Лекции УТС корр2014
.pdf
11
Расход жидкости зависит от положения выходного крана М и уровня в баке Н.
При постоянной площади сечения трубопровода расход пропорционален скорости W. Будем считать, что сопротивление на выходе сосредоточено в выходном кране М.
Тогда Gотв Км 
2 gH
Подвод жидкости не зависит от уровня Н, а зависит только от выходной координаты регулирующего органа Yро.
Известно, что:
-при расчетном уровне Нр=4 Gотв =2.
-в равновесном состоянии при максимальном открытии впускного и выпускного кранов уровень в баке Н = 4.
Схема построена по закону разомкнутого управления (рис. 7).
Рис. 7. Структурная схема системы управления Построим характеристики отвода и подвода жидкости для трех различных
положений арматуры на подводе и отводе: от полностью открытой до открытой на 1/3 (рис. 8)
|
3 |
3 |
||
|
|
|||
|
|
|
|
|
K1 |
|
h |
2. 5 |
|
|
|
|
|
|
K1 
h
2
2
K1 
h
3
1. 5
K2
K2
1
2
K2
3 0. 5
0 0
3 |
3. 5 |
4 |
4. 5 |
5 |
3 |
|
h |
|
5 |
Рис.8 Расходные характеристики системы управления.
Из расходных характеристик следует, что при соответствии регулирующих органов на подводе и отводе одинаковому расходу, в баке будет поддерживаться расчетный уровень Н= 4.
Что будет происходить в системе при случайных внешних воздействиях? Например, помимо подводящего трубопровода добавят жидкость в бак так, что уровень поднимется до 5 без изменения положений регулирующих органов. Подвод останется на прежнем уровне, а отвод увеличится в соответствии с расходной характеристикой и будет повышенным до тех пор, пока уровень не вернется к расчетному значению. Аналогично при уменьшении уровня в баке отвод уменьшится, и система будет стремиться к восстановлению равновесия. Таким образом, система является статически устойчивой,
12
хотя количество отводимой жидкости не будет постоянным в течение переходного процесса.
Попытаемся улучшить характеристики системы так, чтобы количество отводимой жидкости соответствовало всегда задаваемому значению М (т.е. нагрузке). Например, добавим поплавковый регулятор уровня таким образом, чтобы среднее положение арматуры на подводе соответствовало расчетному уровню жидкости в баке θ0.
Составим математическое описание энергетического баланса в полученной системе. Характеристика подвода будет иметь вид:
qпод = f(ξ , Δθ) qот= f(λ , θ)
При постоянной нагрузке и постоянном положении регулирующей арматуры на подводе (ξ=const) и на отводе (λ =const), если принять линейной зависимость расхода от положения регулирующей органов
qпод = кпод·Δθ = кпод·(θ0- θ)
q от к от 
где кпод и кот - коэффициент статической характеристики объекта по стороне подвода и кот - коэффициент статической характеристики объекта по стороне отвода.
По взаимному расположению характеристик подвода и отвода т.е. по величине и знаку кпод и кот , можно судить, обладает ли система статической устойчивостью.
В.И. Крутовым предложена количественная мера статической устойчивости объекта, которую он назвал «фактором устойчивости»:
Fоб |
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q = |
qотв - |
|
|
qпод |
|
||||||||||
Если Fоь > 0, объект обладает статической устойчивостью |
|||||||||||||||
q отв |
|
|
dq |
отв |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
d |
|
|
|
1 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
q под |
|
|
dq |
под |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
В рассматриваемом случае |
|||||||||||||||
qпод = - кпод·Δθ |
|
||||||||||||||
q отв |
к отв |
0 ,5 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Fоб к отв |
0 ,5 |
|
|
к под |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Т. к. кпод и кот - положительные числа, объект будет обладать статической устойчивостью.
5. Математическое описание САУ. Динамические звенья.
Система управления в любой момент времени производит преобразование входного сигнала x(t) в выходной сигнал y(t).
Для математического описания системы целесообразно представить ее в виде совокупности простых звеньев, называемых динамическими звеньями.
13
Динамическое звено – это элемент системы, имеющий только один входной параметр x(t) и один выходной y(t) и характеризуемый определенной однозначной зависимостью
y(t) =f[x(t)]
Совокупность динамических звеньев, соответствующих действию САУ или ее части, называется структурной схемой.
5.1 Типы динамических звеньев
По уровню реакции на время все динамические звенья делятся на порядки.
Звено нулевого порядка – если выходной сигнал мгновенно отслеживает входной сигнал. Зависимость между входным и выходным сигналом не включает никаких членов, зависящих от времени и может быть записана в видe формулы:
x = ky
Пример звена нулевого порядка – потенциометр, линейное перемещение ползунка которого мгновенно изменяет напряжение на выходе. Другим примером звена нулевого уровня является рычаг (рис 9).
Рис. 9. Примеры звеньев нулевого порядка
Для звеньев первого порядка отношение выходного сигнала к входному зависит от скорости изменения выходного сигнала:
a 1 |
dy a 0 y b 0 x |
|
dt |
Примером звена первого порядка является термометр, показывающий температуру Т0 и погруженный в среду с температурой Т1.
ВДВС звеном первого порядка является датчик температуры. Датчик температуры
–термопара, помещенная в гильзу, заполненную маслом.
Динамическое звено считается звеном второго порядка, если зависимость между входным и выходным сигналом имеет вид:
a 2 |
d 2 y |
a 1 |
dy |
a |
|
y |
b 0 x |
|
|
|
|
0 |
|||||
dt |
2 |
dt |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
Примером системы второго порядка является пружинная система с демпфированием (рис.10).
14
Рис.10 Система включает три основных элемента: массу, пружину и демпфирующее устройство –
поршень, перемещающийся в цилиндре, заполненном маслом.
5.2 Переходные характеристики.
Под переходной характеристикой понимается уравнение или график, показывающий изменение выходного сигнала при скачкообразном изменении входного.
Переходная характеристика звена нулевого уровня показана на рис.11. В этом случае выходной сигнал принимает конечное значение без запаздывания.
Рис.11
Рассмотрим переходную функцию для звена первого порядка при единичном скачке входного сигнала, т.е. при мгновенном изменении х от 0 до 1.
a 1 |
dy a 0 y b 0 x |
|
dt |
Отношение выходного сигнала к входному после математических преобразований можно представить в виде:
yb 0
x a 0
|
1 |
|
e t / |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
где η = a1/a0 – постоянная времени.
График переходной функция для звена первого порядка представлен на рис. 12.
15
Рис. 12. График переходной функция для звена первого порядка Через промежуток времени, равный 5 η, соотношение между выходным и
входным сигналом установится постоянным и равным b0/a0.
Вид переходной функции для динамической системы второго порядка
a 2 d 2 2y a 1 dy a 0 y b 0 x
dt |
dt |
|
будет зависеть от соотношения констант а0, а1 и а2, входящих в дифференциальное уравнение.
Рассмотрим в качестве примера систему, изображенную на рис. 10. Входным сигналом является сила F, выходным – длина пружины y
.Результирующая сила, действующая на массу m, равна разности приложенной силы F, силы упругости пружины (от растяжения или сжатия), и силы демпфирующего устройства.
Сила упругости пружины пропорциональна изменению ее длины y, т.е. ее можно представить в виде ky, где k – коэффициент жесткости пружины.
Сила демпфирующего устройства будет пропорциональна скорости перемещения поршня, т.е. ее можно представить в виде c(dy/dt), где с –константа.
Результирующая сила R, действующая на массу m, будет равна:
R F ky c dy dt
По второму закону Ньютона эта сила заставляет массу двигаться с ускорением. Т.к. ускорение – производная скорости, а скорость – производная перемещения (dy/dt)
F ky |
c |
dy |
m |
dy 2 |
||||
dt |
dt |
2 |
||||||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
m |
dy 2 |
c |
|
dy |
ky |
F |
||
|
|
|
||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
||
dt dt
В случае отсутствия демпфирующего устройства масса, прикрепленная к концу пружины, будет колебаться с собственной частотой
п
k
m
Колебательные системы характеризуются коэффициентом затухания ζ, определяемым как:
с
2 
mk
Тогда уравнение движения системы приобретает вид:
16
1 |
|
d 2 y |
|
2 |
|
dy |
|
y |
1 |
F |
2 |
|
dt 2 |
п |
|
dt |
k |
||||
|
|
|
|
|
|
|||||
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если ζ =1, переходная характеристика приводится к виду: y/F =(1/k)[1-exp(-ωпt)(1+ ωпt)]
Если ζ<1, система считается недодемпфированной, и в переходной характеристике значения выходного сигнала колеблются с превышением результирующего значения у. Если ζ>1, система считается передемпфированной, и выходной сигнал за допустимый промежуток времени не достигает значения:
y 1 F k
График переходной функции при разных значениях ζ представлен на рис. 13.
Рис. 13. График переходной функция для звена второго порядка
5.3. Оператор дифференцирования и способ решения дифференциального уравнения
Для решения дифференциального уравнения удобно ввести оператор дифференцирования D.
n
D n y d y dt n
К оператору дифференцирования применимы обычные правила алгебры в случае операций с константами и операций возведения его самого в положительную степень. Запишем дифференциальное уравнение второго порядка в виде:
aD2y+bDy+cy=0
Чтобы данное уравнение превратилось в обычное квадратное уравнение необходимо, чтобы в производной повторялась сама функция y, и производные отличались только показателями степени константы перед повторяемой общей частью. Единственной функцией, отвечающей данным условиям, является функция y=Aemx. Тогда
дифференциальное уравнение преобразуется к виду: aAm2· emx + bAm· emx+ cA· emx =0
A· emx (am2 + bm + c ) =0
Уравнение (am2 + bm + c ) =0 называется характеристическим. Корни характеристического уравнения вычисляются по формуле:
m |
b |
b 2 4 ac |
|
2 a |
|
|
|
17
Если b2 > 4ac, существует два действительных корня α и β. Решение в общем виде можно записать так:
y=Aeα x+ Beβ x
Если b2 = 4ac, существует два равных корня α. Решение в общем виде можно
записать так:
y = (A + B) eα x
Если b2 < 4ac, существует два комплексных корня этого уравнения α и β. Решение записывается в виде:
y = (Acos βx + Bsin βx) eα x
Константы A и B определяются граничными условиями.
5.4 Преобразование Лапласа
Преобразование Лапласа позволяет трансформировать дифференциальные уравнения в уравнения, с которыми можно работать как с простыми алгебраическими выражениями. Преобразование Лапласа некоторой функции от времени x(t) отображается в виде функции оператора Х(р) следующим образом:
X ( p ) x ( t ) e pt dt ,
0
где р – комплексная переменная.
Алгоритм решения дифференциального уравнения с помощью преобразования Лапласа:
1.Применить преобразование Лапласа к дифференциальному уравнению.
2.Выполнить в полученном уравнении все алгебраические вычисления, т.е. определить, что произойдет с системой при скачке на входе и получить решение в Лапласовой форме.
3.Конвертировать решение в Лапласовой форме в вид функции, зависящей от времени, т.е. применить обратное преобразование Лапласа. Для использования таблицы преобразований Лапласа надо выполнить некоторые предварительные
преобразования. Часто бывает необходимо разделить решение в Лапласовой форме на отдельные дроби, чтобы привести это решение в пригодный для конвертации вид.
Рассмотрим основные правила преобразования дифференциального уравнения в форму Лапласа. При этом предполагается, что функция x(t) = 0 до момента времени t=0.
1.Сложение двух функций приведет к сложению их Лапласовых преобразований: x1(t) + x2(t) = X1(p) + X2(p)
2.Вычитание одной функции из другой риведет к вычитанию их Лапласовых преобразований: x1(t) - x2(t) = X1(p) - X2(p)
3.Умножение некоторой функции на константу приведет к умножению Лапласового преобразования на ту же константу: ax(t) преобразуется в aX(p)
4.Функция с задержкой во времени T x(t-T)преобразуется в X(p)e-Tp при условии T ≥ 0
5.Первая производная для некоторой функции примет следующий вид: преобразование Лапласа для этой функции взятое р раз минус значение этой функции в начальный момент времени t = 0.
d x ( t ) преобразуется в p∙X(p) – x(0)
dt
6.Вторая производная для некоторой функции примет следующий вид: преобразование Лапласа для этой функции взятое р2 раз минус значение этой функции и скорости ее изменения, увеличенное в р раз в начальный момент времени t = 0.
18
d 2 |
x ( t ) преобразуется в p2∙X(p) – x(0) - p d x ( 0 ) |
||
dt |
2 |
||
dt |
|||
|
|||
7.Определенный интеграл некоторой функции в интервале времени от 0 до t преобразуется в вид: преобразование Лапласа для этой функции, умноженное
на (1/р)
t
x ( t ) преобразуется в
0
1 X ( p ) p
В таблице приведены некоторые преобразования Лапласа и соответствующие им временные функции.
Преобразование Лапласа |
Временная функция x(t) |
|
Вид функции |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Х(р) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Одиночный импульс |
||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Единичный скачок |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
Линейно возрастающая |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
функция |
|
|
|
|
|
|
|
p |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t 2 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
p 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e-at |
|
|
Убывающая экспонента |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
p a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos ωt |
|
|
Косинусоидальные |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
колебания |
|
|
|
|
|
p 2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e-at sin ωt |
|
|
Затухающие |
|||||||||
|
|
( p a ) |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
синусоидальные колебания |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
p a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e-at cos ωt |
|
|
Затухающие косинусо- |
|||||||||||
|
|
( p a ) |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
идальные колебания |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1- cos ωt |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
p ( p 2 2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e t |
sin |
(1 2 |
) t |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
p 2 2 p 2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
(1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
te-at |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
( p a ) 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1- e-at |
|
|
Возрастающая экспонента |
|||||
|
|
|
|
|
p ( p a ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
1 e at |
|
|
|
|||
|
|
|
|
p 2 ( p a ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1-at) e-at |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
( p a ) 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin ωt |
|
|
Синусоидальные колебания |
||||||||
p 2 2
Если имеется уравнение, определяющее связь между выходным и входным сигналом в дифференциальной форме:
19
a 0 |
d n y |
a 1 |
d n 1 y |
a n 1 |
dy |
a n y |
b 0 |
d n x |
b 1 |
d n 1 x |
b n 1 |
dx |
b n x , |
|||||||
dt |
n |
dt |
n |
1 |
dt |
dt |
n |
dt |
n |
1 |
dt |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
его можно представить в виде отображения в Лапласовой форме;
(a0pn + a1pn-1 +… an )Y(p) = (b0pn + b1pn-1 +… bn )X(p)
Характеристикой связи между входным и выходным параметром звена или системы звеньев может служить передаточная функция, которая представляет собой отношение отображения выходного параметра к отображению входного параметра при нулевых начальных условиях:
W ( p ) |
Y ( p ) |
|
b 0 p n |
b 1 p n 1 |
... b n |
|
B ( p ) |
||||
X ( p ) |
a 0 p |
n |
|
a 1 p |
n 1 |
... a n |
A ( p ) |
||||
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Передаточная функция позволяет получить характеристики звена или системы. Для получения переходной характеристики следует задать ступенчатое
изменение входного параметра: x(t) = 0 при t < 0
x(t) = 1 при t ≥ 0
В преобразовании по Лапласу этому значению соответствует Х(р) =1/р. Тогда величина выходного параметра в преобразованном виде:
Y ( p ) X ( p ) W ( p ) W ( p ) p
B ( p )
Y ( p )
pA ( p )
Таким образом, отображением выходного параметра будет отношение полиномов. Оно может быть преобразовано в сумму простых дробей, являющихся отображением экпоненциальных функций времени.
5.5 Примеры динамических звеньев.
Кроме приведенной выше классификации звеньев по уровню реакции на время существует классификация звеньев по их назначению в системе управления.
Усилительное звено
Усилительное звено – устройство, повышающее значение некоторой величины за счет энергии постороннего источника с постоянным коэффициентом передачи.
Усилители широко применяются в автоматике в измерительных устройствах и при передаче управляющего сигнала к исполнительному механизму. Простейшим примером усилительного звена является шестереночная передача, увеличивающая угловую частоту вращения.
Применение шестереночных передач в приводах центробежных регуляторов скорости позволяет увеличить силу регуляторного воздействия до требуемого уровня без увеличения размеров исполнительного механизма. Как известно, центробежная сила при постоянной массе и радиусе вращения зависит от квадрата угловой скорости: Fцб = m·r·ω2, поэтому при увеличении частоты вращения оси регулятора скорости необходимое для перемещения рейки топливного насоса усилие будет отбираться от двигателя без выхода отклонения его частоты вращения за допустимые пределы.
Другими примерами усилительного звена являются трансформаторы напряжения и тока.
Усилительное звено относится к динамическим звеньям нулевого порядка и описывается уравнением: y(t)=kx(t) .
20
Апериодическое (инерционное) звено первого порядка.
Такое звено описывается дифференциальным уравнением:
T dy |
y kx |
dt |
, |
где T – постоянная времени звена, а k – коэффициент усиления. Электрическим аналогом такого звена является цепочка с сопротивлением R и емкостью С (рис. 14).
Рис. 14 Апериодическое (инерционное) звено
Входной параметр U1 = x. выходной U2 = y. Если изменится входное напряжение, появится ток в цепи конденсатора. Выходное напряжение будет связано с входным соотношением: U1 = U2+IR. Сила тока в цепи конденсатора:
I C dU 2 dt
При подстановке получаем:
RC dy y x dt
Постоянная времени звена T = RC, коэффициент усиления k = 1.
Другим примером апериодического звена является уже рассмотренный нами пример чувствительного элемента измерителя температуры. Переходная характеристика уже рассмотрена выше и представляет собой экспоненциальную зависимость
y= kx(1-e-t/T)
Передаточная функция:
Дифференциальное звено.
Дифференциальное звено описывается уравнением:
dx
dt ,
где Td – постоянная дифференцирования. При мгновенном ступенчатом изменении входного параметра выходной параметр тоже мгновенно возрастает до бесконечности и тут же снижается до 0, т.е. при единичном скачке входного параметра дифференциальное звено выдает одиночный импульс. Если входная величина меняется с постоянной скоростью, на выходе должен быть постоянный сигнал. В реальности такое звено сложно реализовать.
Электрическим аналогом является цепочка с конденсатором С, если входным параметром считать напряжение, а выходным – силу тока.
y C du dt