- •Едеральное агентство по образованию
- •Оглавление
- •Раздел 1. Элементы теории множеств 8
- •Раздел 2. Элементы комбинаторики 20
- •Раздел 3. Алгебра логики 36
- •Раздел 4. Синтез управляющих систем 62
- •Раздел 5. Теория графов 77
- •Введение
- •Раздел 1 элементы теории множеств
- •1.1. Множества и операции над ними
- •1.2. Алгебра множеств
- •1.3. Разбиение множества на подмножества
- •1.4. Кортежи и декартово произведение множеств
- •1.5. Отображение множеств
- •1.6. Отношения
- •1.7. Свойства бинарных отношений
- •1.8. Алгебра подмножеств
- •1.9. Задания для самостоятельной работы
- •Раздел 2 элементы комбинаторики
- •2.1. Комбинаторика
- •2.2. Различные комбинаторные соотношения
- •2.3. Свойства биномиальных коэффициентов. Биномиальная теорема. Полиномиальная теорема
- •2.4. Принцип включения и исключения
- •2.5. Формула решета
- •2.6. Производящие функции
- •2.7. Производящие функции числа основных комбинаторных объектов
- •2.8. Задания для самостоятельной работы
- •Раздел 3 алгебра логики
- •3.1. Булевы функции
- •3.2. Формулы
- •3.3. Сопоставление формулам над множеством функций
- •3.4. Свойства элементарных функций
- •3.5. Разложение булевых функций
- •3.6. Совершенная д. Н. Ф., совершенная к. Н. Ф.
- •3.7. Полные системы
- •3.8. Примеры полных систем
- •3.9. Полиномы Жегалкина
- •3.10. Единственность представления булевых функций полиномами Жегалкина
- •3.11. Методы построения полиномов
- •I. Метод построения с помощью таблицы.
- •II. Метод неопределенных коэффициентов.
- •III. Метод суперпозиции.
- •3.12. Замыкание. Свойства операции замыкания. Замкнутые классы
- •3.13. Классы и их свойства
- •3.14. Линейные функции и их свойства
- •3.15. Принцип двойственности
- •3.16. Самодвойственные функции, их свойства
- •3.17. Лемма о несамодвойственной функции
- •3.18. Монотонные функции, их свойства
- •3.19. Лемма о немонотонной функции
- •3.20. Теорема о полноте в р2
- •3.21. Предполные классы
- •3.22. Возможность выделить из любой полной системы полную подсистему, состоящую из не более чем 4-х функций
- •3.23. Представление о результатах Поста
- •3.24. Задания для самостоятельной работы
- •Раздел 4 синтез управляющих систем
- •4.1. Схемы из функциональных элементов
- •4.2. Определение схем из функциональных элементов
- •4.3. Основные понятия и определения
- •4.4. Возможность реализации любой функции алгебры логики сфэ
- •4.5. Простейшие методы синтеза
- •4.6. Метод Шеннона
- •4.7. Асимптотически наилучший метод (метод о.Б. Лупанова)
- •4.8. Задания для самостоятельной работы
- •Раздел 5 теория графов
- •5.1. Элементы теории графов
- •5.2. Основные понятия и определения
- •5.3. Способы задания графа
- •5.4. Некоторые соотношения в графе
- •5.5. Перечисление графов
- •5.6. Оценка числа неизоморфных графов с p вершинами
- •5.7. Оценка числа неизоморфных графов с q ребрами
- •5.8. Укладки графов. Укладка графов в трехмерном пространстве
- •5.9. Планарность. Формула Эйлера для плоских графов
- •5.10. Следствия из формулы Эйлера для плоских графов
- •5.11. Операция подразделения ребра
- •5.12. Гомеоморфность графов
- •5.13. Теорема Понтрягина-Куратовского
- •5.14. Деревья и их свойства
- •5.15. Деревья и операции над ними
- •5.16. Оценка числа неизоморфных корневых деревьев на p вершинах
- •5.17. Задания для самостоятельной работы
- •Литература Основная
- •Дополнительная
- •Михеева Елизавета Алексеевна
3.10. Единственность представления булевых функций полиномами Жегалкина
Теорема 6. Каждая функция может быть представлена в виде полинома Жегалкина, причем единственным образом.
Доказательство:
1) По следствию 3 теоремы 3
. (4)
Нам необходимо избавиться от отрицаний в сумме (4). Воспользуемся формулой , так как
Действительно: если , то , если , то .
Преобразуем формулу (4):
.
В нашей сумме уже нет отрицаний над переменными. Теперь раскроем скобки: ,– различные конъюнкции от переменных. Таким образом, мы показали, что каждая функция изпредставима в виде полинома Жегалкина.
2) Докажем единственность. Для этого подсчитаем число полиномов и сравним с числом функций от n переменных.
Выпишем все различные конъюнкции , каждая коньюнция либо входит в полином, либо не входит, поэтому полиномов всего будет . Число функций ||=.
Вывод:
1) Получили, что число полиномов равно числу функций от переменных.
2) Каждая функция представляется хоть каким-нибудь полиномом.
3) Каждый полином реализует только одну функцию.
Таким образом, представление функции в виде полинома единственно.
Теорема полностью доказана.
3.11. Методы построения полиномов
I. Метод построения с помощью таблицы.
По следствию 3 теоремы 3 функция
(5)
Воспользовавшись формулой xσ , избавимся от отрицания в сумме (5) и получим полином Жегалкина.
Пример. Выразить xy в виде полинома Жегалкина методом таблиц.
Вначале функцию xy представим в виде таблицы:
|
xy |
0 0 0 1 1 0 1 1 |
0
1
(6) 1 1 |
Далее, согласно (5), =
, так как , то есть,
мы получили построение дизъюнкции в виде полинома.
II. Метод неопределенных коэффициентов.
Согласно теореме 6 функция
. (7)
В сумме (7) неизвестными являются коэффициенты ,их всего .
Исходя из табличного представления данной функции, точнее, подставив данные каждой строки табличного представления в соотношение (7),
получим конкретные значения неизвестных коэффициентов .Далее, подставив значения коэффициентов в соотношение (7), получим полином Жегалкина.
Пример. Выразить функцию с заданной таблицей (6) в виде полинома Жегалкина методом неопределенных коэффициентов.
Согласно (7) ,где неизвестными являются коэффициенты .
Возьмем наборы:
, тогда
, тогда
, тогда
, тогда
Значит, .
III. Метод суперпозиции.
Зная представление одной функции в виде полинома Жегалкина, всегда можно найти представление в виде полинома других функций, полученных из исходной заменой переменных.
Пример. Известно что . Тогда
1)
2) 3)
.
3.12. Замыкание. Свойства операции замыкания. Замкнутые классы
С понятием полноты тесно связано понятие замыкания и замкнутого класса.
Определение. Пусть – некоторое подмножество функций из.Замыканием называется множество всех булевых функций, представимых в виде формул через функции множества. Замыкание множестваобозначается через.
Отметим некоторые свойства замыкания:
1) ;
2) ;
3) если , то;
4) если мы рассмотрим и,и, то.
Определение. Класс (множество) называетсязамкнутым, если .
Пример:
1) Класс является замкнутым классом.
2) – незамкнутый класс, так как, а
3) – незамкнутый класс, так как подстановкой других переменных мы можем получить из функциифункцию, а.
Замечание. В терминах замыкания и замкнутого класса можно дать другое определение полноты: – полная система, если .