3курс,VIсем Задачи инт ур

π

9.13

V[ y] = ∫2

(4 y2 + y′2 + 2 y cos x)dx .

0

9.14

V[ y] = ∫2

(2 y + yy′+ x2 y′2 )dx .

1

9.1

y(x) = −2x,

ξ =1.

9.2

y(x) = 9x,

ξ =

1 .

x

3

9.3

y(x) =

,

ξ = 6 2 .

2

9.4

y(x) = x,

ξ =1 .

9.5

y(x) = 1+ 2x − x2 ,

ξ = 2 .

9.7

4

,

экстремаль

y(x) = 2x −2 .

5

9.8

19

2 ,

экстремаль

y(x) = −x +

3 .

8

4

9.9

2 2 −1.

9.10

y(x) =

x3

−2x .

6

9.11

y(x) =

x2

−4x .

2

9.12

y(x) ≡ 0 .

9.13

y(x) = −

1

ch 2x

+cos x

.

5

2 sh π

9.14

y(x) = 2 +ln(4x) + 4 +ln 4 .

2 +ln x .

x

9.15

y(x) = x +1

+

ln 2

Рассмотрим функционал

b

′

′

(1)

V[ y, z] =∫F(x, y, z, y , z )dx

a

с граничными условиями

y(a) = y0 ,

y(b) = y1

,

(2)

z(a) = z0 ,

z(b) = z1 .

и дополнительным условием связи вида

′

′

(3)

Φ(x, y, z, y , z ) = 0 .

b

′ ′

′ ′

функционала

′ ′

где

∫H (x, y, z, y , z ) dx ,

H ≡ F(x, y, z, y , z ) +λ(x)Φ(x, y, z, y , z )

H y −

d

H y′ = 0,

Hz −

d

Hz′ = 0 .

dx

dx

среди всех

функций

y(x) C(1) [a, b]

найти ту,

которая

доставляет

экстремум

функционалу

b

′

с граничными условиями

y(a) = y0 , y(b) = y1

при

V[ y]=∫F(x, y, y )dx ,

a

наличии связи

b

′

l - заданная постоянная.

J[ y] =∫G(x, y, y )dx = l , где

a

Изопериметрическая

задача

сводится

к

задаче

Лагранжа

введением

функции

x

′

Тогда очевидно,

что

z(a) = 0, z(b) = l,

z

′

′

и

z(x) =∫G(x, y, y )dx .

= G(x, y, y ) ,

a

рассматриваемая изопериметрическая

задача

приведена к

виду

(1)-(3),

где

b

′

граничные

условия

y(a) = y0 ,

y(b) = y1 ,

z(a)

= 0, z(b) = l , а

V[ y]=∫F(x, y, y )dx ,

a

′

′

′

′

= 0

играет роль неголономной связи типа (3)

соотношение Φ(x, y, z, y , z ) ≡ G(x, y, y ) − z

(в данном случае функция

z(x) входит только в условие связи).

Необходимые условия экстремума (изопериметрическая задача).

Пусть

Тогда

существует

постоянная

λ такая, что

функция

y(x)

удовлетворяет

уравнению Эйлера для вспомогательного функционала

b

′

где обозначено

∫H (x, y, y ) dx ,

′

′

′

a

F(x, y, y ) +

λG(x, y, y ) ≡ H (x, y, y ) .

Замечание.

Если

y(x) - экстремаль функционала J[ y] ,

то Gy

−

d

Gy′ = 0 , т.е.

b

dx

уравнение Эйлера для функционала

′

∫H (x, y, y )dx совпадает с обычным уравнением

a

Эйлера F −

d

F ′

= 0 для функционала V[ y] .

y

dx

y

a

с дополнительными условиями

J[ y] =∫b ρ(x) y2 dx =1,

y(a) = 0 ,

y(b) = 0 ,

a

где p(x) непрерывно дифференцируемая,

q(x) и

ρ(x) непрерывные на

[a, b]

функции,

причем ρ(x) > 0,

p(x) > 0 , q(x) ≥ 0 .

Решение.

В

принятых

выше

обозначениях

′

′2

+q(x) y

2

,

F(x, y, y ) = p(x) y

′

2

′

′2

+ q(x) y

2

+λρ(x) y

2

, поэтому

вспомогательный

G(x, y, y ) = ρ(x) y

, H (x, y, y ) = p(x) y

функционал имеет вид

V[ y] +λJ[ y] = ∫b

[ p(x) y′2 +q(x) y2 +λρ(x) y2 ] dx .

a

Уравнение Эйлера

d

′

dx

[ p(x) y ] −q(x) y −λρ(x) y = 0 с краевыми условиями y(a) = 0 ,

b

b

b

b

p(x) yn′(x) yn (x)

−

∫

p(x) yn′2dx −

∫

q(x) yn2dx = λn

∫

ρ(x) yn2dx ,

a

=0

a

a

a

=1

т.е. значение функционала V[ y]

на найденных экстремалях

V[ yn (x)] = −λn .

Итак, экстремалями рассматриваемой изопериметрической задачи являются

ортонормированные с весом ρ(x)

собственные функции yn (x) задачи Штурма-Лиувилля;

при этом соответствующие им собственные значения

λn представляют собой

экстремальные значения функционала −V[ y] .

a

условиях 2∫b

y dx = S ,

y(a) = A , y(b) = B . Уравнение Эйлера для функционала Лагранжа

a

V[ y]=∫b ( y2 +λy) dx в рассматриваемом случае не дифференциальное,

а алгебраическое

a

2 y +λ = 0 , и его решение y(x) = − λ существует лишь, если

A = B = −

λ и −λ(b −a) = S ,

2

2

т.е. искомым телом является цилиндр.

Пример 10.3.

На поверхности цилиндра

x2 + y2 = a2

найти кривую наименьшей длины,

соединяющую точки

(a, 0, 0)

и (0, a, h) , и расстояние между этими точками, измеренное

по поверхности цилиндра.

Решение.

Зададим

искомую

кривую

в

параметрической

форме

L :{x = x(t),

y = y(t),

z = z(t)},

тогда длина дуги этой кривой дается

функционалом

β

l =V[x, y, z] = ∫

x2 + y2 + z2 dt .

Конкретный способ выбора параметра

t

будет указан

Для

решения

задачи

требуется

найти

экстремали

функционала

β

V[x, y, z] = ∫

x2 + y2 + z2 dt

в

задаче

Лагранжа

с

голономной связью

α

ϕ(x, y, z) ≡ x2 + y2 −a2 = 0

и граничными условиями

x(α) = a,

y(α) = 0,

z(α) = 0

.

y(β) = a,

z(β) = h

x(β) = 0,

β

+λ(t)(x2 + y2 −a2 ) dt , тогда

Составим вспомогательный функционал ∫

x2 + y2 + z2

α

d

x

2λ(t) x

−

= 0

dt

x2 + y2 + z2

d

y

система уравнений Эйлера выглядит так:

2λ(t) y

−

= 0 .

dt

x2 + y2 + z2

d

z

− dt

x

2

+ y

2

+ z

2 = 0

x = 2λ(t) x

y = 2λ(t) y .

z = 0

Отсюда сразу найдем z = C , где | C |<1.

Далее,

дифференцируя

дважды

уравнение

поверхности

x2 + y2 = a2 ,

получим

xx + yy + x2

+ y

2 = 0 ,

откуда xx + yy = z2

−1 = C2 −1. Подставляя это соотношение в первые

=1−z2

два уравнения последней системы, найдем C

2

−1 = 2λ(t) (x

2

+ y

2

)

2λ(t) =

C2 −1

.

a2

= a2

Теперь уравнения Эйлера легко интегрируются и, так как

| C |<1, т.е. C2 −1 < 0 , то их

решение есть

x(t) = A1 sin γt + A2 cos γt ,

y(t) = B1 sin γt + B2 cos γt ,

z(t) = Ct +C1 -

винтовая

линия (здесь введено обозначение γ =

1−C2

).

a2

Дополнительные условия при выбранном способе параметризации кривой следует

поставить так:

x(0) = a,

y(0) = 0,

z(0) = 0

.

y(l) = a,

z(l) = h

x(l) = 0,

Условия

при

t = 0

с

учетом

x2 + y2 = a2

дают

x(t) = a cos γt,

y(t) = a sin γt,

z(t) = Ct ;

при

t = l

имеем

cos γl = 0, sin γl =1,

C = h ,

π

l

откуда

следует

γ =

,

и

уравнения

экстремали

принимают

вид

2l

z(t) = h t .

x(t) = a cos

π

t, y(t) = a sin

π

t,

2l

2l

l

πa 2

h 2

=1 , откуда l =

h

2

πa 2

параметризации, найдем

+

+

. Итак, кратчайшее

2l

l

2

расстояние между точками

(a, 0, 0)

и

(0, a, h) , измеренное

на поверхности цилиндра

x

2

+ y

2

= a

2

, равно l = h

2

πa

2

+

.

2

которого

равна l =

h

2

πa 2

и

дает искомое

минимальное

расстояние

между

+

2

заданными точками.

Пример

10.4.

На

поверхности

15x −7 y + z = 22

найти

кривую

наименьшей

длины,

соединяющую точки

A(1, −1, 0)

и

B(2,1, −1) ,

и расстояние между

этими

точками,

измеренное по данной поверхности.

Решение.

Зададим

искомую

кривую

в

параметрической

форме

L :{x = x(t), y = y(t),

z = z(t)},

0 ≤ t ≤α ,

где значение α будет определено позднее. Тогда

длина дуги кривой дается функционалом l =V[x, y, z] = ∫B dl = α∫

x2 + y2 + z2 dt .

A

0

Для

решения

задачи

нужно

найти

экстремали

функционала

V[x, y, z] = α∫

x2 + y2 + z2 dt

в

задаче

Лагранжа

с

голономной

связью

0

ϕ(x, y, z) ≡15x −7 y + z −22 = 0

и граничными условиями

x(0) =1,

y(0) = −1,

z(0) =

0

.

y(α) =1,

z(α) = −1

x(α) = 2,

Составим вспомогательный функционал

α

x

2

+ y

2

+ z

2

+λ(t)(15x −7 y + z

∫

−22) dt ,

0

d

x

15λ(t) −

= 0

dt

x2 + y2

+ z2

d

y

система уравнений Эйлера для которого выглядит так:

−7λ(t) −

= 0 .

dt

x2 + y2

+ z2

d

z

λ(t) −

= 0

dt

x

2

+ y

2

+ z

2

Как и в предыдущем примере выберем в качестве t естественный параметр - длину

дуги кривой, отсчитанную от точки A ,

тогда

x2 + y2 + z2 =1 и α = l , а уравнения Эйлера

примут вид:

x =15λ(t),

y = −7λ(t),

z = λ(t) .

Продифференцировав дважды

уравнение

поверхности

15x −7 y + z = 22 ,

получим

15x −7 y + z = 0 ,

откуда,

учитывая

уравнения

Эйлера, найдем λ(t) = 0 .

Поэтому

x = y = z = 0 , и экстремалями задачи являются прямые.

Дополнительное условие

в точке

A(1, −1, 0)

и способ

выбора параметра, т.е.

соотношение

x2 + y2 + z2

=1,

определяют

искомую

кривую

в

параметрической форме

x(t) =1+

1

t,

y(t) = −1+

2

t

,

z(t) = −

1

t , а условие в точке B(2,1, −1) (т.е. при t =α )

6

6

6

дает расстояние между точками:

l =α =

6 .

Замечание.

Результат, полученный нами средствами вариационного исчисления, был

очевиден

заранее

из геометрических

соображений, так

как

заданная поверхность

15x −7 y + z = 22

-

плоскость,

следовательно, минимальное

расстояние между

любыми

Пусть искомая траектория задана в

параметрической форме x = x(t), y = y(t) ,

тогда

скорость самолета в этой системе

координат V ≡{x(t), y(t)} = uG+vG и имеет

место

соотношение (x −v)2 + y2 = u2 .

S[x, y] =

1 T∫(xy − yx) dt при наличии неголономной связи (x −v)2 + y2 −u2

= 0 . Граничные

2 0

условия:

x(0) = x(T ) = x0 , y(0) = y(T ) = y0 , т.е. самолет вылетает из некоторой точки и в

нее же возвращается (выбор начальной точки будет указан ниже).

Функционал Лагранжа

T

1

(xy

− yx) +

λ(t) ((x −v)

2

+ y

2

−u

2

L[x, y] = ∫

2

) dt

0

1

d

1

y

−

−

y + 2λ(t)(x −v) = 0

2

dt

2

порождает систему уравнений Эйлера

,

1

d

1