Методичка по Теоретической механике
.pdfном варианте получается довольно простой механизм, содержащий три или даже два тела. Стержень 6 или 7 входит в состав механизма, когда
внего входят оба тела, соединенные этим стержнем.
Вположениях, изображенных на рисунках, механизм находится в
равновесии. Определить частоту и период малых колебаний системы около положения равновесия. Найти также, чему равно статическое удлинение (сжатие) пружины Хст в положении равновесия.
При подсчетах считать • колеса 1 п 2 сплошными однородными цилиндрами радиусов Ri и /?2 соответственно,
Рассмотрим два примера решения этой задачи.
Пример Д12а. Находящаяся в равновесии механическая система состоит из колеса 1 радиуса Ri, ступенчатого колеса 2 с радиусами Ri и г2 и груза 3, подвешенного на нити, намотанной на колесо 2;
колеса соединены |
невесомым |
стержнем АВ |
(рис. Д12а). |
К колесу t |
прикреплена вертикальная пружина с коэффициентом жесткости с. |
||||
Д а н о: mi = |
12 кг, тг = |
6 кг, тз — 3 кг, i?i = R2 = |
R, ъ = 0,5R, |
|
с — 900 Н/м. Колеса считать |
сплошными |
однородными |
цилиндрами. |
|
О п р е д е л и т ь : |
частоту k и период т малых колебаний системы около |
|||
положения равновесия и значение Яст. |
|
|
Решение. 1. Система имеет одну степень свободы. Выберем в ка честве обобщенной координаты угол ф поворота колеса / от равновес ного положения (при равновесии <р= 0 и s D = 0, s3 — 0); при движе нии системы, рассматривая малые колебания, считаем угол ф малым.
Поскольку все действующие на систему активные силы потенциаль ные (сила тяжестиаи сила упругости), выразим обобщенную силу Q через потенциальную энергию П системы. Тогда исходным уравнением будет
- |
U |
~ |
) |
) |
дТ |
= Q , где Q : |
dll |
(О |
|
dt \ |
дф |
|
<}ф |
|
<Эф |
|
104
2. Определим кинетическую энергию системы, равную сумме энер гий всех тел:
Т=, |
Г14*Г2 + Гз. |
(2) |
|
Так как колеса 1 и 2 вращаются вокруг осей Оi и 0 2, а груз 3 дви |
|||
жется поступательно, то |
|
|
|
Г, = / 01<в?/2 , Г2 = / 02и 1/2 , |
|
||
Т3 = |
т зЬ з/2 , |
(3) |
|
где |
|
|
|
/о, = |
|
/ 02= т 2Л1/2. |
(4) |
Все скорости, входящие |
в |
равенства (3), надо |
выразить через |
обобщенную скорость ср. Тогда coi = ф. Далее, ввиду малости угла ф
можно считать в каждый момент |
времени |
v B= |
Va, т. е. о)2г2 = |
|
||||||||
откуда |
ш2 = о)1^ |/г 2и |
из = СО2Л2 = |
o)i/?ii?2/ r 2. |
Отсюда, |
учтя, |
что |
/?] = |
|||||
= Д2 = |
/?, г2 = 0,5Я, |
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
coi = |
ф, |
о)2 = /?1ф/л2 = 2ф , |
v 3 |
— 2Яф . |
|
|
(5) |
||||
Подставляя величины |
(4), где Ri = |
Яг = |
R, |
и |
(5) в |
равенства |
(3), |
|||||
получим из равенства |
(2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Т = 0,5а0ф2 , |
где а 0 = |
(0,5mi -f 2m2 + |
4 т 3)Л2 . |
|
(6) |
||||||
Отсюда находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
дТ |
|
■ |
дТ |
п |
d / |
дТ \ |
|
|
|
|
|
|
- д ^ - а^ |
’ - д ^ = |
0 ’ - 1 Г \ ~ W ) |
= a^ - |
|
(7) |
||||||
3. Определим потенциальную энергию П системы, учитывая, что |
||||||||||||
для пружины П = 0,5сЛ2, где X — удлинение (сжатие) |
пружины, а для |
|||||||||||
поля сил тяжести |
П = |
mg zc, где z c — координата |
центра |
тяжести |
||||||||
(ось г направлена по вертикали вверх). |
|
|
|
|
|
|
||||||
Тогда для всей системы |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
П = 0,5сХ2 + |
m3gzC3- |
|
|
|
|
(8) |
Определяя Л., учтем, что в положении равновесия пружина может иметь некоторое статическое (начальное) удлинение или сжатие Х„, необходимое для сохранения равновесия (в нашем случае для уравно вешивания силы тяжести, действующей на груз 3). При повороте колеса 1 на угол ф пружина получит дополнительное к кстудлинение
s 0 = R i y . |
Следовательно, X = X CT-\-sD = XCT-\-R<(. |
Для |
2с3, направляя ось z из точки Оз вверх, получим Zc3 = —5з- |
Чтобы выразить зз через ф, заметим, что зависимость между малыми
перемещениями здесь будет такой же, как |
между соответствующими |
скоростями. Тогда по аналогии с последним |
из равенств (5) s3 = 2Rcp |
и z c 3 = — 2Rq>. |
|
Подставляя все найденные величины в равенство |
(8), получим |
|||
|
П = 0,5с(Яст+Яф)2 —2m3gR<f>. |
|
(9) |
|
4. Определим обобщенную силу Q и Х„. Сначала находим |
||||
|
Q = ---- = - cR(\CT+ |
R<f) + 2m3gR . |
|
( 10) |
Входящую |
сюда неизвестную величину Хст найдем |
из |
условия, что |
|
при равновесии,* т. е. когда ф == 0, |
должно быть и |
Q = |
0. Полагая |
|
в (10) ф = |
0 и Q = 0, получим cRk„ = 2m3gR, откуда |
|
||
|
Яст= 2m3g/c. |
|
(И ) |
|
Заменяя в |
(10) Л,С1 этим значением, |
найдем, что |
|
|
|
Q = - |
c R \ . |
|
( 12) |
5. Составляем уравнение Лагранжа. Подставляя значения про водных из равенств (7) и значение Q из (12) в уравнение (1), получим а0ф = —c R \ или, с учетом обозначения в (6),
Ф + А 2Ф = |
гДе |
k2 = — — |
= |
--------Т ~а------------------• |
( 13) |
|
|
ао |
|
mi + 4m2 + 8m3 |
|
Из теории колебаний |
известно, |
что |
когда уравнение |
приведено |
к виду (13), то в нем k является искомой круговой частотой, а пфиод колебаний т = 2я/6. При заданных числовых значениях mi, m2, и?з и с,
произведя соответствующие подсчеты, получим из (13) и (11) |
о т в е |
|
ты: k = 5,48 с-1, т = 1,11 с, ХС1= |
0;065 м = 6,5 см. |
|
Пример Д126. Находящаяся |
в равновесии механическая |
система |
состоит из однородного стержня /, ступенчатого колеса 2 с радиусами ступеней и г2, груза 3, подвешенного на нити, перекинутой через блок 4 и намотанной на колесо 2, и невесомого стержня 5, соединяю щего тела 1 и 2 (рис. Д12, б). В точке Оi шарнир; в точке А прикреп лена горизонтальная пружина с коэффициентом жесткости с.
Д а н о : |
mi = |
10 кг, ms*= 12 |
кг, |
.m3 = 4 |
кг, |
m 4 = 0, |
Rz = |
R, |
||
г2 = 0,5/?', |
с = |
750 |
Н/м, |
0[Л = 1 = 1 |
м, |
OiB = |
1/3. |
Колесо 2 |
считать |
|
сплошным |
однородным |
цилиндром. О п р е д е л и т ь : |
частоту |
к и |
пе |
риод т малых колебаний системы около положения равновесия и зна чение
Решение. 1. Рассмотрим произвольное положение системы, когда она выведена из состояния равновесия и совершает малые колебания (рис. Д12, в). Система имеет одну степень свободы. Выберем в ка честве обобщенной координаты угол ф отклонения стержня от вертика ли, считая ф малым, и составим для системы уравнение Лагранжа.
Поскольку |
все действующие активные силы (сила упругости и |
силы |
|||
тяжести) |
потенциальные, выразим обобщенную силу Q через |
потен |
|||
циальную энергию П системы. Тогда исходным уравнением будет |
|
||||
|
d |
/ |
дТ |
\ |
( 1) |
|
dt |
\ |
<Эф |
/ |
При исследовании малых колебаний в уравнении сохраняют малые величины ф, ф в первой степени, отбрасывая малые более высокого порядка. Для этого надо найти выражения Г и П с точностью до ф2 и ф2, так как в (1) входят первые производные от Т и П по ф и ф, а при
дифференцировании |
многочлена |
его |
степень |
понижается на единицу |
||||||||
2. Определим кинетическую энергию Т системы, равную сумме |
||||||||||||
энергий всех тел: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Т = Г, + Г2 + Г3 . |
|
|
|
(2 ) |
||||
Так как стержень 1 и колесо 2 вращаются вокруг осей Оi и С2 |
||||||||||||
соответственно, |
а груз 3 движется поступательно, то |
|
|
|||||||||
|
|
|
Ti = |
/ о |
1( й ? / 2 |
; Тг— / С2с й 2 / 2 ; |
|
(3) |
||||
где |
|
|
|
|
Тз = |
m.3vl/2, |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ 0, = |
т |
,/2/ 3 ; IC2= m 2R2/ 2. |
|
(4) |
|||||
Все |
скорости, |
входящие в |
равенства (3), |
надо выразить |
через |
|||||||
обобщенную скорость ф. Тогда <oi = |
ф. Затем ввиду малости ф |
можно |
||||||||||
считать |
v d = v b = |
® i//3 . |
Учтя |
это, |
найдем |
ю2 = и о /г 2 = vD/0,5R |
и |
|||||
из = V B |
= £02R . |
Таким образом, |
toi = |
ф; сог = |
2/ф/ЗЛ; |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
из = |
2 /ф /З . |
|
|
|
(5) |
||
Подставляя |
величины |
(4) и |
(5) |
в равенства |
(3), получим |
из |
(2) |
1'
!о<р2 , где ао =
Отсюда находим
d / дТ \ |
(7) |
|
чЛ .-щ г) = аоф |
||
|
107
3. Определим потенциальную энергйю П системы, учитывая, что
для пружины П = 0,5сХ2, где X — удлинение (сжатие) |
пружины, а для |
|
поля сил тяжести |
П = mgzc, где z c — координата |
центра тяжести |
(ось г направлена по вертикали вверх). Тогда для всей системы |
||
П = |
0,5cA.2 + 'm gZc1 + m 2g z C2+ m 3g2c3. |
<8 ) |
где величины X, z c„ z C2>г с3должны быть выражены через ф. Определяя Л., учт*м, что в положении равновесия пружина может
иметь некоторое статическое (начальное) удлинёние или сжатие Яст, необходимое для сохранения равновесия (в нашем случае для уравно
вешивания силы тяжести Рз). |
В |
произвольном |
положении |
(см. |
|||
рис. Д12, в) |
пружина получит дополнительное |
удлинение, равное «л, |
|||||
причем ввиду малости <р можно |
считать |
= |
/«к, Тогда X = ?.ст -|- S/ = |
||||
— ^ст-Ыф- |
|
|
|
|
|
|
|
Для z Cp |
направляя ось z\ |
из |
точки |
Оi |
вверх, |
получим |
z c, = |
= 0,5/соэф. Разлагая здесь соБф в ряд и сохраняя член с ф2, получим*
1 |
Ф2 |
1- ( |
\ |
Ф2 N |
|
С 0 5 ф = 1 |
- _ |
и гс1= ^ |
1 _ _ у |
|
|
Для 2 с2, в з я в начало координат в точке Сг, получим z C2 — O'. |
* |
||||
Для г Сз, совмещая |
начало |
координат |
0 3 |
с положением |
центра |
тяжести груза 3 при равновесии, получим zc3= |
—S3, где S3 — переме |
щение груза. Чтобы выразить s3 через ф, заметим, что зависимость между малыми перемещениями здесь будет такой же, как между соответствующими скоростями. Тогда по аналогии с последним из
равенств (5) |
S3 = |
2/ф/З и Zc3= — 2/ф/З. |
|
|
||
Подставляя все найденные величины в равенство (8 ), получим |
||||||
П |
= ~2-(Хст + / ф) 2 |
1 ----- ^ ---------- — rti3gl<$ ■ |
|
(9) |
||
4. Определим обобщенную силу Q и Хст. Сначала находим |
|
|
||||
Q = |
---- ^ |
- = |
- [ с 1 { Х „ + Щ ---- -----------------1 - т з * / ] . |
(Ю) |
||
Входящую сюда неизвестную величину Хст найдем из условия, что |
||||||
при равновесии, |
т. е. когда ф = |
0, должно быть и Q = 0. |
Полагая |
|||
в равенстве |
(10) |
ф = 0 |
и Q = 0, |
получим clX„— 2mzgl/3 = |
0, |
откуда |
* В случае когда стержень СМ горизонтален (поверните рис. Д12,в на 90°), будет z c = 0,5/sinф, и нужное приближение получится, если считать sin ф = ф.
108
Заменяя в (10) Хст этим зн|чением, найдём окончательно
Q = -г 6Ф , где 6 = {cl —0,5mig)l. |
(12) |
5. Составляем уравнение Лагранжа, Подставив значения произ водных из равенств (7) и значение Q из (12) в уравнение (1), получим аоф = —Ьф или
Ь |
9(2cl — mig) |
Ф + /г2ф = 0 , где k2 |
(13) |
а0 |
2(3m i+ 2тг + 4отз)/ |
Из теории колебаний известно, что когда уравнение приведено к виду (13), то в нем величина k является искомой круговой частотой, а период r = 2 n / k . При заданных числовых значениях, произведя соответствующие расчеты, получим из (13) и (II) следующие о т в е ты: k = 9,49 с-1; т = 0,66 с; Яст= 0,035 м = 3,5 см.
Другое решение. Рассмотрим другой путь решения задачи, пригод
ный и когда действующие силы не потенциальны.
Выберем опять в качестве обобщенной координаты угол ф, считая его малым, и составим для системы уравнение Лагранжа
(14)
Для кинетической энергии Т системы и для соответствующих произ водных получим, как и раньше, значения (6) и (7).
Чтобы найти обобщенную силу Q, надо изобразить на чертеже (рис. Д12,б) действующие активные силы, совершающие работу при
перемещении системы, |
т. е. силу, упругости |
пружины F, приложенную |
|||
к стержню |
1 в точке |
А |
и направленную |
вправо (пружину считаем |
|
растянутой), |
силу тяжести |
Pi, приложенную к стержню / |
в точке Си |
||
и силу тяжести Р3, приложенную к грузу J ; |
обе эти силы |
направлены |
|||
по вертикали вниз (на рис. Д12,б билы F, Pi, |
Р3 не показаны, но при ре |
||||
шении задачи таким путем их надо изображать). |
|
Теперь сообщаем системе возможное перемещение, при котором угол <р получает положительное приращение 6<р, и вычисляем работу бЛ
всех названных сил на этом перемещении. Получим |
|
бА = (— /=7созф + .Р1-^-5тф)6ф + Рзб5з . |
(15) |
В равенстве (15) надо выразить бs3 через 6ф. По аналогии с послед |
|
ним из равенств (5) найдем, что |
(16) |
6S3 = 2/бф/З . |
|
Определим еще значение силы упругости F. По модулю F = |
сХ, где |
X — удлинение пружины, слагающееся из начального удлинения Аст и |
дополнительного удлинения s^, которое ввиду малости угла ф можно
считать |
равным |
/ср. Тогда |
X = Яст+ /ф и |
|
|
|
|
|
|
F = |
с(ХСТ+7ф ). |
(17) |
|
Подставив |
величины |
(16) |
и (17) в равенство (15) и учтя, |
что |
||
р, = mig, а Рз = п з g и что ввиду малости ф можно считать вшф = |
ф, |
|||||
cos ф = |
1, приведем окончательно равенство |
(15) к виду |
|
|||
|
6Л = [ — с(Яст+ Лр)/ + rftigl<f/2 + |
2«з§//3]бф . |
|
109
Коэффициент при 6<р в правой части полученного равенства и явля ется искомой обобщенной силой. Следовательно,
Q = [ —cXzy+ ( m , g / 2 — c[)y + |
2m3g / 3 ] l . |
|
|
(18) 1 |
Величину А.ст опять находим учитывая, |
что при равновесии, |
т. е-. |
||
при ф = 0, будет и Q — 0. В результате получим |
для |
Ястзначен |
ваемое формулой (11). При таком Яст найдем из |
(18) окончательно, что- |
Q = (mig/2 — cl)lq>. |
(19) |
Подставляя значения соответствующих производных из равенств
(7) и значение Q, даваемое формулой (19), в уравнение (14), приведем
его окончательно к виду |
|
|
|
||
|
|
Ф + (с/ — mig/2)-^-<p= 0. |
|
(20) |
|
|
|
|
ао |
|
|
Решение уравнения |
(20) |
существенно зависит от знака |
коэффициента |
||
при ф. Если этот коэффициент положителен, т. е. |
|
|
|||
|
|
|
c > m \ g / 2 l , |
- |
(21) |
то, введя обозначение |
|
|
|
||
|
|
k2 = (cl —m.]g/2)l/ao, |
|
(22) |
|
получим, как |
известно, решение уравнения (20) в виде |
|
|||
|
|
Ф = |
Ci s\n(kt) + C2cos(6f). |
|
|
Если при |
t |
= |
0ф = фо и ф = фо, то Сг = |
фо,С\ = фо/й.Н |
|
всегда можно |
выбрать столь малыми, что угол ф во |
всевремя движения |
тоже будет оставаться малым и, следовательно, система будет совершать малые колебания около положения ее равновесия, определяемого уг лом ф = 0. Равновесие системы в таком случае называют устойчивым; условие устойчивости равновесия определяется в данной задаче неравен
ством |
(21). |
Если же коэффициент при ф в уравнении (20) будет отрицательным, |
|
т. е. |
будет c < m i g / 2 l, то введя обозначение п = (m.ig/2 — cl)l/cto, |
приведём уравнение (20) к виду <р —п2ф = 0. Решением этого уравнения, как тоже известно, будет
ф = Cte"‘+ C 2e - nl
и, каковы бы ни были начальные условия, множитель е"1, а с ним и угол <р, будут со временем возрастать, т. е. система, выведенная из равновесного положения сколь угодно малым смещением (толчком), будет от этого положения все больше и больше отклоняться. Равновесие системы в таком случае называется неустойчивым.
В решаемой задаче с = 750 Н/м, a m tg/2l л* 49 Н/м и неравенство (21) выполняется. Следовательно, равновесие системы является устойчи вым и она может совершать около положения равновесия малые колеба ния. Круговая частота k этих колебаний определяется из равенства (22), а период т = 2n/k. Числовые значения искомых величин получаются, конечно, те же, что и в п. 5.
1
|
СОДЕРЖАНИЕ |
|
|
Методические указания.................................................... |
|
3 |
|
Рабочая |
программа ......................................................... |
|
5 |
Список литературы ............................................................ |
|
11 |
|
Контрольные задания ......................................................... |
|
12 |
|
Содержание заданий, выбор вариантов, порядок выполнения ра |
|
||
бот, пояснения к тексту задач......................................... |
|
12 |
|
Задачи к |
контрольным заданиям . . |
............................................ |
14 |
С татика............................................................................................................. |
|
|
14 |
К и н е м а т и к а ...................................................................... |
'.......................... |
29 |
|
Д и н ам и к а ....................................................................................................... |
|
50 |