Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный физико-технический университет (МФТИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Pyrkova_--_Metody_reshenia_differentsialnykh_urav

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.03.2016

Размер:

2.03 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1312 13 > Следующая >>>

191.(3-53)

192. (3-54) y&

193. (3-61) x&

194. (3-62)

195. (3-63)

196.(3-64)

= arctg(y +2 − y 2 ),	.
= ln(1− x 2 − y).
= −6 arctg(xy + y +2),

= 12 sh(x 2 − xy −2 y 2 ). .

= − 54 arctg(y 2 −1), .

= e x2 +2 xy+3 y −1.

= 3x −2x 2 + y −1,

= (1− x)ln(1−4x +2x 2 ). .

= esh y −1,

= −3y +4 ln x 2 +1 . . 2

=sh(2xy −4 y −8),

=arcsin(4 y 2 − x 2 ). .

7.5. Ответы:

169. M (1,1):

седло,

неуст.,

−2

= −1 ,

;

−1

= 2 ,

; N(−1, −1):

фокус,

уст.,

− 2

λ2

−1

= −1 ±i

7 , против часовой стрелки.

1,2

λ1 =1 ,

; λ2

= 2 ,

170. M (−1,1): узел, неуст.

−2

; N(1,

−1): фокус,

уст.,

−1

= −1 ±i 7 ,

1,2

−

− 2

по часовой стрелке.

114

171.	M (2, −1): седло, неуст.,	1		1	,	λ	=3 ,	v		1	;	λ		= −1 ,
171.	M (2, −1): седло, неуст.,				,	λ	=3 ,	h	=		;	λ	2	= −1 ,
			4			1		1		2			2
			4	1						2

2 ,

λ1,2

=1 ±i

;

N(−1, 2): фокус, неуст.,

−2

− 2

по часовой стрелке.

172.

M (3,1): уст. узел,

− 4

= −1 ,

= −4 ,

;

−

N(1, −1): фокус, неуст.,

0 −4

3 ±i

, про-

;

1,2

тив часовой стрелки.

173.

M (−1, − 2):

седло,

−1

3 ,

;

λ1 = −1 −

h1 =

−

−1

= −1 +

3 ,

;

N(1, 0):

уст.

фокус,

−1

λ1,2 = −1 ±i , по часовой стрелке.

174. M (1, 0): неуст. фокус,

−1

2 , против ча-

λ1,2

=1 ±i

совой

стрелки;

N(− 2, −3):

седло,

−1

= −1 ,

−4

= ;

λ2 =3 , h2 =

−

175.

M (1, −1):

седло,

λ1 = −1 ,

;

λ2 =3 ,

h1 =

−1

N(4, 2):

уст.

узел,

0 −3

λ1 = −1 ,

;

− 4

h1 =

λ2 = −3 ,

115

3 r

176. M 0,

: неуст. узел,

λ1

;

λ2

= 2 ,

1 2

−2

;

N(3, 0): седло,

0 3

= −1 ,

;

=3 ,

λ1

λ2

1 2

−1

177. M (0,0):

неуст. узел,

= 3 ,

= 6 ,

λ1

λ2

;

−1

;

N(3,−3):

седло,

−2 1

= 6 ,

;

λ1

h1 =

λ2 = −3 , h2

−1

178. M (0,0):

седло,

−1

λ1 = −3 ,

=1 ,

λ2

;

−4

;

N(1,1):

уст.

узел,

1 −2

= −1,

;

−5

λ2 = −3 , h2

= .

179. M (0,0): вырожденный

узел,

−3

2 ,

;

λ =

h =

−1

N(− 2, − 2):

седло,

−3

λ1 = 2 ,

λ2 = −2 ,

h1 =

−1

;

−1

116

											2				1				= 1+	7 ,			r
180. M (−2,1): седло,												−					, λ						h	=		−1 −						7	;
180. M (−2,1): седло,											3	−			6		, λ						h	=		−1 −						7	;
											3				6			1	3				1							12
											−4				0				3											12
		= 1 −			7 ,	r																						4				1
λ	2	= 1 −			7 ,	h	2	=		7 −1			;			N(2,1):			уст. фокус,							−	6				−	6	,
	2			2			2			12																	6					6
				2						12																			4			0
λ			= −1 ±i			5 , против часовой стрелки.
	1,2				3
					3					2		4										4
181. M (1,1):					седло,					2		4					λ1 = 3 ,			r		4			;						= −2 ,
																				h1 =									λ2
											1			,						h1 =									λ2
											1	−1										1
r				1	;			N(−1,−1):									уст.		фокус,						−2						−4		,
h2		=
h2		=																											1
				−1																									1		−1
λ			= −3 ±i			15 , против часовой стрелки.
1,2					2
					2
182. M (0,0):															0		3				r			3
					неуст.				узел,						2			,	λ1 =1 ,		h1 =						; λ2 = 2 ,
												−					3								1
												−			3		3
															3
r		=		3	N	(1,0): седло,							0				3	,	λ =1 ,		r		3			;			λ		= −2 ,
h		=		;	N	(1,0): седло,							2					,	λ =1 ,		h	=				;			λ		= −2 ,
	2																−1		1		1									2
	2																−1		1		1									2
				2								3												1
r				3
h2		=
h2		=		.
				−2
183. M (1,−1):						седло,					1	1					λ1 = 2 ,			r			1		;						= −1 ,
																				h1 =									λ2
													0		,					h1 =									λ2
											2		0										1
r				1															1 1			,							1 ±i 7				,
h2		=																					λ1,2			=
h2		=		; N(−1,1): неуст. фокус,																			λ1,2			=					2
				−2															−2	0											2

по часовой стрелке.

117

184.

M (0,0): неуст. узел,

−2

λ =

2 ,

;

= 4 ,

N (0,1): седло,

2 2

λ1 = 4 ,

;

= −2 ,

λ2

;

h1 =

−2

185.

M (4,2): неуст. узел,

8 ,

;

=12 ,

λ1 =

λ2

−8

N(−2,−1): уст.

фокус,

−2

−8

23 ,

= −5 ±i

;

−8

, λ1,2

против часовой стрелки.

186. M (0,1):

седло,

λ1 = −4 ,

= 4 ,

h1 =

λ2

−

;

−3

N(0,−1): неуст.

фокус,

−2

= 2 ± 2i 3 ,

λ1,2

;

против часовой стрелки.

187.

M (1,1): неуст. фокус,

−2

−3 ±i

против

λ1,2

часовой

стрелки;

N(1, −1):

седло,

= −3 ,

λ1

−2

; λ2 = 2 , h2 =

−2

188.

M (2, 4): неуст. узел,

−1

= 2 −

3 ,

;

2 +

N(1, −1):

−2

−1

λ2

= 2 +

3 , h2 =

;

седло,

−

−1

λ1 = −1−

2 , h1 =

;

λ2 = −1 +

2 , h2

−1+ 2

−1 −

118

189.

M (− 2, 2):

неуст.

фокус,

1±i

, по

λ1, 2

−5

часовой

стрелке;

N(− 2, − 2):

седло,

−4

= 5 ,

λ1

−5

−1

; λ2

= −4 ,

h1 =

190.

M (2, − 2): неуст. фокус,

−4

, λ1, 2

2 , против

= 2 ±i2

часовой стрелки;

N(−1,1):

уст.

узел,

−4

λ1 = −2 ,

−1

λ2

= −3 , h2 =

h1 =

;

191.

M (1, −1): уст. фокус,

−1±i

, по часо-

λ1, 2 =

−

−2

вой стрелке;

N (−1, −1): седло,

λ1 = −3 ,

;

−1

λ2 = 2 , h2 = .

192.

M (1, −1): неуст. фокус,

−12

, λ

= 15 ±i3

23 , про-

1, 2

тив часовой

стрелки;

N(−2, 2):

уст.

узел,

−12

−3

λ1 = −6 , h1

= ; λ2 = −9

, h2 = .

119

													5					r		1
193.		M (3, −1)					-	седло,		0					,	λ1 =10 ,								= −1 ,
										0
												2								4			λ2
											4	2						h1 =		4	;		λ2
											4	9
	r					5																	0			5
								N (−1, −1)

	h2				−		;					-			неуст.		фокус,									2 ,
	h2		=		−	2	;					-			неуст.		фокус,						−4			2 ,
																							−4			1
	λ			= 1 ±i			39 , по часовой стрелке.
		1,2				2
						2				−5				1						1
194. M (2,3):							уст. узел,			−5				1		λ1 = −4 ,			r	1				= −1 ,
																		h1 =					λ2
											−4			0	,			h1 =		,			λ2
											−4			0						1
	r				1											3 1		,			3 ±i 7				, по
	h2																		λ1,2	=
	h2		=		4	; N(0,1) - неуст. фокус,													λ1,2	=			2
					4											−4	0						2
часовой стрелке.									0			1						r	1
195. M (1, 0):							седло,		0			1				λ1 =1 ,		r	1		;			= −4 ,
																		h1					λ2
										4	−		,					h1	=				λ2
										4	−	3							1
	r					1	;	N(−1, 0)				-			уст.		фокус,						0			1	,
	h2
	h2		=		−																	−4
					−	4																−4			−3
	λ			= −3 ±i				7 , по часовой стрелке.
	1,2						2
							2					4			4					1
196.		M (4, 2): неуст. узел,										4			4		= 8 ,		r	1				=12 ,
																							λ2
															16	, λ1			h1 =		,		λ2
											−8				16					1
	r				1			N(−2, −1)				-			уст.		фокус,				−2				−8		,
	h	2	=			;		N(−2, −1)				-			уст.		фокус,										,
		2			2																		4
					2																		4			8

λ1,2 = −5 ±i 23 , против часовой стрелки.

120

§8. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С

ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

8.1. Основные понятия

Линейным дифференциальным уравнением 2-го порядка с

переменными коэффициентами называется уравнение вида
a(x)y′′+b(x)y′+c(x)y = f (x),	(8.1)
где на рассматриваемом промежутке I R1 a(x), b(x),	c(x),
f (x) - известные непрерывные функции и a(x)≠ 0 .
Решения y1 (x), y2 (x) однородного уравнения
a(x)y′′+b(x)y′+c(x)y = 0 ,	(8.2)

называются линейно зависимыми, если существуют постоянные α и β , α 2 + β 2 ≠ 0 , такие, что α y1 (x)+ β y2 (x)≡ 0 на

I .

Решения y1 (x) и y2 (x) - линейно независимы тогда и только тогда когда определитель Вронского

W (x)=	y1	y2	(8.3)
	y1′	y2′

не обращается в нуль на I .

Общее решение однородного уравнения (8.2) представимо

в виде
yo (x)=C1 y1 (x)+ C2 y2 (x),		(8.4)
где y1 (x),	y2 (x) - линейно независимые решения (8.2).
Если y1	и y2 - два (любые) решения однородного уравне-

ния (8.2), то для определителя Вронского (8.3) справедлива формула Остроградского-Лиувилля уравнения второго порядка

	x
W (x)=W (x0 )exp	− ∫p(t)dt , x0 I , x I ,		(8.5)
	x0
		120

где p(t)= ba((tt)).

8.2. Схема отыскания частного решения однородного уравнения

Универсального алгоритма для отыскания частного решения однородного линейного уравнения второго порядка (8.2) в квадратурах не существует.

Если коэффициенты уравнения многочлены, то можно попытаться найти частное решение путем подбора:

а) В виде eαx . Подставляя y = eαx в уравнение (8.2) , приравниваем нулю коэффициенты при соответствующих степенях x. Получаем значение α.

б) В виде xα или многочлена. Подставляя y = xα в уравнение (8.2), приравниваем нулю коэффициенты при самой старшей степени x, получая значение α. затем проверяем, является ли y = xα решением (8.2).

Если α = n - натуральное число, но при этом y = xα не

является решением (8.2), то можно попытаться найти частное решение методом неопределенных коэффициентов в виде

многочлена	y = x n + d1 x n−1 +... + d n .	Коэффициенты
d1 , ..., d n определяются подстановкой в (8.2).

8.3. Общее решение однородного уравнения

Пусть решение				y1 уравнения (8.2) найдено. Из формулы
Остроградского-Лиувилля						(8.5)	получаем
′	′	= Ce	−∫p(x )dx		, т.е.	получаем линейное	уравнение
y1 y2	− y2 y1

первого порядка относительно y2 . Проще всего оно решается следующим способом. Разделив обе части уравнения на y12 , получим слева производную от дроби y2 y1 :

121

′

y y′ − y

y′

−

∫

p(x)dx

2 1

Поскольку y1 известно, то

−∫p(x)dx

dx + C2

∫

y 2

откуда получаем общее решение уравнения (8.2).

= y

∫

e−∫p(x)dx dx + C

y .

(8.6)

y 2

Замечание. Если известно частное решение y1

линейного

однородного уравнения (8.2), то порядок уравнения можно понизить, сохранив его линейность, если подставить y = y1 z

вуравнение (8.2), а затем произвести замену z′ =u .

8.4.Общее решение неоднородного уравнения (метод вариации постоянных)

Если известно общее решение однородного уравнения (8.2), то общее решение неоднородного уравнения (8.1) с непрерывной на I правой частью можно найти, применяя метод вариации произвольных постоянных, заключающийся в следующем.

Для отыскания общего решения неоднородного уравнения (8.1) поступают следующим образом:

1) предполагают, что в общем решении однородного
уравнения (8.4) коэффициенты		C1 = C1	(x)	и	C2 =C2 (x) -
дифференцируемые функции;
2) общее решение ищут в виде
y(x)= C1 (x)y1 (x)+C2 (x)y2 (x);					(8.7)
3) функции C1′(x) и C2	′(x)	определяют из системы ал-
гебраических уравнений
	122

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1312 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
03.06.2015137.73 Кб11Plotnikov 7.doc
#
03.06.2015206.85 Кб23Plotnikov 8.doc
#
03.06.2015287.79 Кб12program.pdf
#
03.06.2015300.67 Кб46Project management.docx
#
03.06.2015456.57 Кб36PS3_10_13.pdf
#
27.03.20162.03 Mб32Pyrkova_--_Metody_reshenia_differentsialnykh_urav.pdf
#
03.06.2015148.06 Кб11qm-tolstikhin1-2012.pdf
#
03.06.201510.32 Mб8questionsExamRNP-2013-2014.pdf
#
03.06.2015199.08 Кб38Random processes and SDE.pdf
#
03.06.201512.85 Mб15Razumov_1.doc
#
03.06.2015401.92 Кб30Razumov_3.doc