1 Қарапайым дифференциалдық теңдеулерді
сандық әдістермен шешу
Оқу құралында негізінен бірінші ретті кәдімгі дифференциалдық теңдеулер үшін Коши есебі қарастырылады:
(9)
Теңдеудің
оң жағы, екі айнымалыдан тәуелді
функция
–
қандайда
бір
облыста
анықталған
деп
есептейміз.
1.1
Эйлер
әдісі.
(9) -дифференциалдық
теңдеу
үшін
Коши
есебінің
белгісіз
шешімі
–
функцияның
жуық
сандық
мәндері
былайша
анықталады:
(10)
Әрбір келесі адымдағы есептеу қателігі
өрнек арқылы анықталады.
1.2 Эйлер-Кошидің жетілдірілген әдісі немесе «предиктор-корректор» әдісі . Әуелі (10) - формула арқылы
шамаларды есептейміз. Ол есептеуді «предикторлық есептеу» деп атайды. Соңынан ол шамалардың мәндері
формулалр арқылы анықтала түседі. Бұл есептеуді «корректорлық есептеу» деп атайды. Әр адымдағы есептеу қателігінің реті – h3 тең.
1.3 Рунге-Кутт әдісі. Бұл әдіс қолданбалы математикада, ин-женерлік-техникалық есептерді сандық тәсілмен шешуде кеңінен пайдаланылады. Шешімінң жуық сандық мәндері былайша есеп-телінеді:
Бұл арада:
,
Әр
адымдағы есептеу қателігінің реті –
тең.
2 Рунге-Кутт әдісінің программа листингі
program RUNGE;
uses crt;
label 1;
var x0,y0,x,y,h,a,b,c:real;
n,i:integer;
function f(x,y:real):real;
begin
f:=x+sin(y/2.8);
end;
begin
window(1,1,80,25);
textbackground(1);
clrscr;
writeln('****************************************************');
writeln('* *');
writeln('* Данной программой определяетсяся *');
writeln('* численное решение дифференциального уравнения *');
writeln('* методом Рунге-Кутта *');
writeln('* *');
writeln('****************************************************');
writeln;
window(15,5,65,15);
textbackground(0);
clrscr;
textcolor(13);
writeln('Введите исходные данные x0, y0, h, n');
readln(x0,y0,h,n);
x:=x0;
y:=y0;
i:=0;
writeln(x:7:4,' ',y:7:4);
1: a:=h*f(x,y);
x:=x+h/2;
y:=y0+a/2;
b:=h*f(x,y);
y:=y0+b/2;
c:=h*f(x,y);
x:=x+h/2;
y:=y0+c;
y:=y0+(a+2*(b+c)+h*f(x,y))/6;
writeln(x:7:4,' ',y:7:4);
if i>n then exit else
i:=i+1;
y0:=y;
goto 1;
end.
Қорытынды
Техникалық объектілер мен жүйелерді, өндірістік процестерді автоматтандыру күрделі ғылыми-техникалық проблема болып есептелінеді. Бұл мәселені ойдағыдай деңгейде шешу үшін техника мен технологияны ғана емес, сонымен бірге уақыт талабына сай басқару әдістері мен ғылыми идеяларды қолданған жөн. Дербес тұрғыдан қарағанда, техникалық – объектілерді автоматтандырудың жоғары технико-экономикалық сипаттамаларын алу үшін басқарудың оптималдық және адаптивтік теориясының маңызы зор. Оптималды және адаптивті басқаруды іс жүзінде кеңінен енгізу жолында, осы әдістерді әрі қарай дамыту мүмкіндігін туғызатын есептеу техникасы құралдарын қолданған жөн. Өндірістік процестер мен технологиялық объектілерді автоматтандыру үшін өндіріс тиімділігін көтеру қажеттілігі тиімді және адаптивті басқару теориясын мен әдістердің негізі даму тенденцияларын анықтайды.
2 ескерту. Жуық xi+1 түбірді (2) формуламен есептегенде оны кіші жағына қарай дөңгелектеу қажет. 10
5 ескерту. Жоғарыда айтылғандардың барлығы орындалуы үшін бастапқы жуық шешім дәл шешімге мейлінше жақын болуы тиіс. Сондықтан, бүл әдісті алдынан қандай да бір әдісті қолданып, алғашқы жуық шешімнің мәнін анықтап алған дұрыс болады. 11
8.1.1 Цирлин А. М. Оптимальное управление технологическими процессами.- М.: Энергоатомаиздат, 1986.400с.
8.1.2 Чураков Е. П. Оптимальные и адаптивные системы: Учеб. Пособие для вузов. – М.: Энергоатомиздат, 1987. – 256 с.: ил.
8.1.3 Иванов В. А., Фалдин Н. В. Теория оптимальных систем автоматического управления. – М.: Наука, 1981. – 336 с.
8.1.4 Куропаткин П. В. Оптимальные и адаптивные системы. – М.: Высш. шк., 1987. – 256 с.
8.1.5 Александров А. Г. Оптимальные и адаптивные системы. – М.: Высш. шк., 1989. – 263 с.
8.2 Қосымша
8.2.1 Балакирев А.С., Володин В.М.,. Цирлин А.М Оптимальное управление процессами химической промышленности. - М.: Химия, 1978. 340 с.
8.2.2 Кротов В.Ф., Гурман В.И. Методы и задачи оптимального управления . - М.: Наука, 1978. 360 с.
8.2.3 Баласов А.Н. Моделирование и оптимизация в АСУ.- М.:Наука, 1986. 280с.
8.2.4 Геминтерн В.И., Каган Б.М. Методы оптимального проектирования.-М.:Энергия, 1980.-157