Математика. Комплексный анализ, часть 2
.pdfГлава 4
Некоторые классы голоморфных функций
4.1Дробно-линейные функции
Определение и примеры
О п р е д е л е н и е 4.1.1. Дробно-линейной функцией называется отображение ' : C ! C вида
'(z) = |
az + b |
; |
(4.1) |
|
cz + d |
||||
|
|
|
где a; b; c; d некоторые фиксированные комплексные числа, причём ad bc 6= 0 .
Последнее условие накладывается для исключения вырождения функ-
a |
b |
|
|
6 |
6 |
ции в постоянную: если ad |
|
bc = 0 , то при c = 0 и d = 0 получаем |
|||
c |
= d |
= k и '(z) k; если же c = 0 или d = 0, то либо знаменатель равен |
0 (при c = d = 0) и отношение (4.1) не определено, либо или только c 6= 0,
или только |
d = 0 |
и отношение (4.1) опять |
равно константе. |
|
|||
6 |
|
d |
|
||||
Функция (4.1) определена для всех z 6= c при c 6= 0 и для всех z 2 C |
|||||||
|
c = 0 |
|
|
доопределить её до функции ' : |
следующим |
||
при |
|
. Естественно d |
a |
C ! C |
|
||
образом. Положим '( c ) = 1 и '(1) = |
c |
при c 6= 0 , в случае же c = 0 |
положим '(1) = 1.
Т е о р е м а 4.1.1. Так определённая функция будет взаимно-однозначно
ивзаимно-непрерывно отображать C на C. П р и м е р 4.1.1. Функция
z
'(z) = 1 z ; '(1) = 1; '(1) = 1
является дробно-линейной. Функция
(w) = |
w |
; (1) = 1; ( 1) = 1 |
1 + w |
3
4ГЛАВА 4. НЕКОТОРЫЕ КЛАССЫ ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ
является обратной к ней.
З а д а ч а 4.1.1. Найти функцию, обратную к
f(z) = 2z + 3:
Р е ш е н и е. z = w2 3 :
З а д а ч а 4.1.2. Во что переводит функция z1 прямую y = 3x?
Р е ш е н и е. Так как все точки луча y = 3x; x > 0 имеют один и тот же аргумент, его образом будет луч y = 3x; x > 0. Аналогично, образом луча y = 3x; x < 0 является луч y = 3x; x < 0. Точка 1 переходит в 0, а 0 переходит в 1.
Свойства дробно-линейных функций
|
|
Пусть имеются два пути 1 : [ 1; 1] ! C и 2 |
: [ 2; 2] ! C , проходящие |
через 1 (то есть 1(t1) = 2(t2) = 1 для некоторых t1 2 ( 1; 1); t2 2 ( 2; 2)), такие, что их сферические образы при стереографической проекции имеют касательные в северном полюсе. Следующее определение оправдано замечанием после задачи 3 п.3.2.2 Части I.
О п р е д е л е н и е |
4.1.2. Угол между1кривыми в точке 1 есть угол |
|||
между их образами при отображении w = z |
в точке 0. |
|
||
Пусть имеется непрерывная функция f |
|
|
= |
|
: C |
! C; f(1) = a; f(b) |
|||
1. Конформность f |
в конечной точке z0 6= 1; z0 6= b означает, что z0 |
не |
является критической точкой f как функции двух действительных переменных и что сохраняются углы между кривыми, проходящими через эту точку, см. определение 3 п.2.6 Части I. Следующие затем теоремы 1 и 2 доказывают равносильность конформности и наличия ненулевой производной: f0(z0) 6= 0. Для ¾исключительных¿ точек 1 и b определение конформности упрощается естественным образом.
О п р е д е л е н и е 4.1.3. Функция f называется конформной в точке 1 (в точке b), если она сохраняет углы между кривыми в точке 1 и их образами в точке a (в точке b и их образами в точке 1).
Т е о р е м а 4.1.2. Дробно-линейная функция (4.1) конформна во всех
точках C.
О п р е д1 |
|
|
1, если |
е л е н и е 4.1.4. Функция f : C ! C голоморфна в |
|||
g(z) = f(z ) голоморфна в 0. |
|
|
Т е о р е м а 4.1.3. Если c 6= 0, то дробно-линейная функция (4.1) голоморфна в точке 1.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть |
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
|
a 1 |
+ b |
a + bz |
|||||
(z) = '( |
|
) = |
|
z |
|
= |
|
; |
|
|
z |
c 1 |
+ d |
c + dz |
|||||
тогда |
|
z |
|
|
|
|
|
||
|
bc ad |
|
|
|
|||||
0(z) = |
; |
|
|
||||||
|
|
|
|
c + dz |
|
|
что означает голоиорфность в 0 и, следовательно, ' в 1.
4.1. ДРОБНО-ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИИ |
5 |
Т е о р е м а 4.1.4. Композиция дробно-линейных функций '2 '1 есть дробно-линейная функция.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Непосредственно проверяем:
|
a1z+b1 |
|
|
|
a2 c1z+d1 |
+ b2 |
|
(a2a1 + b2c1)z + a2b1 + b2d1 |
|
'2('1(z)) = |
|
|
= |
|
c2 a1z+b1 + d2 |
(c2a1 + d2c1)z + c2b1 + d2d1 |
|||
|
c1z+d1 |
|
|
|
Каждой дробно-линейной функции сопоставим матрицу её коэффициен-
тов
a b
cd
Эта матрица невырождена в силу определения дробно-линейной функции. Из доказательства предыдущей теоремы следует, что композиции дробнолинейных функций '2 '1 соответствует произведение их матриц в том же порядке, так как матрица дробно-линейной функции в правой части есть
c2 |
d2 |
c1 |
d1 |
a2 |
b2 |
a1 |
b1 |
Т е о р е м а 4.1.5. Обратная к дробно-линейной функции есть дробнолинейная функция.
|
|
a |
b |
Д о к а з а т е л ь с т в о. В качестве обратного к преобразованию с матрицей c |
d |
||
возьмём преобразование, соответствующее обратной матрице |
|
||
ad bc c |
a |
|
|
1 |
d |
b |
|
За м е ч а н и е 4.1.1. Поскольку коэффициенты дробно-линейной функции определены с точностью до постоянного множителя, то можно опустить числовой множитель перед обратной матрицей.
За м е ч а н и е 4.1.2. Поскольку очевидна ассоциативность композиции дробно-линейных функций, равно как и то, что тождественное отображение является дробно-линейным, можно заключить, что множество всех дробнолинейных функций образует группу с операцией композиция. Подробности см., например, в [10, §3].
Круговое свойство стереографической проекции, см. теорему 1 п.3.2.2 Части I, подсказывает следующее определение.
О п р е д е л е н и е 4.1.5. Окружностью на C называется окружность в обычном смысле слова или прямая.
Следующее свойство дробно-линейных функций называется круговым.
Т е о р е м а |
4.1.6. Дробно-линейная функция преобразует любую окруж- |
|
|
ность на C в окружность на C.
6ГЛАВА 4. НЕКОТОРЫЕ КЛАССЫ ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ
З а д а ч а 4.1.3. Что является образом прямой, параллельной действительной оси и пересекающей мнимую в точке i, при отображении w = z1 ?
Р е ш е н и е. На указанной прямой лежат точки, чьи координаты имеют вид x + i, где x любое действительное число. Координаты точек образа этой прямой имеют вид
1 |
= |
x i |
= |
x |
|
1 |
i = u + iv: |
|
|
|
x2 + 1 |
||||
x + i x2 + 1 x2 + 1 |
|
Зная, что образом этой прямой должна быть окружность, рассмотрим сумму квадратов действительной и мнимой частей:
u2 + v2 |
= |
x2 + 1 |
|
= |
|
1 |
|
|
: |
|
|
|
|||
(x |
2 |
+ 1) |
2 |
x |
2 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
+ 1 |
|
|
|
|
||||||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u2 + v2 + v = 0 или u2 + (v + |
1 |
)2 |
= |
1 |
: |
||||||||||
2 |
4 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Прямая и её образ изображены на рис. 4.1.
З а м е ч а н и е 4.1.3. В точку i окружности перешла точка 1.
Рис. 4.1. Образ прямой Im z = 1 при отображении z1 .
Дальнейшие сведения о дробно-линейных функциях можно почерпнуть из, например, [4, Глава 3], [10, §3].
´ |
7 |
4.2. СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ |
4.2Степенн´ая функция
О п р е д е л е н и е 4.2.1. Функция f(z) = zn; n 2 N, называется степенн´ой.
Если n = 1, то функция является тождественным отображением, так что полагаем n > 1.
Т е о р е м а 4.2.1. Степенная функция конформна в C n f0g. В точке 0 углы не сохраняются ни при каком n > 1.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Производная (zn)0 = nzn 1 6= 0, поэтому первое утверждение теоремы справедливо.
Перепишем степенную функцию в тригонометрическом виде
( (cos ' + i sin '))n = n(cos(n') + i sin(n'))
Отсюда следует, что при возведении в степень n аргумент z увеличивается в n раз, то есть угол с вершиной в 0 не сохраняется.
Степенная функция не является однолистной (см. определение 1, п.2.1, Часть I) при n > 1. Более того, существует ровно n различных чисел, чья n-ая степень равна z = (cos ' + i sin '): модули этих чисел равны
|
|
' |
; |
'+2 |
; : : : ; |
'+2 (n 1) |
|||||
|
|
||||||||||
p , а аргументы n |
|
n |
|
|
n |
. Но она является однолистной, |
|||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
например, в секторе f0 |
< arg z < |
2 |
g, см. заимствованный из [10, §4] |
||||||||
n |
рис.4.2, на котором показано также, как преобразуется координатная сетка при обратном преобразовании она переходит в семейство ортогональных кривых.
Рис. 4.2. Преобразование декартовой сетки
З а д а ч а 4.2.1. Является ли степенная функция f(z) = zn конформной в 1?
Р е ш е н и е. Так как f(1) = 1, то из определения 4.1.3 следует, что
конформность f в точке 1 равносильна сохранению углов в 0 композицией
, где (z) = z1 . Но (z) = zn при n > 1 не сохраняет углы в 0, поэтому степенная функция не является конформной в 1.
8ГЛАВА 4. НЕКОТОРЫЕ КЛАССЫ ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ
4.3Функция Жуковского
О п р е д е л е н и е 4.3.1. Функция (z) = 12 z + z1 называется функцией Жуковского.
Название обязано её роли в аэродинамических расчётах, проведённых Н.Е.Жуковским.
Найдём, прежде всего, области однолистности.
У т в е р ж д е н и е 4.3.1. Областью однолистности в C является любая область, для двух любых точек z1; z2 которой выполняется условие z1z2 6= 1.
Д о к а з а т е л ь с т в о. |
Уравнение w = |
1 |
|
z + 1 |
|
приводится к квадратному и имеет |
|
1 |
|
2 |
z |
1 |
2 |
два корня (считая кратности). Если имеется корень z , то, очевидно, корнем будет и z = z1 . Следовательно, любая область, для двух любых точек z1; z2 которой выполняется условие z1z2 6= 1, является областью однолистности .
С л е д с т в и е. В C такими областями являются, например, открытый (то есть без граничной окружности) единичный круг D = fz : jzj < 1g и внешность замкнутого (то есть с граничной окружностью) единичного
круга |
D0 |
= |
z : z |
j 6 |
1 |
g. |
|
C n f |
j |
|
Д о к а з а т е л ь с т в о. (z) 6= 1 для любого z 2 D; z 6= 0 и (0) = 1, так что в D
6 1 |
для любого z |
2 |
D0 |
6 1 |
и ( |
1 |
) = |
1 |
, так что в D0 |
функция однолистна. (z) = |
|
; z = |
|
|
|||||
функция также однолистна. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т е о р е м а 4.3.1. Функция Жуковского : C ! C конформна в Cnf 1; 1g.
З а м е ч а н и е 4.3.1. Функция удваивает углы в точках 1, см., например, [4, гл.3, §10], [10, §3].
!
Т е о р е м а 4.3.2. Функция Жуковского : C C осуществляет взаимнооднозначное конформное отображение как внешности D0 замкнутого еди-
n
ничного круга, так и открытого единичного D круга на C [ 1; 1].
4.4Показательная функция
О п р е д е л е н и е 4.4.1. Показательной функцией или экспонентой
называется функция |
|
|
z |
|
n |
|
|
e |
|
|
(4.2) |
||||
z |
= n!1 1 + n |
: |
|||||
|
|
lim |
|
|
|
|
|
Прежде всего, выясним, при каких z существует этот предел.
Пусть z = x + iy, тогда модуль выражения под знаком предела можно переписать так:
|
1 + n |
|
n |
|
= 1 + n |
|
n |
= 1 + n |
+ in |
|
n |
= 1 + n + in |
|
|
n |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
z |
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
x |
|
y |
|
|
|
|
|
x |
|
y |
|
2 |
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
2 |
|
|
y |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
2x |
|
x2 + y2 |
|
2 |
|
|
|||||||
|
= |
1 + |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
= 1 |
+ |
|
|
+ |
|
|
|
: |
(4.3) |
|||||||||||||
|
n |
n |
|
n |
n2 |
|
4.4. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ |
9 |
Преобразуем и аргумент этого же выражения, полагая n настолько большим, что Re 1 + nz > 0:
|
n |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
8 |
|
|
|
|
|
n |
|
y |
|
если y > 0 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arctg |
n |
; |
||||||||
|
z |
|
n |
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
n |
||||||||||
arg 1 + |
|
= n |
arg |
1 + |
= |
|
|
|
|
|
1+ nx |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
arctg 1+ x ; |
если y < 0: |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
< |
2 + n |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
||
Из (4.3) следует |
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n!1 1 + n |
|
= ex; |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
а из (4.4) следует |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n!1 |
|
|
|
|
|
|
z |
|
n |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
lim arg |
1 + |
|
|
|
|
|
= y: |
|
|
|
Из (4.5) и (4.6) следует, что предел (4.2) существует:
(4.4)
(4.5)
(4.6)
ex+iy = ex(cos y + i sin y): |
(4.7) |
С л е д с т в и е. Если x = 0; y = , то получаем знаменитую формулу Эйлера:
ei = 1:
Свойства показательной функции
Т е о р е м а 4.4.1. Равенство
ez+w = ez ew
справедливо для всех z; w 2 C.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть z = x + iy; w = u + iv , тогда из (4.7) следует |
|
ez+w = ex+u(cos(y + v) + i sin(y + v)) = |
|
= exeu(cos y cos v sin y sin v + i sin y cos v + i sin v cos y) = |
(4.8) |
=exey(cos y + i sin y)(cos v + i sin v) = ez ew:
Те о р е м а 4.4.2. Показательная функция голоморфна в C.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Из (4.7) следует ez = ex cos y + iex sin y. Действительные функции ex cos y; ex sin y действительных переменных x; y дифференцируемы при всех x; y 2 R . Проверим выполнение условий Коши-Римана (см., например, Часть I, п.2.5, теорема 2 ):
@ex cos y |
= ex cos y; |
@ex sin y |
= ex cos y |
|||||
@x |
|
|
|
@y |
|
|
|
|
@ex cos y |
= e |
x |
sin y; |
@ex sin y |
= e |
x |
sin y: |
|
@y |
|
@x |
|
|
Условия Коши-Римана выполняются всюду в C.
Т е о р е м а 4.4.3. Справедливо соотношение (ez)0 = ez.
10 ГЛАВА 4. НЕКОТОРЫЕ КЛАССЫ ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ
Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как для любой голоморфной функции f справедливо со-
отношение
f0(x + iy) = @ f(x + iy) @x
(см., например, следствие из теоремы 2 п.2.5 Часть I), то
(ez)0 |
@ |
(ex cos y + iex sin y) = ex cos y + iex sin y = ez: |
|
= |
|
||
|
|||
|
|
@x |
С л е д с т в и е. Показательная функция конформна в C.
Д о к а з а т е л ь с т в о. ez 6= 0 для любого z 2 C, поскольку jezj = ex > 0.
Т е о р е м а 4.4.4. Показательная функция периодична с периодом 2 i.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Поскольку ez+2 i |
= ez |
|
8 |
z |
2 C |
, надо доказать, что если |
|||
ez+T = ez 8z 2 C, то T = 2 k; k 2 Z. |
|
z+T |
= e |
z |
|
|
|||
Пусть имеется такое T = T1 + iT2, что e |
|
|
верно для всех z 2 C, в частности, |
||||||
для z = 0. Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 = eT1+iT2 = eT1 (cos T2 + i sin T2): |
|||||||||
Откуда следует, что sin T2 = 0; cos T2 |
= 1; |
T1 |
= 0 . Наименьшее положительное T2, |
||||||
удовлетворяющее этим условиям, есть 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
С л е д с т в и е. Показательная функция однолистна в
D= f2 (n 1) 6 Im z < 2 n; n 2 Zg:
До к а з а т е л ь с т в о. Из доказательства теоремы следует, что для однолистности экспоненты на некотором множестве G достаточно, чтобы для любых z1; z2 2 G было справедливо z1 z2 6= 2 ki; 8k 2 Z. Указанные области D, очевидно, удовлетворяют
такому условию.
З а д а ч а 4.4.1. Доказать, что экспонента взаимно-однозначно отображает D на C n f0g.
Р е ш е н и е. В силу следствия из последней теоремы доказать надо только сюръективность: для всякого w 2 Cnf0g найдётся такое z 2 D, что ez = w. Но если w = (cos ' + i sin '), то в качестве z возьмём ln + i(' + 2 (n 1))
З а д а ч а 4.4.2. Найти jea+ibj:
О т в е т. ea.
4.5Тригонометрические функции
Соотношения |
|
|
|
sin x = |
eix e ix |
; cos x = |
eix + e ix |
2i |
|
||
|
2 |
оправдывают следующее определение, которое голоморфно продолжает эти тригонометрические функции в C.
4.5. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ |
|
|
|
|
11 |
|||||
О п р е д е л е н и е |
4.5.1. |
|
|
|
|
|
|
|
||
sin z = |
eiz e iz |
; cos z = |
eiz + e iz |
; tg z = |
sin z |
; |
ctg z = |
cos z |
: |
|
2i |
2 |
cos z |
sin z |
|||||||
|
|
|
|
|
|
Областью определения sin z; cos z является, очевидно, C. Функции tg z и ctg z определены всюду, кроме тех точек, в которых cos z = 0 и sin z = 0 соответственно.
Свойства тригонометрических функций
Т е о р е м а 4.5.1. Каждая из функций sin z; cos z; tg z; ctg z голоморфна в своей области определения.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Это сразу следует из определения 4.5.1, теоремы 4.4.2 и теоремы 1 п.2.5, Часть I.
З а д а ч а 4.5.1. Проверить соотношения
sin2 z + cos2 z = 1;
sin(z1 + z2) = sin z1 cos z2 + cos z1 sin z2; cos(z1 + z2) = cos z1 cos z2 sin z1 sin z2; sh z = i sin iz; ch z = cos iz;
sin z = i sh iz; cos z = ch iz
для всех z 2 C.
З а д а ч а 4.5.2. Найти действительные и мнимые части sin(a + ib); cos(a + ib):
О т в е т. sin a ch b + i cos a sh b; cos a ch b i sin a sh b. З а д а ч а 4.5.3. Найти
j sin(a + ib)j; j cos(a + ib)j:
О т в е т. sin2 a + sh2 b; cos2 a + ch2 b.
Глава 5
Интегрирование
5.1Определение интеграла и его простейшие свойства
Обозначим через I = [ ; ] отрезок действительной оси, через : I ! Cкусочно-гладкий путь (см. Часть 1, п.1.2, определение 6). Пусть на множестве (I) задана комплексная функция f такая, что композиция f непрерывна на I.
О п р е д е л е н и е 5.1.1. . Интегралом от функции f вдоль пути
называется
Z |
|
|
Z |
|
|
f(z) dz = |
f( (t)) 0(t) dt: |
(5.1) |
Вправой части интеграл от комплекснозначной функции
f( (t)) 0(t) = g(t) + ih(t)
действительного аргумента t, то есть
ZZ
g(t) dt + i h(t) dt:
Обозначив f = f1 +if2; = 1 +i 2, этот интеграл можно переписать в виде суммы криволинейных интегралов 2-го рода:
|
|
|
|
Z |
(f1 _1 f2 _2) dt + i Z (f2 _1 + f1 _2) dt = Z |
f1 dx f2 dy + i Z |
f2 dx + f1 dy: |
Пр и м е р 5.1.1. Возьмём окружность радиуса r с центром в 0
(t) = reit; t 2 [0; 2 )
12