Примеры решения задач

Пример . Полый шар плавает на границе двух несмешивающихся жидкостей (см. рисунок) так, что соотношение частей шара во второй и первой жидкости равно. Плотности жидкостей и тела соответственно равны ρ₁=0,8г/см³, ρ₂=1г/см³ и ρ=2,7 г/см³. Определите объём шара V, если размер его внутренней полости V₀=20см³.

Дано: ;V₀=20см³=2∙10^-5м³; ρ₁=0,8г/см³=8∙10²кг/м³; ρ₂=1 г/см³=1∙10³кг/м³; ρ=2,7 г/см³=2,7∙10³кг/м³.

Найти: V.

Решение. Поскольку шар находится в равновесии, сила тяжести Р, действующая на тело, уравновешивается силой Архимеда F_А:

Р= F_А.

Учитывая, что

Р= ρ(V-V₀)g

и

F_А = m₁g+ m₂g

(ρ – плотность материала шара; V- его объём; V₀- объём внутренней полости шара; g - ускорение свободного падения; m₁ и m₂ – соответственно масса жидкостей в объёмах V₁ и V₂), можно записать

ρ ₁gV₁+ ρ ₂gV₂= ρ (V₁+ V₂ – V₀)g (1)

Из выражения (1), учитывая, что V₂= n V₁ (условие задачи) найдём

Искомый объём шара

Ответ: V=30,1см³.

Пример . В сообщающиеся трубки с водой площадью сечения S=0,5см² долили в левую масло объёмом V₂=40мл, в правую керосин объёмом V₂=30мл. Определите разность Δh установившихся уровней воды в трубках, если плотность воды

ρ =1г/см³, плотность масла ρ₁=0,9 г/см³, плотность керосина ρ₂=0,8 г/см³.

Дано: S=0,5 см²=0,5∙10^-4м²; V₁=40мл=4∙10^-5м³; V₂=30мл=3∙10^-5м³; ρ=1г/см³= 1∙10³кг/м³; ρ₁=0,9 г/см³= 0,9∙10³кг/м³; ρ₂=0,8 г/см³= 0,8∙10³кг/м³.

Найти: Δh.

Решение. Предположим, что уровень воды в левом сосуде понизится (см. рисунок). Для уровня поверхности воды в левом сосуде давление равно давлению столба масла

, (1)

где h₁- высота столба масла; V₁- объём масла; S- площадь сечения трубки. Для правого сосуда давление на той же горизонтали будет равно сумме давлений столба керосина и избыточного столба воды высотой Δh

, (2)

где h₂- высота столба керосина.

Поскольку давление на одной горизонтали одинаково, приравняв выражения (1) и (2), найдём

,

Откуда искомая разность уровней

Ответ: Δh=24см.

Пример 8.1. Открытый цилиндрический сосуд, стоящи на ножках высотой h₁=1,33м, заполнен водой до отметки h=3,8м (см. рисунок) . Пренебрегая вязкостью воды, определите площадь сечения S цилиндра, если через отверстие диаметром d₁=2.5 см у его основания струя, вытекающая из отверстия, падает на пол на расстоянии ℓ=4.5м от цилиндра.

Дано: h₁=1,33м; d₁=2.5 см=2,5∙10^-2м; ℓ=4.5м; h=3,8 м.

Найти: S.

Решение. Согласно уравнению неразрывности,

Sυ = S₁υ₁

где υ – скорость понижения воды в баке; υ₁- скорость вытекания струи; S₁- площадь отверстия. Тогда

.

Согласно уравнению Бернулли для сечений S и S₁,

,

где р и р₁ – статические давления жидкости соответственно для поверхности воды и отверстия; - плотность воды. Учитывая, что р₁=р (бак открыт), из выражения (2) . Подставив эту формулу в (1), найдём

(3)

Согласно кинематическим уравнениям и ℓ=υ₁t (t - время падения струи воды на Землю), найдём

. (4)

Подставив (4) в (3) и учитывая, что , получаем искомую площадь сечения

Ответ: S=120см².

Пример 8.1. Водомер представляет собой горизонтальную трубу переменного сечения, в которую впаяны две вертикальные манометрические трубки одинакового сечения. По трубе протекает вода. Пренебрегая вязкостью воды, определите её массовый расход, если разность уровней в манометрических трубках Δh=8 см, а сечения трубы у оснований манометрических трубок соответственно равны S₁= 6см² и S₂=12см². Плотность воды ρ=1 г/см³.

Дано: Δh=8 см=0,08м; S₁= 6см²=6∙10^-4м²; S₂=12см² =12∙10^-4м²;

ρ=1 г/см³=1∙10³ кг/м³.

Найти: Q.

Решение. Массовый расход воды- это масса воды, протекающая через сечение за единицу времени,

(1)

где ρ – плотность воды; υ₂- скорость течения воды в месте сечения S₂. При стационарном течении идеальной несжимаемой жидкости выполняется уравнение неразрывности

S₁υ₁= S₂υ₂ (2)

и уравнение Бернулли для горизонтальной трубы (h₁=h₂)

(3)

где р₁ и р₂ – статические давления в сечениях манометрических трубок; υ₁ и υ ₂ - скорость течения воды в местах сечений S₁ и S₂. Учитывая, что

p₂-p₁=ρgΔh,

и решая систему уравнений (2), (3), получаем

Подставив это выражение в (1), найдём искомый массовый расход воды:

Ответ: Q=0,868 кг/с.

Пример 8.1. Для определения объёма перекачки газа используется прибор, основанный на принципе действия трубки Пито (см. рисунок). При перекачке азота по трубе за время t =1мин проходит объём газа V=59,3м³. Определите диаметр трубы, если разность уровней воды в коленах трубки Пито Δh =1см. Плотность азота ρ =1,25 кг/м³, плотность воды ρ₁=1 г/см³.

Дано: t =1мин=60с; V=59,3м³; Δh =1см =1∙10^-2м; ρ =1,25 кг/м³;

ρ₁=1 г/см³=1∙10³ кг/м³.

Найти: d.

Решение. Согласно уравнению Бернулли, разность давлений газа, оказываемых на колена трубки (см.рисунок),

(1)

где ρ – плотность газа; υ- скорость течения газа.

С другой стороны, разность давлений в коленах определяется разностью уровней жидкости в коленах трубки

Δр=ρ₁gΔh (2)

Приравняв выражения (1) и (2),

,

Найдём скорость движения тела

(3)

Объём газа V, перекачиваемого за время t

V=Sυt

где S- площадь сечения трубы.

Подставляя в эту формулу выражение (3) и , найдём

Откуда искомый диаметр трубы

Ответ: d=31,7 см.

Пример 8.1. Пренебрегая вязкостью воды, определите объём V воды в цилиндрическом баке диаметром d=1м, если через отверстие диаметром d₁=2см на дне бака вся вода вытекла за время t=30мин..

Дано: d=1м ; t =30мин=1800с; d₁=2см =2∙10^-2м.

Найти: V.

Решение. Если за время dt уровень воды в баке понижается на dh, то уменьшение объёма воды за это же время

dV=-Sdh, (1)

где S – площадь основания бака, а знак «-» указывает на то, что высота слоя воды уменьшается. С другой стороны уменьшение объёма воды за время dt

dV=S₁υdt, (2)

где S – площадь отверстия; υ - скорость истечения воды из отверстия, определяемая согласно формуле Торричелли (применима при S₁ << S),

(3)

где h – высота уровня воды в данный момент времени.

Приравняв выражение (1) и (2) и учитывая формулу (3), можем записать

,

откуда

.

Время вытекания всей воды из бака

(4)

где h₁ - первоначальный уровень воды. Из выражения (4)

(5)

Первоначальный объём воды

V=h₁S, (6)

Подставив в формулу (6) выражение (5), и учитывая, что ,, найдём искомый объём воды

.

Ответ: V=2м³.

Пример 8.1. В области соприкосновения двух параллельно текущих слоёв воды их скорость изменяется, как показано на рисунке. Определите силу внутреннего трения F, если площадь S соприкосновения слоев равна 3м². Динамическая вязкость воды η=10^-3Па∙с.

Дано: S=3м²; η=10^-3Па∙с.

Найти: F.

Решение. Сила внутреннего трения между слоями текущей жидкости

, (1)

где η – динамическая вязкость жидкости; - градиент скорости;S - площадь соприкосновения слоёв.

Согласно заданному графику,

.

Подставляя значения физических величин в формулу (1), искомая сила внутреннего трения F=6∙10^-3Н.

Ответ: F=6 мН

Пример 8.1. Шарик радиусом r=2мм падает в глицерине с постоянной скоростью υ=8,5 мм/с. Определите число Рейнольдса Re и плотность ρ₁ материала шарика, если критическое число Рейнольдса Re_кр =0,5. Плотность глицерина ρ=1,26г/см³, динамическая вязкость глицерина η=1,48 Па∙с.

Дано: r=2мм =2∙10^-3 м; υ=8,5мм/с=8,5∙10^-3 м/с; Re_кр =0,5; η=1,48 Па∙с; ρ=1,26г/см³=1,26∙10³ кг/м³).

Найти: Re; ρ₁.

Решение. Характер течения жидкости зависит от числа Рейнольдса, определяемого формулой

,

где ρ– плотность жидкости; υ - скорость жидкости; d - диаметр шарика; η - динамическая вязкость жидкости. Учитывая данные задачи, получаем Re=0,029. Поскольку Re < Re_кр , то движение жидкости является ламинарным.

Стокс установил, что при небольших скоростях и размерах тел (при малых Re) сопротивление среды обусловлено практически только силой трения, определяемой по формуле

F=6πηrυ,

где r – радиус шарика.

При установившемся движении шарика в глицерине (υ=const) сила тяжести шарика (Р) уравновешивается выталкивающей силой (F_A) и силой трения (F):

P=F_A+F или

ρ₁gV =ρgV+6πηrυ (1)

где g – ускорение свободного падения; V- объём шарика. Подставив в уравнение (1) и решив его, найдём искомую плотность материала шарика:

Ответ: Re=0,029; ρ₁=2,7 г/см³.