- •Міністерство освіти і науки україни
- •Вінницький державний технічний університет
- •Б.Є. Грабовецький
- •Загальна теорія статистики
- •Навчальне видання
- •Передмова
- •Розділ 1 предмет і метод статистичної науки
- •Розділ 2 статистичне спостереження
- •Планування статистичного спостереження
- •Помилки статистичного спостереження та методи їх усунення
- •Поняття, види і правила побудови статистичних групувань
- •Правила побудови групувань
- •3.3. Вторинне групування
- •Розділ 4 абсолютні і відносні статистичні
- •4.1 Поняття і види абсолютних величин
- •Розділ 5 середні величини і показники варіації
- •5.1 Статистична середня та її суть
- •5.2. Види середніх величин і способи їх обчислення
- •Властивості середньої арифметичної:
- •5.3 Вибір виду середньої
- •Розділ 6. Ряди динаміки
- •6.1 Поняття та види рядів динаміки
- •На початок місяця
- •6.2 Правила формування рядів динаміки
- •6.3 Статистичні характеристики рядів динаміки
- •І формули для їх обчислення
- •6.4 Основна тенденція динамічного ряду та методи її
- •6.5 Статистичне вивчення сезонних коливань
- •Питання для самоконтролю
- •Розділ 7 вибіркове спостереження
- •7.1 Поняття і теоретичні основи вибіркового
- •7.2 Схеми і способи відбору одиниць із генеральної
- •7.3 Середня і гранична помилки вибірки
- •Приклади
- •8.4Визначення необхідної чисельності вибірки
- •7.5 Способи розповсюдження результатів вибіркових
- •8.1 Визначення, класифікація і правила побудови індексів
- •8.2 Середні індекси
- •8.3 Індекси середніх величин
- •8.4 Ланцюгові і базисні індекси
- •8.5 Індексний факторний аналіз
- •Розділ 9 статистичні методи вивченя
- •9.2 Методи кореляції і регресії
- •9.3 Система параметрів і характеристик рівняння регресії
- •Параметри рівняння розрахуємо за формулами 9.4:
- •Коефіцієнт кореляції рангів Кендаллавизначається за формулою:
- •Список літератури
Параметри рівняння розрахуємо за формулами 9.4:
а0=;
а1=.
Таким чином , рівняння, яке описує зв’язок між вартістю основних фондів та обсягом товарної продукції, має такий вигляд:
у=13,8+5,6х
Розрахункове значення функції одержане шляхом послідовного використання фактичного значення фактора (х) в побудованому рівнянні:
=і т.д.
Про вірність розрахунків параметрів рівняння (а0,аі ) свідчить рівність :
. (9.17)
Незначні відхилення викликані, як правило, округленням розрахунків. Парний лінійний коефіцієнт кореляції обчислимо за формулою 9.5:
r==,
тобто, зв’язок між вартістю основних фондів і обсягом товарної продукції дуже сильний (див. таблицю 9.1)
Середню помилку апроксимації розрахуємо за формулою 9.7:
.
В економічних дослідженнях значення середньої помилки не повинно перевищувати 10%.
Коефіцієнт еластичності розрахуємо за формулою 9.13:
E=ai .
Згідно з інтерпретацією економічної суті коефіцієнтів регресії і еластичності зі зміною величини основних фондів на 1 млн. грн. обсяг товарної продукції зміниться на 5,6 млн. грн., а у відносному значенні – зі зміною вартості основних фондів на 1% обсяг продукції зміниться на 0,7%.
Оцінку коефіцієнтів регресії і еластичності доцільніше здійснювати в багатофакторних рівняннях.
Вирівнювання рядів динаміки. Часовий тренд
Нарівні з використанням методів укрупнення інтервалів, плинної середньої для вирівнювання динамічних рядів застосовуються також методи кореляції і регресії.
Динамічні ряди вирівнюються за допомогою залежності:
, (9.18)
де t -рівні динамічного ряду, які обчислюються відповідним аналітичним виразом (рівнянням) в момент часу t.
Залежність 9.18 називається часовим трендом. Вона відображає зміну явища (процесу) в часі.
Часовий тренд може бути описаний різними рівняннями, вид яких визначається характером зміни динаміки показників.
Для реалізації рівняння тренда (визначення параметрів і характеристик) застосовуються ті ж формули, які використовуються і для парного рівняння регресії, тільки замість фактора “х” використовується час “t”.
Рівняння часового тренда застосовується для інтерполяції і екстраполяції рядів динаміки.
Інтерполяція дозволяє знайти рівень показника за відсутній період в межах ретроспективи: ; екстраполяція дозволяє прогнозувати рівень показників за межами ретроспективи: (т =1;2;3 і т.д.).
Розглянемо приклад реалізації лінійного рівняння тренда на підставі даних таблиці 9.3.
Таблиця 9.3 - Споживання кондитерських виробів за рік на одну
людину
N року |
Споживання кондитерських виробів, кг.(y) |
t |
ty |
t2 |
у2 |
|
| |
1 |
10,7 |
1 |
10,7 |
1 |
114,5 |
10,60 |
0,10 |
0,009 |
2 |
11,5 |
2 |
23,0 |
4 |
132,3 |
11,55 |
0,05 |
0,004 |
3 |
12,2 |
3 |
36,6 |
9 |
148,8 |
12,50 |
0,30 |
0,025 |
4 |
13,4 |
4 |
53,6 |
16 |
179,6 |
13,45 |
0,05 |
0,004 |
5 |
15,0 |
5 |
75,0 |
25 |
225,0 |
14,40 |
0,60 |
0,040 |
6 |
15,0 |
6 |
90,0 |
36 |
225,0 |
15,35 |
0,35 |
0,023 |
Разом: |
77,8 |
21 |
288,9 |
91 |
1025,2 |
77,85 |
- |
0,105 |
Розрахуємо параметри рівняння:
;
.
Отже, рівняння тренда має вигляд:
y=9,65+0,95t.
Парний лінійний коефіцієнт кореляції дорівнює:
r= .
Розрахункові значення функції на підставі побудованого рівняння:
;
;
;
;
;
.
Результати розрахунків записані у відповідну графу таблиці 9.3.
Середня помилка апроксимації дорівнює:
.
Значення парного лінійного коефіцієнта кореляції і середньої помилки апроксимації свідчать, що побудоване рівняння часового тренда відрізняється високими статистичними характеристиками. Це дозволяє застосувати рівняння для побудови прогнозу шляхом використання в рівнянні тренда значення: t = n+т (n = 6, т=5)
Прогнозні значення () на роки наступної п’ятирічки дорівнюють:
кг;
кг;
кг;
кг;
кг.
Непараметричні показники зв’язку
Методи кореляції і регресії орієнтовані на виявлення і оцінку
тісноти зв’язку між кількісними показниками.
Статистика одночасно оцінює наявність і вимірює тісноту зв’язку і між якісними показниками, для чого застосовуються непараметричні методи.
Серед значної кількості непараметричних методів розглянемо метод, який дозволяє досліджувати зв’язки паралельних рядів не на основі первинних даних, а на основі рангів.
Ранжування - це упорядкування досліджуваних об’єктів на основі переваг. Згідно з ранжуванням кожній одиниці сукупності присвоюється порядковий номер ряду, який надається їй за рівнем ознаки. Таким чином, ряд значень ознаки ранжується, а номер кожної окремої одиниці буде її рангом. Ранг – це порядковий номер значень ознак, установлений в порядку зростання або зменшення їх величин.
Для ранжованих об’єктів показником зв’язку є коефіцієнт рангової кореляції.
Серед непараметричних методів для визначення тісноти зв’язку між ознаками на практиці використовуються коефіцієнти рангової кореляції Спірмена () і Кендалла ().
Коефіцієнт рангової кореляції Спірмена обчислюється за такою формулою:
(9.19)
де n- кількість одиниць вибіркової сукупності ;
d2=(Rx – Ry)2 Rx – ранг факторної ознаки;
Ry – ранг результативної ознаки.