1)Понятие степени. Свойства степеней. Примеры.
Степенью называется выражение вида: , где:
— основание степени;
— показатель степени.
Степень с натуральным показателем {1, 2, 3,...}
Определем понятие степени, показатель которой — натуральное число (т.е. целое и положительное).
По определению: .
Возвести число в квадрат — значит умножить его само на себя:
Возвести число в куб — значит умножить его само на себя три раза: .
Возвести число в натуральную степень — значит умножить число само на себяраз:
Степень с целым показателем {0, ±1, ±2,...}
Если показателем степени является целое положительное число:
, n > 0
Возведение в нулевую степень:
, a ≠ 0
Если показателем степени является целое отрицательное число:
, a ≠ 0
Прим: выражение не определено, в случаеn ≤ 0. Если n > 0, то
Пример 1.
Степень с рациональным показателем
Если:
a > 0;
n — натуральное число;
m — целое число;
Тогда:
Пример 2.
Свойства степеней
Произведение степеней | |
Деление степеней | |
Возведение степени в степень |
Пример 3.
Корень
Арифметический квадратный корень
Уравнение имеет два решения:x=2 и x=-2. Это числа, квадрат которых равен 4.
Рассмотрим уравнение . Нарисуем график функциии увидим, что и у этого уравнения два решения, одно положительное, другое отрицательное.
Но в данному случае решения не являются целыми числами. Более того, они не являются рациональными. Для того, чтобы записать эти иррациональные решения, мы вводим специальный символ квадратного корня.
Арифметический квадратный корень — это неотрицательное число, квадрат которого равен,a ≥ 0. При a < 0 — выражение не определено, т.к. нет такого действительного числа, квадрат которого равен отрицательному числу.
Корень из квадрата
Например, . А решения уравнениясоответственнои
Кубический корень
Кубический корень из числа — это число, куб которого равен. Кубический корень определен для всех. Его можно извлечь из любого числа:.
Корень n-ой степени
Корень -й степени из числа— это число,-я степень которого равна.
Если — чётно.
Тогда, если a < 0 корень n-ой степени из a не определен.
Или если a ≥ 0, то неотрицательный корень уравнения называется арифметическим корнемn-ой степени из aи обозначается
Если — нечётно.
Тогда уравнение имеет единственный корень при любом.
Пример 4.
2) Понятие арксинуса и арккосинуса числа. Примеры. И 3 вопрос Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс – основные сведения.
Задача, обратная нахождению значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса данного угла, подразумевает нахождение угла по известным значениям тригонометрических функций. Она приводит к понятиям арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа.
В этой статье мы дадим определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа, введем принятые обозначения, а также приведем примеры арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса. В заключение обговорим некоторые тонкости, касающиеся этой темы, и покажем, как арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс связаны с единичной окружностью.
Навигация по странице.
Определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа.
Обозначения arcsin, arccos, arctg и arcctg.
Примеры.
Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа или угла?
Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс на единичной окружности.
Определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа
Дадим определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа.
Определение.
Арксинус числа a из интервала от −1 до 1 включительно – это такой угол, лежащий в пределах от −π/2 до π/2 (от −90 до 90 градусов) включительно, синус которого равен a.
Определение.
Арккосинусом числа a, −1≤a≤1, называется такой угол из отрезка [0, π] (от нуля до180 градусов включительно), косинус которого равен a.
Определение.
Арктангенсом числа a, a – любое действительное число, называется угол из интервала(−π/2, π/2) (от −90 до 90 градусов не включительно), тангенс которого равен a.
Определение.
Арккотангенс числа a, a – любое действительное число, - это такой угол из интервала(0, π) (от нуля до 90 градусов не включительно), котангенс которого равен a.
Из приведенных определений видно, что арксинус и арккосинус числа определены для чисел, лежащих в интервале [−1, 1], для остальных чисел арксинус и арккосинус не определяются. Например, не определены arcsin 2, арксинус пяти, арксинус минус корня из трех, арккосинус семи целых двух третьих и арккосинус минус пи, так как числа 2, 5, не лежат в интервале от−1 до 1.
В свою очередь определения арктангенса и арккотангенса даются для любых действительных чисел a. То есть, имеют смысл и арктангенс нуля, и арктангенс −500,2, и арккотангенс миллиарда, и арккотангенс −π/3, как и арктангенс, и арккотангенс любого другого действительного числа.
Также стоит отметить, что при условиях, указанных для числа a в определениях, арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс существуют, причем они определены однозначно, то есть, для данного числа a имеют единственное значение.
К началу страницы
Обозначения arcsin, arccos, arctg и arcctg
Для записи арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса приняты следующиеобозначения: arcsin, arccos, arctg и arcctg. То есть, арксинус числа a можно записать какarcsin a, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа a запишутся соответственно как arccos a,arctg a и arcctg a.
Также можно встретить обозначения arctan и arccot, они являются другой формой обозначения арктангенса и арккотангенса, принятой в англоязычной литературе. Мы же арктангенс и арккотангенс будем обозначать как arctg и arcctg.
В свете введенных обозначений, определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа запишутся как:
arcsin a, где −1≤a≤1, есть угол α, если sinα=a и −π/2≤α≤π/2;
arccos a, где −1≤a≤1, есть угол α, если cosα=a и 0≤α≤π;
arctg a, где a – любое действительное число, есть угол α, если tgα=a и −π/2≤α≤π/2;
arcctg a, где a – любое действительное число, есть угол α, если ctgα=a и 0≤α≤π.
К началу страницы
Примеры
Самое время привести примеры арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа.
Начнем с примеров арксинуса. Угол π/3 является арксинусом числа , это действительно так, так как числопринадлежит интервалу от−1 до 1, угол π/3 лежит в пределах от −π/2до π/2 и . Приведем еще несколько примеров арксинуса числа:arcsin(−1)=−π/2,arcsin(0,5)=π/6, .
А вот π/10 не является арксинусом 1/2, так как sin(π/10)≠1/2. Еще пример: не смотря на то, что синус 270 градусов равен −1, угол 270 градусов не является арксинусом минус единицы, так как 270 градусов не является углом в пределах от −90 до 90 градусов. Более того, угол 270градусов вообще не может быть арксинусом какого-либо числа, так как арксинус числа должен лежать в пределах от −90 до 90 градусов.
Для полноты картины осталось привести примеры арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа. Например, угол 0 радиан является арккосинусом единицы (так как выполняются все условия из определения арккосинуса: число 1 лежит в отрезке от −1 до 1, угол нуль радиан лежит в пределах от нуля до пи включительно и cos0=1), угол π/2 есть арккосинус нуля. По определению арктангенса числа arctg(−1)=−π/4 и арктангенс корня из трех равен 60 градусам (π/3 рад). А из определения арккотангенса можно заключить, чтоarcctg0=π/2, так как π/2 лежит в открытом интервале от 0 до пи и ctg(π/2)=0.
К началу страницы
Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа или угла?
В первом пункте данной статьи мы дали определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа. Таким образом, мы говорим именно об арксинусе, арккосинусе, арктангенсе и арккотангенсе числа, а не угла.
Для себя нужно четко разграничить, что существует синус, косинус, тангенс и котангенс УГЛА, их значениями являются числа, и обратно: существует арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс ЧИСЛА, их значениями являются углы.
К началу страницы
Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс на единичной окружности
Чтобы получить наглядное представление об арксинусе, арккосинусе, арктангенсе и арккотангенсе числа a, взглянем на них с позиций геометрии. Это несложно сделать, если знать про линии синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов.
arcsin a, arccos a, arctg a и arcctg a можно связать с дугами единичной окружности, стягивающими углы, соответствующие значениям арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа a.
Для примера получим дугу, соответствующую арксинусу числа a. Для этого на линии синусов отметим точку, отвечающую числу a, после чего из нее проведем луч, параллельно и в положительном направлении оси абсцисс. Этот луч будет пересекать единичную окружность в некоторой точке. Дуга единичной окружности от этой точки до начальной точки с координатами(1, 0) и будет отвечать арксинусу числа a.
По схожим принципам можно получить дуги, отвечающие арккосинусу, арктангенсу и арккотангенсу числа a. На рисунке ниже синими линиями показаны дуги, отвечающие арккосинусу, арктангенсу и арккотангенсу числа a.
4) Показатели функции, ее свойства и график.
В практике часто используются функции y=2x,y=10x,y=(12)x,y=(0,1)x и т. д., т. е. функция вида y=ax, где a - заданное число, x - переменная. Такие функции называют показательными. Это название объясняется тем, что аргументом показательной функции является показатель степени, а основанием степени - заданное число.
Функция, заданная формулой y=ax(где a>0,a≠1), называется показательной функцией с основанием a.
Сформулируем основные свойства показательной функции:
1. Область определения - множество R действительных чисел.
2. Область значений - множество R+ всех положительных действительных чисел.
3. При a>1 функция возрастает на всей числовой прямой; при 0<a<1 функция убывает на множестве R.
ax1<ax2, если x1<x2,(a>1),
ax1>ax2, если x1<x2,(0<a<1)
4. При любых действительных значениях x и y справедливы равенства
axay=ax+yaxay=ax−y(ab)x=axbx(ab)x=axbx(ax)y=axy
Графики показательных функций изображены на рисунках:
1) для случая a>1
2) для случая 0<a<1
Логарифм и его свойства. Примеры
Логарифмом числа по основанию() называется такое число, что, то есть записииравносильны. Логарифм имеет смысл, если.
Если немного перефразировать - Логарифм числа по основаниюопределяется как показатель степени, в которую надо возвести число, чтобы получить число(Логарифм существует только у положительных чисел).
Логарифм в переводе с греческого буквально означает "число, изменяющее отношение".
Специальные обозначения:
Натуральный логарифм - логарифм по основанию, где-число Эйлера.
Десятичный логарифм - логарифм по основанию 10.
Свойства логарифмов:
1° -основное логарифмическое тождество.
2°
3°
Логарифм единицы по любому положительному, отличному от 1, основанию равен нулю. Это возможно потому, что из любого действительного числа можно получить 1 только возведя его в нулевую степень.
4° -логарифм произведения.
Логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей.
5° -логарифм частного.
Логарифм частного (дроби) равен разности логарифмов сомножителей.
6° -логарифм степени.
Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм ее основания.
7°
8°
9° - переход к новому основанию.
Вычислить , если
Решение. Перепишем данное выражение, используя свойство логарифма степени и логарифма произведения:
Ответ.