- •Введение
- •1. Понятие оригинала
- •2. Изображение по лапласу
- •3. Изображения простейших элементарных функций
- •4.Свойства преобразования лапласа
- •2С) Теорема подобия
- •3C) Теорема затухания (Теорема смещения)
- •5C) Теорема опережения.
- •10С) Интегрирование изображений.
- •11С) Теорема умножения изображений (теорема Бореля)
- •12С) Умножение оригиналов.
- •5.Примеры нахождения изображений с помощью таблиц 1 и 2
- •6. Импульсные функции и их изображения
- •7.Формула обращения преобразования лапласа
- •1)Тождественные преобразования и применение таблиц 1 и 2.
- •2) Вычисление оригиналов с помощью вычетов.
- •8.Применение преобразования лапласа для решения уравнений и систем
- •8.1 Решение линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
- •8.2 Решение дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами с помощью интеграла Дюамеля.
- •8.3 Решение дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами.
- •8.4 Решение систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
- •8.5 Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом.
- •8.6 Интегральные уравнения типа «свертки».
- •8.7 Линейные интегро-дифференциальные уравнения.
- •9.Решение диференциальных уравнений в частных производных и задач математической физики
- •10. Применение операторных методов для анализа линейных систем
- •11. Дискретное преобразование лапласа. Z – преобразование лорана
- •1) Решетчатые функции.
- •2) Конечные разности решетчатых функций.
- •3) Суммирование решетчатых функций.
- •4) Определение дискретного преобразования Лапласа.
- •5) Формула обращения.
- •1С) Теорема линейности.
- •Библиографический список
- •Оглавление
УДК 51
Операционное исчисление и некоторые его приложения.
Математика-13: Учеб. пособ. / М.А. Евдокимов, Л.Г. Волкова; Самар. гос. техн. ун-т. Самара, 2007. 108 с.
Продолжает серию учебников по высшей математике, издаваемых на кафедре высшей математики и прикладной информатики. Предназначено для студентов, которые изучают раздел математики, посвященный операционному исчислению, и преподавателей, ведущих занятия по данной теме.
ISBN
Ил. 33. Библиогр.: 8 назв.
Печатается по решению редакционно-издательского совета
Самарского государственного технического университета
Рецензент д-р техн. наук Э.Я. Раппопорт
ISBN
Введение
В веке многие математики (в том числе у нас в России, например, М.Е.Ващенко - Захарченко и А.В.Летников) занимались так называемым символическим исчислением. В основе этого исчисления лежало построение математического анализа как системы формальных операций над символом (-независимая переменная).
Например, - ная производная функции представляется как результат действия на символа , левая часть линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами
- как результат действия на символа.
.
Символическое исчисление оказалось довольно удобным для решения различных задач, связанных с линейными дифференциальными уравнениями. Его популяризации в веке в сильной мере способствовал английский инженер-электрик О.Хевисайд, который успешно использовал символическое исчисление в электротехнических расчетах.
Обоснование символичного или, как стали называть, операционного метода было дано лишь в двадцатых годах двадцатого столетия Бромвичем и Карсоном, связавшими этот метод с известным из теории функций комплексного переменного методом интегральных преобразований, которым с успехом пользовались Коши, Лаплас и другие математики. При этом символ (оператор) получил новое толкование, как комплексная переменная , а вместе с ним новую трактовку получил и сам операционный метод.
Операционный метод получил также иное строгое обоснование с помощью общей теории операторов, развитый в функциональном анализе, представленной в работах В.А.Диткина и А.П.Прудникова. В последнее время весьма оригинальную и простую трактовку операционного метода дал польский математик Ян Микусинский.
В данной работе излагаются основные положения операционного метода и особое внимание уделяется применению его для решения различных задач.
1. Понятие оригинала
Функцией-оригиналом называется комплекснозначная функция действительного аргумента , которая удовлетворяет следующим условиям:
должна быть кусочно-непрерывной при (то есть должна быть непрерывной или иметь конечное число точек разрыва рода).
при . (Это означает, что нас не интересует предыстория процесса).
При возрастании модуль может возрастать, но не быстрее некоторой показательной функции: т.е. существуют такие постоянные ,, что для всехвыполняется неравенство:
.
Число называется показателем роста , для ограниченных оригиналов можно, очевидно, принять .
С точки зрения физических приложений условий 1) и 3) не нуждаются в пояснениях – они, очевидно, выполняются для большинства функций , описывающих физические процессы (интерпретируется как время). Условие 2), на первый взгляд, кажется искусственным, однако, следует иметь в виду, что операторный метод приспособлен к задачам, приводящим к решению дифференциальных уравнений с данными начальными условиями. В таких задачах вся информация о ходе процесса до момента начала наблюдения, за которой, конечно, можно принять момент, содержится в начальных условиях. Таким образом, и условие 2) физически, вполне, естественно.
П ростейшей функцией – оригиналом является, так называемая, единичная функция Хевисайда (рис.1.1):
T
Очевидно, умножение нагасит эту функцию для и оставляет без изменения для; если функция удовлетворяет условиям 1) и 3) и не удовлетворяет 2), то произведение
будет удовлетворять условию 2), т.е. будет оригиналом (например, (рис.1.2)).
f(t)=sin(t)
Для простоты записи будем, как правило, опускать множитель , условившись, раз и навсегда, что все функции, которые мы будем рассматривать, равны нулю для отрицательных (например, вместо будем писать 1, вместо- простои т.д.).
Пример: Проверить, являются ли функции ,,оригиналами.
Решение: Функция является оригиналом, так как все условия выполнены:М = 3, ; функцияне является оригиналом, так как в точкеt = 3 имеет разрыв функции второго рода; функция не является оригиналом, так как
для любых M, s и t > 0.