Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный физико-технический университет (МФТИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

9_физ_2(кинематика)

.pdf

Скачиваний:

233

Добавлен:

27.03.2016

Размер:

930.14 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

2015-2016 уч. год, №2, 9 кл. Физика. Кинематика

скорости v к малому промежутку времени t , за которое произошло это изменение, при условии t 0

a = lim	v .	(18)
t 0	t

Этот предел называется производной скорости по времени. Проекция ускорения на координатную ось является первой производной проекции скорости на эту ось или второй производной координаты по времени. Например:

ax	= lim	vx	=	d vx			(1)

		t		dt	= vx = x .
	t 0
Направление вектора а	ускорения			совпадает		с	направлением

вектора v изменения скорости при очень малых значениях изменения времени t 0 .

7.3.Ускорение при криволинейном движении

Вслучае криволинейного движения вектор ускорения à тела может

быть направлен по отношению к		вектору v
скорости	под любым углом	в пределах
скорости	под любым углом	в пределах	an
0 < < .	В этом случае его можно пред-		an
0 < < .	В этом случае его можно пред-
ставить в	виде суммы двух составляющих:
ставить в	виде суммы двух составляющих:			a
тангенциальной и нормальной. Тангенциаль-				a
тангенциальной и нормальной. Тангенциаль-
ное ускорение a направлено по касательной к
ное ускорение a направлено по касательной к			a
траектории, нормальное ускорение		an по нор-		Рис. 8

мали к касательной (см. рис. 8).
Комментарий к рис. 8. Направления			векторов	нормального

тангенциального a	ускорений (на		рисунке	изображён
тормозящего тела, т. к. a v ).
Из рисунка следует, что модуль а		полного ускорения равен:

		a2	a2
	\| a \|=	a2	a2
		n

an и

случай

(20)

Стоит отметить, что тангенциальное ускорение отвечает за быстроту изменения модуля вектора скорости, а нормальное характеризует именно быстроту изменения направления вектора скорости подробно этот случай можно посмотреть в задаче № 4 .

8. Равноускоренное движение тела по прямой

Как и в случае равномерного движения отдельно выделяют случай равноускоренного движения. Согласно определению равноускоренным называется движение с постоянным по модулю и направлению уско-

рением a = const.

2015, ЗФТШ МФТИ, Чивилёв Виктор Иванович Паркевич Егор Вадимович

2015-2016 уч. год, №2, 9 кл. Физика. Кинематика

При равноускоренном прямолинейном движении ускорение движущегося тела равно отношению изменения вектора скорости v к интервалу времени t, причем интервал времени может быть любым, а

не только очень малым:
a =	v .	(21)
	t

Если в начальный момент времени t = 0 скорость тела равна v0 , а в

момент времени t равна v, то
v = v v0 , t = t,		v = v0 at.		(22)
Можно показать, что перемещение:
L = v t	at2		.	(23)

0		2

Направим ось Ох вдоль направления движения.				Обозначим через,

vx , v0 x , ax , Lx проекции на ось Ох соответствующих векторов. Причем Lx = x x0 , где x и x0 конечная и начальная координаты тела. Запишем два последних векторных равенства в проекциях на ось Ох :

= v

= x x

= v

axt2

(24)

0 x

Исключив время t , получим:

= 2a L .

(25)

0 x

x x

Последние три равенства есть кинематические уравнения движения при равноускоренном прямолинейном движении тела. При равноускоренном прямолинейном движении векторы v и à могут быть сонаправлены или направлены противоположно. При сонаправленных векторах кинематические уравнения движения принимают вид:

v = v at,	L = x x	= v t		at2	,	v2 v2	= 2aL.	(26)

0	0		0	2		0

Здесь v, v0 , a, L модули скорости,			начальной скорости, ускорения

и перемещения. При этом модуль перемещения совпадает с путем. Поэтому эти четыре величины часто называют как скорость, начальная скорость, ускорение и путь. При прямолинейном движении и

сонаправленных векторах v0 и a движение называют часто прямолинейным равноускоренным, а при противоположно направленных векторах v0 и a прямолинейным равнозамедленным. График зависимости модуля скорости от времени t при равноускоренном прямолинейном движении тела с нулевой начальной скоростью v0 = 0

2015, ЗФТШ МФТИ, Чивилёв Виктор Иванович Паркевич Егор Вадимович

2015-2016 уч. год, №2, 9 кл. Физика. Кинематика
представлен на рис.9а, а с ненулевой v0 0 на рис. 9б.
		v
v		v0+a
		v0
O	t	O	t
	Рис. 9а	Рис. 9б
Комментарий к рис. 9. а) График зависимости модуля скорости от времени

tпри равноускоренном прямолинейном движении v0 = 0; б) при v0 0.

Вкачестве примера рассмотрим движение тела в поле тяжести Земли. Известно, что такое движение можно считать примерно равноускоренным, если тело падает на Землю с небольшой высоты, а сопротивление воздуха пренебрежимо мало. В таком приближении можно говорить, что тело падает в пустоте, а соответствующее движение отнести к случаю свободного падения (на

тело не действуют силы). Все тела при свободном

падении движутся

с одинаковым

ускорением g,

называемым ускорением свободного падения. В

различных местах

около поверхности земного шара

ускорение свободного падения примерно одинаково и

равно g 9,8 м/с 2 .

Земля

Пример №5. Итак, пусть тело в начальный момент

времени находится на высоте H в точке A и имеет

скорость v0 , направленную к поверхности Земли.

Найти время, за которое тело достигнет поверхности

Рис. 10

(рис. 10).

Решение. Из выражения (26) следует, что путь,

пройденный телом при свободном падении равен:

L = v t

at t = v t

gt2

(27)

Данное уравнение представляет собой квадратный трёхчлен с дискриминантом D = v02 2Lg. Соответствующие корни данного урав-

2015, ЗФТШ МФТИ, Чивилёв Виктор Иванович Паркевич Егор Вадимович

2015-2016 уч. год, №2, 9 кл. Физика. Кинематика

нения имеют вид:

2Lg

t1,2 =

(28)

Ясно, что t > 0 , поэтому один корень лишний. Таким образом, тело

достигнет поверхности Земли через время:

2Lg v

(29)

0 .

Ответ:

v2 2Lg v

0 .

8.1. Движение тела, брошенного под углом к горизонту

Рассмотрим этот частный случай движения на следующем примере.

Пример №6. Камень брошен с высоты

y v0

над поверхностью Земли с начальной скорос-

тью v0 под углом к горизонту (см. рис. 11).

Определите зависимость координат тела от

времени, время движения и дальность полета

камня, максимальную высоту его подъема над

поверхностью Земли. Напишите уравнение

траектории. Сопротивлением воздуха прене-

бречь.

Рис. 11

Решение: В качестве тела отсчёта выберем

Землю. Начало системы координат поместим в

точку О , находящуюся на Земле. Ось OY

направим

вертикально

вверх, а ось ОХ расположим так, чтобы вектор скорости v0 ,

лежал в

плоскости XOY (см. рис.

11). В этом случае движение будет проис-

ходить в указанной плоскости и для определения положения тела

достаточно знать только две координаты х и у.

Как мы уже гово-рили

ранее, у поверхности Земли все тела движутся с постоянным

ускорением

направленным вертикально вниз. Поэтому проекции

ускорения камня во время всего его движения равны: ах

= 0 ;

ay = g.

За начало отсчёта времени выберем момент бросания камня. Запишем

начальные

условия:

х0 = 0,

y0 = h,

v0 x

= v0 cos ,

v0 y = v0 sin .

Проекции скорости на оси координат и координаты камня в любой

момент времени определяются из уравнений равноускоренного

движения:

2015, ЗФТШ МФТИ, Чивилёв Виктор Иванович

Паркевич Егор Вадимович

2015-2016 уч. год, №2, 9 кл. Физика. Кинематика

vx = v0 cos						(30)
vy = v0 sin gt						(31)
x = v0t cos						(32)
y = h v t sin		gt2		.		(33)

0	2

Найдём связь времени t с координатой x из (32)						x
					(t =		) и,
						v cos
						0
подставив полученное выражение в уравнение (33), получим:
y = h xtg	gx2
			.			(34)
	2v02 cos2

Это выражение является уравнением параболы. При заданном значении

угла это парабола типа	y = ax2 bx c.	Время			подъёма		камня
определим, приравняв нулю проекцию скорости vy			в уравнении (31):
0 = v0 sin gtпод ,	откуда получим	tпод	=	v0 sin		.	(35)
					g

Подставляя полученное значение времени подъёма камня в уравнение (33), найдём максимальную высоту подъёма камня:

H = y

= h v

sin

v0 sin

(

v0 sin

)2 =

max

v02 sin2

(36)

= h

Время движения tдв определим, приравняв нулю координату y									в урав-
нении (33):
						gt2
0 = h v t			sin			дв	.		(37)
0 = h v t		дв	sin				.		(37)
	0	дв			2
					2
Решив полученное уравнение относительно tдв , получим:

tдв =	v0 sin			v02 sin	2 2gh			.	(38)
tдв =				g				.	(38)
				g

Второй корень уравнения не имеет смысла. Дальность полёта камня l определим из уравнения (32) при подстановке t = tдв :

2015, ЗФТШ МФТИ, Чивилёв Виктор Иванович Паркевич Егор Вадимович

2015-2016 уч. год, №2, 9 кл. Физика. Кинематика

l = xmax	= v0tдв cos =	v02 sin cos v0 cos	v02 sin2 2gh	.	(39)
		g

Из полученного выражения также следует, что дальность полёта будет максимальна, если тело было брошено под углом в 45 .

Ответ: смотри решение.

9. Равномерное движение тела по окружности 9.1. Период и частота обращения

Соответствующий интервал времени, за который тело совершает один оборот по окружности, называется периодом обращения и

обозначается буквой Т . При равномерном движении по окружности
радиусом R со скоростью v период обращения Т			можно определить,
разделив длину окружности на скорость v, т. е.
T =	2 R	.	(40)

Число оборотов в единицу времени n называется частотой обращения. Ясно, что

n = T1 .

Угловая скорость вращения

Движение материальной точки по окружности можно характеризовать угловой скоростью вращения. Согласно определению

угловой скоростью движения точки по окружности радиусом R

называется отношение угла поворота радиуса-вектора, соединяющего материальную точку с центром окружности, к малому интервалу времени t , за который произошел этот поворот

	=		.	(41)

		t
Это определение для мгновенной угловой скорости. Угол поворота
	измеряется в радианах, поэтому единица угловой скорости в СИ –

радиан в секунду; 1 рад 57.29 .	vA
A	vA	vA
A	B	vA

B	R	a	v
R		a	vB
	O		vB
	O
O

Рис. 12а

Рис. 12б

2015, ЗФТШ МФТИ, Чивилёв Виктор Иванович Паркевич Егор Вадимович

2015-2016 уч. год, №2, 9 кл. Физика. Кинематика

Комментарий к рис. 12а и 12б: а) угловая скорость вращения;

б) изменения вектора скорости v в течение малого интервала времени t .

9.3. Связь линейной и угловой скоростей. Связь угловой скрости и частоты обращения

Найдём связь между линейной v и угловой скоростями вращения. Вернёмся к рис. 12а. Из планиметрии известно, что длину

дуги AB окружности можно выразить через радиус			R окружности и
центральный угол . Как известно, эта связь имеет вид:
AB = R .			(42)
С другой стороны этот угол равен отношению длины дуги AB к
радиусу окружности, а соответствующая длина дуги			AB равна v t.
Выражая отсюда скорость v, получим:
v = R		= R .	(43)

	t
Итак,
v = R			(44)

Можно показать, что

= 2 n

9.4.Угловое ускорение*

Вслучае неравномерного движения вводят ещё одну величину, характеризующую быстроту изменения угловой скорости движения материальной точки по окружности – угловое ускорение, равное:


= t	=	=			(45)

Угловое ускорение измеряется в рад/с 2 .				Из (45) следует ещё одно
полезное соотношение в случае постоянного углового ускорения:
(t) =	t2	t	.		(46)
	=
	2	2

Рассмотрим следующий пример.

Пример №7. Диск, вращаясь равноускоренно, через 20 оборотов достигает угловой скорости 40 рад/с после начала вращения. Найти угловое ускорение колеса.

Решение: Выразим угол поворота колеса:

2015, ЗФТШ МФТИ, Чивилёв Виктор Иванович Паркевич Егор Вадимович

2015-2016 уч. год, №2, 9 кл. Физика. Кинематика

С другой стороны:

Из последнего уравнения уравнение:

Ответ: =	2
		= 6,3 м

	4 N

(t) = 2 N =	t2	=	t	.	(47)
(t) = 2 N =	2	=	2	.	(47)
	2		2
=					(48)
	t

выражаем время и подставляем в первое

=	2		(49)
		= 6,3 м / с.

	4 N

/ с.

9.5.Центростремительное ускорение

Вприроде и технике часто наблюдается движение тел по окружности с постоянной по модулю скоростью. Примерно так движутся Луна вокруг Земли и Земля вокруг Солнца. При равномерном

движении материальной точки по окружности вектор скорости v изменяется по направлению, но остается постоянным по модулю. Поскольку направление вектора скорости изменяется со временем, равномерное движение по окружности является ускоренным движением.

Если модуль вектора скорости v при движении по окружности не изменяется со временем, то тангенциальное ускорение равно нулю, в любой момент времени вектор ускорения перпендикулярен вектору

скорости и является нормальным ускорением à = àí . Так как вектор

ускорения при равномерном движении по окружности в любой момент времени t направлен к центру окружности, его называют центростремительным ускорением (см. рис. 12б).

Далее, пусть тело движется равномерно со скоростью v по окружности радиусом R (рис. 12б), найдём выражение для модуля центростремительного ускорения aн , а также период обращения тела

T , т. е время, за которое тело совершит один оборот по окружности. Для этого сначала найдем отношение модуля изменения вектора

скорости к малому интервалу времени t , за который произошло это

изменение. Так как интервал времени t	очень мал, то угол	между

векторами скорости v и a в точках А и В окружности тоже очень мал.
Поэтому можем записать:
\| v \|= v .		(50)

Далее, заметим, что угол между векторами скорости в точках А

2015, ЗФТШ МФТИ, Чивилёв Виктор Иванович Паркевич Егор Вадимович

2015-2016 уч. год, №2, 9 кл. Физика. Кинематика

и В равен углу между радиусами, соединяющими данные точки с центром окружности. С другой стороны этот угол равен отношению

длины дуги

АВ к радиусу окружности, а соответствующая длина дуги

АВ равна v t.

Следовательно,

v t

(51)

Согласно определению модуль ускорения равен:

| v |

v t

a =| a |=

Итак,

2 R.

(52)

Стоит однако отметить, что модуль вектора центростремительного

ускорения

при равномерном

движении

тела по окружности не

изменяется, но его направление непрерывно изменяется. Поэтому равномерное движение по окружности не является движением с постоянным ускорением, т. е. не является равноускоренным движением!

10. Преобразования Галилея
Найдём связь между координатами,			Y	Y1
проекциями скоростей и ускорений в двух			Y	Y1	u
проекциями скоростей и ускорений в двух					u
системах отсчёта K		движущихся

	и K ,
поступательно относительно друг друга с
поступательно относительно друг друга с						r
постоянной скоростью u. Для простоты
будем считать, что координатные оси X и							r1	y=y1

X1 обеих систем совпадают, а оси Y ,Y1, и						O		O1	X1	X
Z, Z1 параллельны друг другу.				Пусть	в	O	ut	x1	z=z1
начальный	момент		времени	начала			x
координат обеих систем совпадают. Если в						Z		Z1
момент времени t движущаяся точка						Z		Z1
момент времени t движущаяся точка
находилась в положении A (см. рис. 13), то								Рис. 13
её положения в системах отсчёта				K и	K			Рис. 13
её положения в системах отсчёта				K и	K
					1
можно задать радиусами-векторами r = OA						и r1	= O1 A .

Тогда r = OO1		r1	. За время t	начало координат системы отсчёта

K1 переместилось на OO1 = ut. Поэтому предыдущее равенство примет
вид:
	r = r1	ut	(53)
Запишем это соотношение в проекциях на координатные оси. Для
проекций на ось X , получим:	x = x1 uxt
	x = x1 uxt		(54)

2015, ЗФТШ МФТИ, Чивилёв Виктор Иванович Паркевич Егор Вадимович

r1t

2015-2016 уч. год, №2, 9 кл. Физика. Кинематика

Коментарий к рис. 13. системы отсчёта K и K , движущиеся поступательно относительно друг друга с постоянной скоростью u.

Координаты y, z и y1, z1 одинаковы в обеих системах отсчёта K1 . Поэтому преобразования координат при переходе от системы отсчёта

K1	к системе отсчёта K будут иметь вид:
	x = x1 uxt,	y = y1,	z = z1	(55)
Считается, что время течёт одинаково в системах отсчёта				K и K1 ,
так	что t = t1 . Преобразования (55)	носят	название преобразований
Галилея.

11. Закон сложения скоростей

Найдём теперь преобразования скоростей при переходе от одной

системы отсчёта к другой (см. рис. 13). При движении точки							A	её
радиус-вектор r			в системе отсчёта	K	за малый интервал времени			t
			и станет равным
изменится на r			и станет равным	r	r . За то же время в системе
отсчёта K	1	вектор r изменится		на	r и станет равным	r	r .
	1		1		1	1		1

Согласно (57) эти новые векторы должны быть связаны соотношением:

	r	r = r1	r1	u(t	t)				(56)

Учитывая, что r = r		ut , получим:
	1
		r = r1 u t							(57)
									t.
Эта формула связывает перемещения r						и		r1 за время	t.
Разделим правую и левую часть части этого равенства на t и будем
считать, что интервал	t сколь угодно мал ( t						0 ). Тогда вместо

(57) получим уравнение:

			= lim
		lim	= lim	u
		t 0	t 0
	r
Поскольку	lim t 0 t = v есть		мгновенная
системе	отсчёта	K ,	а
lim t 0 r1 = v1	мгновенная	скорость
t				v2
этой же точки относительно системы
отсчёта K1 , то, таким образом, мы при-
ходим к следующему закону сложения
скоростей:
v = v1 u.			(59)	а)
Рассмотрим следующий пример.				а)
Рассмотрим следующий пример.

Пример №7. Два корабля, движутся

(58)

скорость точки в

			v2		v1
					v1
v1			B
v1				v’


						D
	-	v2				D
	E
Рис. 14				б)

2015, ЗФТШ МФТИ, Чивилёв Виктор Иванович Паркевич Егор Вадимович

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
27.03.201645.03 Кб508В ЛР razmer_molekuly.docx
#
03.06.2015102.22 Кб459 класс.rtf
#
03.06.201565.57 Кб669.pdf
#
27.03.2016962.89 Кб3019_физ_1(векторы).pdf
#
27.03.2016404.76 Кб7939_физ_1(векторы)_реш.pdf
#
27.03.2016930.14 Кб2339_физ_2(кинематика).pdf
#
27.03.2016421.62 Кб4259_физ_2(кинематика)_реш.pdf
#
27.03.2016810.81 Кб2429_физ_3(динамика).pdf
#
03.06.20151 Mб16A global model for SF6 plasmas.PDF
#
03.06.201520.98 Кб56A song on the brain 1.docx
#
03.06.201568.61 Кб14Active vocabulary Unit 8.doc