 + x − 3 |
|
|
27 − x |
|
; |
||||||||||||||||||||||||||
x → 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
lim |
|
(x − 2)3 − (x +1) |
2 |
; |
||||||||||||||||||||||||||||
x → ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x3 + |
8 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 x −1 |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
||||||||||
x → 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
1+ x − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
2x |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
lim |
(6 − x)2 |
− x |
3 |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
x → ∞ |
|
|
|
|
|
(2 − x)3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
1+ x − |
|
|
1− x |
|
; |
|
|
|
|||||||||||||||||||
x → 0 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1+ x |
1− x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
(3− x) |
3 |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x → ∞ |
(x +1)2 + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) lim |
|
|
|
|
|
|
arcsin |
|
3x |
|
; |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
x → 0 |
|
|
|
|
|
|
2 + x − |
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1+ 5x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
г) |
|
x → 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
1− 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
б) lim |
sin 7x |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
x → 0 |
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||
|
lim |
|
2 + x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
x2 |
|||||||||||||||||||||||||||||
г) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
x → 0 |
2 − |
3x |
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
б) lim |
|
|
|
|
1+ x −1 |
; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
x → 0 |
|
|
|
|
|
|
sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
lim |
|
|
|
x + 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
г) |
|
x → 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
2x + 4 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
б) |
lim |
|
|
|
2xsin x |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
x → 0 1− cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+1 |
|
|
|
3 |
|
|
||||||||||||||
|
|
lim |
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||
г) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
2x |
+1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
x → 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
lim |
|
|
1− sin 2x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
б) |
|
x → π |
|
|
; |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
(π − 4x)2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
2x −1 x + 2 |
|||||||||||||||||||||||||||||
г) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||
x → ∞ |
2x + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
б) lim |
|
|
|
|
2x − |
|
|
x |
; |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
x → 0 |
|
|
|
|
sin 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
lim |
|
3x − |
1 x − 2 |
||||||||||||||||||||||||||||
г) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||
|
x → ∞ |
3x + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.3.1–6.3.10. Задана функция у=f(х) и два значения аргумента x1 и х2. Требуется: 1) установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений аргумента; 2) в случае разрыва функции найти ее пределы в точке разрыва слева и справа; 3) сделать схематический чертеж.
6.3.1. |
f (x) = 91/(2−x) , x = 0, |
x |
2 |
= 2. |
|
1 |
|
|
8
6.3.2.f (x) = 41/(3−x) ,
6.3.3.f (x) =121/ x ,
6.3.4.f (x) = 31/(4−x) ,
6.3.5.f (x) = 81/(5−x) ,
6.3.6.f (x) =101/(7−x) ,
6.3.7.f (x) =141/(6−x) ,
6.3.8.f (x) =151/(8−x) ,
6.3.9.f (x) =111/(4+x) ,
6.3.10.f (x) =131/(5+x) ,
x1 =1, |
x2 = 3. |
|
x1 = 0, |
x2 |
= 2. |
x1 = 2, |
x2 |
= 4. |
x1 = 3, |
x2 = 5. |
|
x1 = 5, |
x2 |
= 7. |
x1 = 4, |
x2 |
= 6. |
x1 = 6, |
x2 |
= 8. |
x1 = −4, |
x2 = −2. |
|
x1 = −5, |
x2 = −3. |
7.1.21–7.1.30. Найти производные dy данных функций.
|
dx |
7.1.21. a) |
y = x2 sin 4x; б) y = t + arctg3t, при t = 1; |
|
x = t3 − 2arcctgt |
в) |
y = (cos4x)sin 3x . |
7.1.22. a) y = x7 ln9x; б)
в) y = (cos7x)sin 9x .
|
|
, |
|
|
y = 10t − arctgt2 |
при t = 2 |
; |
||
|
+ arcctgt |
|
||
x = t6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = t3 + arctg2t, |
|
|
|
|
|
|||||||
7.1.23. a) |
y = x4tg10x ; |
б) |
1 |
|
|
|
при t |
= |
1 |
; |
|
|||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
x = |
|
|
t − arcctg2t |
3 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
в) |
y = (cos x3 )sin11x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = 17t − 257arctgt4 , |
|
|
|
|
|
|||||||
7.1.24. a) |
y = x7e8x ; |
б) |
1 |
|
|
|
при |
t = 2; |
||||||
|
|
x = |
|
|
|
|
|
t6 |
+ 5arcctgt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
в) |
y = (cos14x)tg2x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
y = t3 − arctg6t, |
|
|
|
|
|
|||||||
7.1.25. a) |
y = x8ctg11x ; |
б) |
6 |
|
|
при |
t = |
1 |
; |
|||||
|
|
|
||||||||||||
|
|
x = |
|
|
|
|
t + 2arcctg6t |
7 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
49 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
в) |
y = (sin x3 )sin15x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9
7.1.26. a) |
y = x3 sin 4x ; б) y = t + arctg4t, при t = 1; |
|
x = t2 − 3arcctgt |
в) |
y = (cos3x)sin 4x . |
7.1.27.a)
в)
7.1.28.a)
в)
|
y = 12t −10arctgt, |
|
|
|||||
y = x3 ln17x; |
б) |
1 |
|
8 |
|
|
3 |
|
|
x = |
|
|
t |
|
+ 65arcctgt |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
256 |
|
|
|
|
|
|
y = (cos17x)sin 3x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = t2 + arctg7t, |
|
|
|||||
y = x5tg18x ; |
б) |
3 |
|
|
|
|
при |
|
|
x = |
|
t − |
3arcctg7t |
|
|
||
|
|
|
|
|||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
при t = −2 ;
t= 1 ;
8
y = (cos x2 )sin17x .
7.1.29. a) |
y = x4e18x ; |
б) y = 24,9t − arctgt, |
при t = |
1 |
; |
|
|||||
|
|
x = 20,25t4 + 730arcctgt3 |
3 |
|
|
в) |
y = (cos17x)tg3x . |
|
|
|
7.1.30. a) y = x9ctg20x ; б)
в) y = (sin x4 )sin12x .
y = 20t − 4arcsin3t, |
при t = |
1 |
; |
|
|
|
|
||
|
|
|||
x = 5t3 |
+ ln19t |
|
5 |
|
7.1.41–7.1.50. Найти пределы функции, применяя правило Лопиталя.
7.1.41.lim1− 2sin x .
π1− 3tgxx→
6
1− e2x 7.1.43. lim ( ).
x→0 ln 1− 2x
7.1.45.lim ex − e− x − 2x .
−sin xx→0 x
|
|
|
1 |
|
− |
1 |
|
7.1.47. |
lim |
|
|
|
. |
||
|
|
|
|||||
|
x→0 |
ex −1 |
|
x |
|
7.1.42.lim cos2x .
π1− tgxx→
4
7.1.44.lim1− x2 .
x→1 ln x
7.1.46.lim x3 ln x.
x→0
7.1.48. lim x2 .
x→∞ e2x
10