4) Определение дискретного преобразования Лапласа.

Дискретное преобразование Лапласа определяется формулой

(11.12)

где - комплексная переменная,

называется изображением,

- решетчатая функция.

Дискретное преобразование Лапласа также называют D - преобразованием и обозначают , т.е.

.

Наряду с D – преобразованием применяется так называемое Z – преобразование.

Z – преобразование определяется формулой (1) в которую вводится новая переменная

.

(11.13)

Z – преобразование обозначают так:

.

Если известно изображение некоторой решетчатой функции, то соответствующее изображениеможет быть найдено с помощью замены комплексной переменнойq по формуле

, тогда

.

Аналогично можно определить изображение по заданной функции

.

Т.о. принципиальной разницы между D – преобразованием и Z – преобразованием не существует. Все основные свойства Z – преобразования могут быть получены из соответствующих свойств D – преобразования.

В выражении (11.12) справа стоит ряд, который сходится абсолютно в каждой точке полуплоскости , сходится равномерно в каждой полуплоскостии

расходится в полуплоскости (рис.11.2).

Величина называетсяабсциссой абсолютной сходимости D – преобразования (11.12).

Т.о. область сходимости D – преобразования есть полуплоскость, расположенная справа от прямой (рис.11.2).

Если в частности , то ряд (11.12) сходится всюду, если же, тоD – преобразования не существует.

Так же можно сказать, что функция является аналитической в полуплоскости.

По аналогии с непрерывным преобразованием Лапласа, будем называть оригиналом решетчатую функцию , которая равна нулю приn<0 и удовлетворяет при условию

где М>0 и некоторые постоянные величины. Величинаназывается показателем роста решетчатой функции.

Теорема. Для всякого оригинала изображениеопределено в полуплоскостии является в этой полуплоскости аналитической функцией.

Непосредственно из определения D – преобразования по формуле (1) следует, что функция является периодической вдоль мнимой оси плоскостиq с периодом .

Действительно,

где r – любое целое число.

Поэтому достаточно изучить свойства функции в любой полосе шириной. Наиболее удобна для этой цели полоса

. (рис.11.3).

Эту полосу удобно называть основной полосой.

5) Формула обращения.

Преобразование обратное по отношению к дискретному преобразованию Лапласа определяет решетчатую функцию по заданному изображениюи определяется формулой

(11.14)

где С >.

Вычисление оригиналов можно производить и по формуле обращенияZ – преобразования, которая может быть получена из формулы (11.14) путем замены переменной .

(11.15)

Интегрирование производится по окружности С радиуса , где С>в положительном направлении. Функция, стоящая под интегралом- аналитическая вне окружностиС и на самой окружности. Применяя теорему о вычетах получим:

, (11.16)

где - полюс функции, лежащий внутри окружностиС.

Иногда оказывается более удобным определять вычеты, не переходя к Z – преобразованию. Тогда формула (11.16) принимает вид

(11.17)

Пример.

Найти оригинал , соответствующий изображению

.

Решение. Выполним замену переменной

, , где.

Образуем функцию

.

Находим вычет в точке - это двукратный полюс

Таким образом,

.

Свойства дискретного преобразования Лапласа.

Дискретное преобразование Лапласа устанавливает соответствие между решетчатыми функциями – оригиналами и их изображениями. Различным операциям, совершаемыми над решетчатыми функциями, соответствуют при этом определенные операции, совершаемые над их изображениями.