Методичка по Теоретической механике
.pdfУказания. Задача С З — на равновесие пространственной системы сходящихся сил. При ее решении следует рассмотреть отдельно равновесие каждого из двух узлов, где сходятся стержни и приложены заданные силы, и учесть закон о равенстве действия и противо действия; начинать с узла, где сходятся три стержня.
Изображать чертеж можно без соблюдения масштаба так, чтобы лучше были видны все шесть стержней. Стержни следует пронумеро вать в том порядке, в каком они указаны в таблице; реакции стержней обозначать буквой с индексом, соответствующим номеру стержня (например, Nt, N2 и т .д .).
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а |
СЗ |
||
Номер условия |
0 |
|
1 |
2 |
3 |
|
4 |
|
Узлы |
Я, М |
L, М |
К, М |
L, Н |
|
К, Н |
|
|
|
НМ, НА, |
LM, |
LA, |
КМ, КА, |
LH, |
LC, |
к н , |
к в , |
Стержни |
НВ, МА, |
LD, МА, |
КВ, МА, |
LD, |
НА, |
КС, |
НА, |
|
|
МС, MD, |
MB, МС, |
МС, MD, |
НВ, НС |
НС, |
HD |
||
Номер условия |
5 |
|
6 |
7 |
8 |
|
9 |
|
Узлы |
М, Н |
L, Н |
К, н |
L, М |
|
к, м |
|
|
|
МН, MB, |
LH, |
LB, |
КН, КС, |
LM, |
LB, |
КМ, |
КА, |
Стержни |
МС, НА, |
LD, |
НА, |
KD, НА, |
LD, МА, |
KD, |
МА, |
|
|
НС, HD |
НВ, НС |
НВ, НС |
MB, МС |
MB, |
МС |
|
|
|
|
|
|
А |
|
|
В |
I |
|
I |
| z! |
|
|
|
|
\Н |
||
|
|
А ' |
— |
] Д |
/ — |
л-Ч |
|
|
|
р |
|
||
|
|
|
Л / |
|
/ |
I / |
|
•'к |
|
•'D _____м ]/ |
|||
|
|
|
||||
Рис. СЗ.О |
Рис. С3.1 |
|
Рис. С3.2 |
|
23
к
—7
/ I |
/ I |
/ ? |
/ I |
||
|
I |
||||
/ - |
V |
- . - T |
i |
M |
i - |
}Л7 |
| |
Cj |
| |
||
I |
1 |
1 |
|
|
|
i |
A |
~ t ? |
L |
|
f — |
/ |
|
||||
I / |
|
i / |
|
|
|
|
|
|
//f |
|
|
д - |
|
|
|
|
|
|
Рис. ез.з |
|
Рис. С3.4 |
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
4' |
|
/ 1 |
|
|
T - + — |
- f |
' |
|
|
|
^ |
| |
К| |
| |
! |
i |
i |
I |
I |
I |
L |
' |
H \ |
|||
I |
Iм |
|
F — |
i ~ 4 |
|
|
/ |
I |
/ |
||
i |
)----------1 - |
/ |
. i |
/ |
|
i / |
|
i |
/8 |
|
|
/L |
|
Л У |
-— |
- I |
|
|
Рис. C3.6 |
Рис. C3.7 |
|
|
|
|
Л’ |
/ |
f |
|
_7 |
------- |
/I |
||
|
|
Я |
|
|
|
|
|
: |
*' |
,i |
> |
I |
|
I |
|
Z .L -— - i i '
Рис. C3.9
|
ЛГ________ ^ |
||
/ f |
|
/ I в |
|
/ |
I |
|
/ I |
A—4 ---------------/ | |
|||
1 |
j |
1 |
! |
|
|
r ? |
|
|
|
A \ |
/ |
Рис. С3.5
A r |
-----------f a |
/ I |
y ' |
/ I |
/ |
f/T TI |
L \ |
I |
|
/ |
/£ - T ; 4 |
D |
|
k |
- V |
|
Рис. C3.8 |
Рис. C3.10
24
Пример G3. Конструкция, состоит из невесомых стержней 1, 2, ..., 6,
соединенных яруг с другом* (в узлах К |
и М) |
и с неподвижными |
||||
опорами Л, В, С, D шарнирами (рис. СЗ). |
В узлах К и М приложены |
|||||
силы Р и Q, образующие с координатными |
осями углы щ, Pi, Vi и u2, |
|||||
Р2, V2 соответственно (на рисунке показаны только углы ub pi, yi). |
||||||
Д а н о : |
Р = |
100 Н, idi — 60°, (!, = |
60°, |
Vi == 45°; |
Q = 50 II, |
|
«а = 45°, р2 = |
60°, |
72 = 60°, f = 30°, ф = |
60°, |
8 |
= 74°. |
О п р е д е |
л и т ь : усилия в стержнях / —6 .
Решение. 1, Рассмотрим равновесие узла К, в котором сходятся стержни 1, 2, 3. На узел действуют сила Р и реакции Ni, N2 , Ni стерж ней, которые направим по стержням от узла, считая стержни растя нутыми. Составим уравнения равновесия этой пространственной систе мы сходящихся сил:
|
|
|
|
|
SFkx ■ О, Р cos «1 + |
N2 sin |
+ Л^з sin ф = 0 ; |
|
|
( 1) |
||||||
2 Fky = |
0, |
Я cos Pi — N\ — N2 cos г): |
0 ; |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2) |
|
|
|
|
|
|
2 Fkz = |
0 , Pcosvi — Л^зсовф = |
0 . |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3) |
|
|
|
|
|
|
|
Решив уравнения (1), (2), (3) при |
|
|
|
|
|
||||||||||
заданных числовых значениях силы Р и |
|
|
|
|
|
|||||||||||
углов, |
получим |
N 1 = |
349 |
Н, |
|
N2 |
= |
|
|
|
|
|
||||
= |
- 3 4 5 |
Н, N3 = |
141 |
Н. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2. Рассмотрим равновесие узла М. |
|
|
|
|
|
||||||||||
На |
узел |
действуют сила Q и реакции |
|
р ис |
|
|
|
|||||||||
Л/г, N4 , Л/'s, ЛГ6 стержней. При этом по |
|
|
|
|
|
|||||||||||
закону о равенстве действия и противодействия реакция N 2 направлена |
||||||||||||||||
противоположно N2, численно же N2' |
= N2 . Составим уравнения равно |
|||||||||||||||
весия: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
2iFkx = 0, Q cosa2 —A/jsinip — Л/ 4 —Л/'ssin 6 sin -ф = |
0 ; |
|
(4) |
||||||||||
|
|
|
|
S'Fty = |
0, |
Q cosp2 + |
Л/2 Соэг|)+Af5 sin 8 cosi|) = 0; |
|
|
(5) |
||||||
|
|
|
|
|
S ffe = 0, Qcosy2 — NscosS — N&= 0 . |
|
|
(6 ) |
||||||||
|
При определении проекций |
силы N$ на оси х и у в уравнениях |
(4) |
|||||||||||||
и, (5) |
удобнее |
сначала найти |
проекцию Щ этой силы на плоскость |
|||||||||||||
хОу (по |
числовой |
величине |
N1 = |
N5 sin 6 ), а |
затемнайденную |
проек |
||||||||||
цию на плоскость спроектировать на оси х, у. |
|
|
|
|
||||||||||||
|
Решив |
систему уравнений |
(4), |
(5), |
(6 ) |
иучитывая, |
что |
N2 |
= |
|||||||
— Ы2 = |
— 345 Н, найдем, чему равны N 4, N s, |
N6. |
|
|
|
|||||||||||
|
О т в е т : |
№ = 349 Н; |
N2 = |
— 345 |
Н; N3 = 141 Н; |
№ = |
50 |
Н;- |
||||||||
Ns = |
329 Н; Ne = |
— 6 6 Н. Знаки показывают, что стержни 2 и 6 |
сжаты, |
|||||||||||||
остальные — растянуты. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3—1722 |
25 |
Задача С4
Две однородные Прямоугольные тонкие плиты жестко соединены (сварены) под прямым углом друг к другу и закреплены сферическим шарниром (или подпятником) в точке А, цилиндрическим шарниром (подшипником) в точке В и невесомым стержнем 1 (рис. С4.0 — С4.7) или же двумя подшипниками в точках А и В и двумя невесомыми стержнями 1 и 2 (рис. С4.8, С4.9); все стержни прикреплены к плитам и к неподвижным опорам шарнирами.
Размеры плит указаны на рисунках; вес большей плиты Pi = 5 кН, вес меньшей плиты Рг = 3 кН. Каждая из плит расположена парал лельно одной из координатных плоскостей (плоскость х у — горизон тальная).
На плиты действуют пара сил с моментом М — 4 кН-м, лежащая в плоскости одной из плит, и две силы. Значения этих сил, их направле ния и точки приложения указаны в табл. С4; при этом силы Еi и F4 ле жат в плоскостях, параллельных плоскости ху, сила Ег — в плоскости, параллельной xz, и сила Е3 — в плоскости, параллельной уг. Точки приложения сил {D, Е, Н, К) находятся в углах или в серединах сторон плит.
Определить реакции связей в точках Л и В и реакцию стержня (стержней). При подсчетах принять а = 0,6 м.
Указания. Задача С4 — на равновесие тела под действием произ вольной пространственной системы сил. При ее решении учесть, что реакция сферического шарнира (подпятника) имеет три составляю щие (по всем трем координатным осям), а реакция цилиндрического шарнира (подшипника) — две составляющие, лежащие в плоскости, перпендикулярной оси шарнира (подшипника). При вычислении мо
мента |
силы Е часто |
удобно |
разложить ее |
на две |
составляющие |
|
Е' и |
Е", параллельные координатным |
осям |
(или на |
три); тогда, |
||
по теореме Вариньона, |
тх{Е) = |
mx{F') + |
m,{F") |
и т. д. |
|
гЗа
Т а б л и ц а С4
Пример С4. Горизонтальная прямоугольная плита весом Р (рис.'С4) закреплена сферическим шарниром в точке А, цилиндрическим (под шипником) в точке В и невесомым стержнем DD'. На плиту в плоскости,
параллельной зсг, |
действует |
сила |
F, |
а в |
плоскости,- |
параллельной |
||
уг, — пара сил с моментом М. |
|
|
|
|
|
|
||
Д а н о : |
Я = |
3 кН, F = 8 |
кН, |
М = |
4 кН -м, и = 60°, Л С = |
0,8 м, |
||
АВ ==1,2 м, BE = |
0,4 м, ЕН = |
0,4 м. О ц р е д е л и т ь : |
реакции |
опор |
||||
А, В и стержня DD'. |
|
|
|
' |
|
*• |
||
Решение. 1. Рассмотрим равновесие плиты. На плиту действуют |
||||||||
заданные силы Р, F и пара с моментом М, а также реакций связей. |
||||||||
Реакцию сферического шарнира разложим |
на три составляющие ХА> |
|||||||
?а> ZA, цилиндрического (подшипника) |
на две составляющие Хн, ZB |
|||||||
(в плоскости, перпендикулярной оси подшипника); реакцию N стержня |
||||||||
направляем |
вдоль |
стержня от |
D к |
D', |
предполагая, что |
он растянут. |
2. |
Д ля |
определения |
|
шести |
неизвестных |
реак |
|
ции |
составляем |
шесть |
|
уравнений |
равновесия |
,действующей на плиту пространственной системы сил:
|
S /7** = 0, |
Х д - \ - |
|
|
||
|
+ Л д - { - Z7cos 60° = |
0 ; |
|
|
||
|
|
|
|
(О |
|
|
2 |
= 0, |
Ya — iVcos 30° = 0 ; |
рис С4 |
|
||
|
|
|
|
(2) |
|
|
|
|
2/?*г = 0, |
+ |
P + ^ s in 3 0 o - F s in 6 0 o = 0 ; |
(3) |
|
Zm^Fk) = |
О, М — P - A B / 2 + Zb-AB — Fsin 60°-ЛВ + ./V sin 30°-ЛВ = |
0; |
||||
|
|
= |
0, |
P -^ C /2 -A fsin 3 0 ° -,4 C + /'s m 6 0 ° M C /2 - |
(4) |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
-F c o s 6 0 ° - B £ = 0 ; |
(5) |
|
|
2 /п г(/?*) = |
0; —F COS60°-AB —N_COS3 0 ° - A C - X b -AB = 0 . |
(6) |
Для определения моментов силы F относительно осей разлагаем ее
на составляющие F' и F", параллельные осям |
х и |
z (F' = Fcosа, |
||||
F" = F sin а), |
и применяем теорему Вариньона |
(см. «Указания»), Ана |
||||
логично можно поступить при определении моментов реакции N. |
|
|||||
Подставив в составленные уравнения числовые значения всех за |
||||||
данных величин и решив эти уравнения, найдем искомые реакции. |
|
|||||
О т в е т : |
ХА = 3,4 кН; YA — 5,1 кН; ZA = |
4,8 |
кН; |
Хв = — 7А |
кН; |
|
Z B = 2,1 |
кН; |
N — 5,9 кН. Знак минус указывает, |
что |
реакция Хв |
на |
|
правлена |
противоположно показанной на рис. С4. |
|
|
|
КИНЕМАТИКА
Задача К-1
Под номером К1 помещены две задачи К1а и К1б, которые надо решить.
Задача К1а. Точка В движется в плоскости ху (рис. К1.0 — К1.9, табл. К.1; траектория точки на рисунках показана условно).
Закон движения точки задан уравнениями: х = |
у = /г(0> где х и у |
выражены в сантиметрах, t — в секундах. |
|
Найти уравнение траектории точки; для момента времени t\ = 1 с определить скорость и ускорение точки, а также ее касательное и нор мальное ускорения и радиус кривизны л соответствующей точке траек тории.
Зависимость х = f,(t) указана непосредственно на рисунках, а за-
Номер
усло
вия
I
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
рис. 0—2
2
l2sin( i H )
-6cOS( f 0
-3sin2( - f 0
9SK T O
3 COS( T 0
10sin( f O
e s i n ^ t )
- 2 sin (-=-*)
9COS(T /)
' - 8sin( ^ )
у = МО
рис. 3—6
3
2t2+ 2
8sin( x /)
{2 + t f
213
2 COS( T 0
2 - 3 i2
2sin(-2-i)
(< + l)3
2 — t3
4COS(T 0
рис. 7—9,
4
4 c o s ( - ^ )
6cos2( i W
4COS(T O
lOcos( ! 0
- 4 C° S2( - J / )
12COS( T M
-3 c o s ( - ^ )
-8c0S( f ' )
9cos( i W
-6C0S( ^ )
Т а б л и ц а КД
s = f(0
5
4COS( T 0
2s i n ( - ^ )
6/ — 2/2
"2sin( f 0
4cos( f 0
-3 s i n ( |< )
3*2— 10*
-2cos( f 0
3sin( ^ )
- 2cos№ )
висимость у == f2(t) дана в табл. К1 (для рис. в —2 в столбце 2, для рис. 3—6 в ртолбце 3, для рис. 7—9 в столбце 4). Как и в задачах С1— С4, номер рисунка выбирается по предпоследней цифре шифра; -af номер условия в табл. К1 — по последней.
Задана К1 б. Точка движется по дуге окружности радиуса R ■— 2 м по закону s = f{t), заданному в табл. К1 в столбце 5 (s — в метрах, t — в секундах), где s = AM — расстояние точки от некоторого начала
30
л - * - 2 £ x = Z - t
Рис. К1.4 Рис. К.1.5
Рис. К1.6
А, измеренное вдоль дуги окружности. Определить скорость и ускорение точки в момент времени t\ = 1 с. Изобразить на рисунке векторы а и а, считая, что точка в этот момент находится в положении М, а положительное направление отсчета s — от
Ак М.
1Указания. Задача К1 относится к кине матике точки и решается с помощью формул, по которым определяются скорость
и ускорение точки в декартовых координатах (координатный способ задания движения точки), а также формул, по которым определяются с корость, касательное и нормальное ускорения точки при естественном способе задания ее движения.
В задаче все искомые величины нужно определить только |
для |
момента времени t\ = 1 с. В некоторых вариантах задачи Ю а |
при |
определении траектории или при последующих расчетах |
(для их упро |
|||||||
щения) |
следует |
учесть |
известные |
из |
тригонометрии формулы: |
|||
cos2a = |
1 — 2sin2a = 2cos2a ^ |
1; ' sin2a = |
2sin aco sa . |
|
||||
Пример К1а. Даны уравнения движения точки в плоскости ху: |
||||||||
|
х = |
— 2 c |
o |
s |
+ 3> |
У = |
2 sin ( - g - *) “ |
* |
{х, у — в сантиметрах, |
t — в секундах). |
|
|
|||||
Определить |
уравнение |
траектории точки; для момента времени |
||||||
<i = 1 с |
найти скорость- и |
ускорение точки, а также ее |
касательйое и |
нормальное ускорения и радиус кривизны в соответствующей точке
траектории. |
|
Решение. 1. Д ля определения уравнения траектории точки |
исклю |
чим из заданных уравнений движения время А. Поскольку t |
входит |
в аргументы тригонометрических функций, где один аргумент вдвое больше другого, используем формулу
c o s 2 u = 1 — 2sin2« |
или |
cos^ -^ -f^ = 1 — 2s.in2^ - ^ - ^ . |
(1) |
||||||
Из уравнений движения находим выражения соответствующих |
|||||||||
функций и подставляем в равенство |
(1). ПЬлучим |
|
|
|
|
||||
/ и д |
3 —х |
. / я д |
у + 1 |
|
|
|
|||
c° s ( — /) = |
— 2 - . |
s,n( V |
) |
|
|
|
|
|
|
следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 - ж . |
, |
„ (< /+ 1 )2 |
|
|
|
|
|
||
2 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
Отсюда окончательно находим следующее уравнение траектории |
|||||||||
точки (параболы, рис. К1а): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х = ( у + 1)2+ 1 . |
|
|
|
|
|
(2): |
||
|
|
|
2. Скорость точки найдем по ее |
||||||
|
|
проекциям на координатные оси: |
|
||||||
|
|
|
|
Ахп |
. ( |
л |
\ |
— У • |
|
|
|
|
^ ^ Г = — Ч |
|
|
||||
|
|
|
0"= ^ |
&у |
л |
/ |
я |
\ |
|
|
|
|
г = - г сЧ - 8 - у ; |
|
|||||
|
|
|
|
о=-\/тЯ + и1 |
|
|
|||
|
|
И при /[ = |
1 с |
|
|
|
|
|
|
|
|
v u = 1,11 см/с, |
v\g = |
|
0,73 см/с, |
|
|||
Рис. К1а |
|
|
|
а, = |
1,33 с м /с . |
(3) |
32