Дополнительная:

1. Агибалов Г.П. Избранные теоремы начального курса криптографии: Учебное пособие. – Томск: Изд-во НТЛ, 2005. – 116 с.

2. Диффи У., Хеллман М.Э. Защищенность и имитостойкость. Введение в криптографию. - ТИИЭР, т.67, №3, 1979.

3. Акритас А. Основы компьютерной алгебры с приложениями. — М.: МИР, 1994.

1. Брассар Ж. Современная криптология. — М.: ПОЛИМЕД, 1999.

4. Мэсси Дж.Л. Современная криптология: введение. - ТИИЭР, Т.76, №5, 1988.

5. Нечаев В.И. Элементы криптографии. Основы теории защиты информации. — М.: Высшая школа, 1999.

6. Проскурин Г.В. Принципы и методы зашиты информации. — М.: МИЭМ, 1997

7. A. Menezes, P. van Oorschort, S. Vanstone, Handbook of Applied Cryptography – CRC Press, Inc., 1997

Программа составлена

д.ф.-м.н., профессором

А.В.Рожковым и

ст. преподавателем

О.В. Ниссенбаум

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Агибалов Г.П. Избранные теоремы начального курса криптографии: Учебное пособие. – Томск: Изд-во НТЛ, 2005. – 116 с.

2. Алферов А.П., Зубов А.Ю., Кузьмин А.С., Черемушкин А.В. Основы криптографии: Учебное пособие. – М.: Гелиос АРВ, 2002. – 480 с.

3. Александров П. С. Введение в теорию групп. - 2-е изд., стер. - М.: Едиториал УРСС, 2004. - 128 с.

4. Введение в криптографию/Под общей ред. В.В. Ященко. – М.: МЦНМО, 1998. – 272 с.

5. Виноградов И. М. Основы теории чисел. – М.: Наука, 1972. – 402 с.

6. Дегтев А.Н. Алгебра и логика: Учебное пособие для студентов вузов, обучающихся по специальности "Математика". - Тюмень: Изд-во ТюмГУ, 2000. - 88 с.

7. Молдовян Н.А., Молдовян А.А. Введение в криптосистемы с открытым ключом. – СПб.: БХВ-Петербург, 2005. 288 с.: ил.

8. Молдовян А.А., Молдовян Н.А., Советов Б.Я. Криптография. – СПб.: Изд-во «Лань», 2001. – 224с.

9. Рябко Б.Я., Фионов А.Н. Криптографические методы защиты информации: учебное пособие для вузов. – М.: Горячая линия–Телеком, 2005. – 229 с.: ил.

10. Черемушкин А.В. Вычисления в алгебре и теории чисел. Курс лекций. — М.: 2002.

11. Шнайер Б. Прикладная криптография: Протоколы, алгоритмы, исходные тексты на языке Cи. – М.: Издательство ТРИУМФ, 2003 – 816 с., ил.

12. Diffie W., Hellman M.E. New directions in cryptography // IEEE Transactions on Information Theory. – 1976. – V. 22. – P.644-654.

13. Goldwasser S., Bellare M. Lecture notes on cryptography. – Cambridge, Massachusetts, 2001. – 283 p.

14. Grundbegriffe der Kryptographie/ Vorlesungsscript von Eike Best - Oldenburg, 2005.

15. Menezes A., van Oorschot P., Vanstone S. Handbook of Applied Cryptography. – CRC Press, 1996. – 661 p.

Оглавление

Аннотация. 2

ПРЕДИСЛОВИЕ 3

ВВЕДЕНИЕ 5

ГЛАВА 1. Основы теории чисел. 8

§1. Теория делимости. 8

1.1. Основные понятия и теоремы. 9

1.2. Наибольший общий делитель. 11

1.3 НОК (наименьшее общее кратное) 17

1.4. Простые числа 17

1.5. Единственность разложения на простые сомножители. 20

1.6. Асимптотический закон распределения простых чисел. 23

§2. Функция Эйлера. 26

2.1. Мультипликативные функции. 26

2.2. Функция Эйлера. 27

§3. Теория сравнений 29

3.1. Свойства сравнений: 29

3.2. Полная система вычетов. 30

3.3. Приведенная система вычетов 32

3.4. Обратный элемент. 32

3.5. Алгебраические структуры на целых числах. 34

3.6. Теоремы Эйлера и Ферма. Тест Ферма на простоту. 37

3.7. Применение теоремы Эйлера в RSA: 39

§4. Сравнения с одним неизвестным 43

4.1. Сравнения первой степени. 43

4.2. Система сравнений первой степени. Китайская теорема об остатках. 45

4.3. Применения китайской теоремы об остатках. 47

4.4. Сравнения любой степени по простому модулю. 50

4.5. Сравнения любой степени по составному модулю. 51

§5. Теория квадратичных вычетов 55

5.1. Квадратичные вычеты по простому модулю. 55

5.2. Символ Лежандра. Символ Якоби. 56

5.3. Тест на простоту Соловея-Штрассена. 61

5.4. Решение квадратичных сравнений по простому модулю. 62

5.5. Квадратичные сравнения по составному модулю. 66

5.6. Тест на простоту Миллера-Рабина. 70

5.7. Связь задач извлечения квадратных корней и факторизации по модулю RSA. Криптосистема Рабина. 72

5.8. Квадраты и псевдоквадраты. 74

5.9. Числа Блюма. 75

§6. Первообразные корни и индексы. Порождающий элемент и дискретный логарифм. 79

6.1. Основные понятия и теоремы. 79

6.2. Существование первообразных корней по модулю p. 81

6.3. Первообразные корни по модулям pα, 2pα. 82

6.4. Нахождение первообразных корней по простому модулю. 85

6.5. Существование и количество первообразных корней. 86

6.6. Дискретные логарифмы. 87

6.7. Проблема Диффи-Хеллмана. 88

6.8. Условная стойкость шифра Эль Гамаля. 88

§7. Построение доказуемо простых чисел общего и специального вида. 90

7.1. Теорема Сэлфриджа и доказуемо простые числа общего вида на основании полного разложения (n—1). 90

7.2. Теорема Поклингтона и доказуемо простые числа общего вида на основании частичного разложения (n—1). 92

7.3. Числа Ферма. Теорема Пепина. 93

7.4. Числа Мерсенна. 94

7.5. Теорема Диемитко и процедура генерации простых чисел заданной длины ГОСТ Р 34.10-94. 96

ГЛАВА 2. Алгебраические основы теории чисел. 99

§1. Основные понятия алгебры. 100

1.2. Делимость в кольцах. 107

1.3. Деление с остатком. 110

1.4. Основная теорема арифметики. 114

§2. Конечные поля и неприводимые многочлены. 119

§3. Кольца многочленов. 129

3.1. Кольца многочленов. 129

3.2. Кольцо многочленов Zp[x]. 130

3.3. Конечные поля многочленов. 131

ГЛАВА 3. Алгоритмы в криптографии и криптоанализе. 134

§1. Элементы теории сложности. 134

§2. Алгоритмы факторизации. 139

2.1. Метод пробных делений. 140

2.2. Метод Ферма. 141

2.3. Метод квадратичного решета. 141

2.4. Ро-метод Полларда. 143

2.5. p—1 – метод Полларда. 145

2.6. Методы случайных квадратов. 147

§3. Алгоритмы дискретного логарифмирования. 149

3.1. Метод прямого поиска. 149

3.2. Шаг младенца – шаг великана. 150

3.3. Ро-метод Полларда для дискретного логарифмирования. 152

3.4. Алгоритм Полига-Хеллмана. 154

3.5. Алгоритм исчисления порядка (index-calculus algorithm). 157

Упражнения к Главе 2. 164

13