Отношение бесконечно больших

Докажем теорему для неопределённостей вида .

Пусть, для начала, предел отношения производных конечен и равен A. Тогда, при стремлении x к a справа,это отношение можно записать как A + α, где α — O(1). Запишем это условие:

.

Зафиксируем t из отрезка и применим теорему Коши ко всем x из отрезка :

, что можно привести к следующему виду:

.

Для x, достаточно близких к a, выражение имеет смысл; предел первого множителя правой части равенединице (так как f(t) и g(t) — константы, а f(x) и g(x) стремятся к бесконечности). Значит, этот множительравен 1 + β, где β — бесконечно малая функция при стремлении x к a справа. Выпишем определение этогофакта, используя то же значение , что и в определении для α:

.

Получили, что отношение функций представимо в виде (1 + β)(A + α), и .По любому данному можно найти такое , чтобы модуль разности отношения функций и A был меньше ,значит, предел отношения функций действительно равен A.

Если же предел A бесконечен (допустим, он равен плюс бесконечности), то

.

В определении β будем брать ; первый множитель правой части будет больше 1/2 при x, достаточноблизких к a, а тогда .

Для других баз доказательства аналогичны приведённым.

Примеры

• 

• Здесь можно применить правило Лопиталя 3 раза, а можно поступить иначе. Можно разделить и числитель, изнаменатель на x в наибольшей степени(в нашем случае x³). В этом примере получается:

• ;

•  при a > 0.

(Только если числитель и знаменатель ОБА стремятся или к 0; или к ; или к .)