- •2.1Свойства операций над векторами.
- •2,2 Линейная зависимость и независимость векторов.
- •Геометрическая интерпретация скалярного произведения.
- •Свойства смешанного произведения:
- •Угол между двумя прямыми
- •Расстояние от точки до прямой
- •Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору
- •Векторное уравнение прямой в пространстве
- •Общие уравнения прямой в пространстве
- •Расстояние от точки до прямой в пространстве – теория, примеры, решения.
- •Первый способ нахождения расстояния от точки до прямой a в пространстве.
- •Второй способ, позволяющий находить расстояние от точки до прямой a в пространстве.
- •Решение задач на нахождение расстояния от заданной точки до заданной прямой в пространстве.
- •Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.
- •Проекция точки на плоскость
Геометрическая интерпретация скалярного произведения.
Скалярное произведение (a, b) векторов a и b равно произведению модулей этих векторов на косинус угла между этими векторами.
То есть (a, b) =|a| · |b| cos∠(a, b),
где ∠(a, b) есть угол между векторами a и b :
Проекцией вектора b на вектор a, , будем называть проекцию вектора b на любую ось, параллельную вектору a и имеющую направление, совпадающее с направлением вектора a.
2,4
2,5
Сме́шанное произведе́ние векторов — скалярное произведение вектора на векторное произведение векторов и :
.
Геометрический смысл смешанного произведения: если тройка векторов правая, то их смешанное произведение равно объему параллелепипеда построенного на этих векторах: . В случае левой тройки смешанное произведение указанных векторов равно объему параллелепипеда со знаком минус: . Если , и компланарны, то их смешанное произведение равно нулю.
Итак, из выше сказанного можно сделать вывод, что объем параллелепипеда, построенного на векторах , и равен модулю смешанного произведения этих векторов:
Объем пирамиды, построенной на этой тройке векторов равен
Свойства смешанного произведения:
1°
2°
3° Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда
4° Тройка векторов является правой тогда и только тогда, когда . Если же , то векторы , и образуют левую тройку векторов.
5°
6°
7°
8°
9°
10° Тождество Якоби:
Если векторы , и заданы своими координатами, то их смешанное произведение вычисляется по формуле
Теорема 4.10. Векторное произведение линейно по каждому из сомножителей. Доказательство. В силу теоремы 4.6 достаточно показать, что для любых векторов a, b, c и любого числа α ∈ R имеют место равенства [a +b, c] = [a, c] + [b, c] и [αa, b] = α[a, b]. Пусть d = [a +b, c] - [a, c] - [b, c]. Тогда (d, d) = (a + b, c, d) - (a, c, d) - (b, c, d). Из линейности смешанного произведения следует, что (d, d) = (a, c, d) + (b, c, d)- (a, c, d) - (b, c, d) = 0. Это доказывает первое из требуемых равенств. Второе равенство доказывается аналогично. Теорема доказана.
Теорема 4.6. Векторное произведение антикоммутативно, т.е. [a, b] = -[b, a], ∀ a, b. Доказательство.Утверждение теоремы очевидно, если a и b коллиниарны. Пусть a и b не коллиниарны, тогда [a, b] ≠ 0, [b, a] ≠ 0, при этом |[a, b]| = |[b, a]| = Sab и [a, b], [b, a] перпендикулярны плоскости π (a, b). Значит, либо [a, b] = [b, a], либо [a, b] = - [b, a]. Но вектор [b, a] ≠ [a, b], так как тройка векторов b, a, [b, a] − правая (по определению векторного произведения) и, следовательно, тройка a, b, [b, a] − левая. Теорема доказана.
Смешанное произведение линейно по каждому аргументу.
Линейность операции по какому-то аргументу означает выполнение двух условий:
1) если аргумент умножить на число, то и результат умножится на это число, то есть числовой множитель аргумента можно вынести за знак операции;
2) если аргумент заменить суммой двух слагаемых, то результат будет равен сумме результатов для каждого слагаемого.
В частности, утверждение, что смешанное произведение линейно по второму аргументу, означает:
1) ;
2) .
Доказательство предложения 10.28. Соотношения и следуют из того, что abc является скалярным произведением a на и из линейности скалярного произведения (свойства 2,3, теорема 10.2).
Для второго аргумента: в силу равенства (10.8) выполнено , поэтому
Для третьего аргумента свойство линейности доказывается аналогично.
3,1